Parkettierung mit Vielecken

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Was ist eine Parkettierung mit Vielecken?
Parkettierung mit Dreiecken
Parkettierung mit Vierecken
Parkettierung mit Fünfecken

Parkettierung mit Sechsecken
Parkettierungen im Internet
Laves-Netze
Referenzen

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Was ist eine Parkettierung mit Vielecken?

Ein Parkett ist ein Fußbodenbelag, bei dem man Muster aus gleichartigen Holzplatten bildet.

Eine Parkettierung kennzeichnet die mathematische Sichtweise dieses Themas: Es geht allgemein um das Problem mit geometrischen Figuren die Ebene lückenlos und ohne Überlappungen auszufüllen.

Auf dieser Seite geht es um Parkettierungen mit kongruenten Vielecken ("monohedral tesselation").

Parkettierung mit Dreiecken top
Man kann mit jedem Dreieck die Ebene ausfüllen.

(1) Gegeben ist ein beliebiges Dreieck.
(2) Spiegele das Dreieck an einem Seitenmittelpunkt. Es entsteht ein Parallelogramm. Bilde aus Parallelogrammen Streifen.
(3) Lege die Streifen untereinander und fülle so die Ebene aus.

Parkettierung mit Vierecken top
Auch beliebige Vierecke erlauben Parkettierungen.

>Kennzeichne zum Nachweis die Innenwinkel eines beliebigen Vierecks.
>Spiegele wie beim Dreieck ein Viereck an einer Seitenmitte und stelle abwechselnd Viereck und Spiegelviereck nebeneinander. Es entsteht ein Streifen.
>Die Winkelbetrachtung macht aber klar, dass auch hier die Streifen nahtlos untereinander angeordnet werden können.

Die Methode funktioniert auch für konkave Vierecke.

Zwei gleichseitige Dreiecke bilden eine Raute. Sie liefert schöne Muster.

Es wird bairisch

Man meint gestapelte Würfel zu sehen.
Dieser Eindruck wird verstärkt,
wenn man die Rauten unterschiedlich färbt.

In der Basilica di Santa Prassede in Rom

Parkettierung mit Fünfecken top
Die Ebene kann nicht mit beliebigen Fünfecken bedeckt werden. Es genügt für den Beweis dieser Aussage ein Gegenbeispiel.
Das kann das regelmäßige Fünfeck sein.

Sein Innenwinkel ist 108° groß und 108 ist kein Teiler von 360.

Es gibt beliebig viele Fünfecke, die die Ebene ausfüllen. Es folgen zwei Beispiele.

Cairo Tiling

Näherungszeichnung auf kariertem Papier
An sich sind die Seiten gleich lang.

Der Name erklärt sich aus Straßenpflasterungen, die es in Kairo geben soll.
Quelle: z.B. (2), Seite 16 bis 19.

Entdeckt und fotografiert von Harald Riege

Häuser
Ein Haus besteht aus einem Quadrat und einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.
Es werden zwei Möglichkeiten der Parkettierung dargestellt.

Die beiden Fünfecke gehören zu den konvexen Fünfecken, die im nächsten Kapitel behandelt werden.

Parkettierung mit konvexen Fünfecken
Man kennt bis heute 15 Typen konvexer Fünfecke, die die Ebene parkettieren.

Typ 1 : D + E = 180°
Typ 2 : C + E = 180°, a = d
Typ 3 : A = C = D = 120°, a = b, d = c + e
Typ 4 : A = C = 90°, a = b, c = d
Typ 5 : C = 2A = 120°, a = b, c = d
Typ 6 : C + E = 180°, A = 2C, a = b = e, c = d
Typ 7 : 2B + C = 360°, 2D + A = 360°, a = b = c = d
Typ 8 : 2A + B = 360°, 2D + C = 360°, a = b = c = d
Typ 9 : 2E + B = 360°, 2D + C = 360°, a = b = c = d
Typ 10 : E = 90°, A + D = 180°, 2B - D = 180°, 2C + D = 360°, a = e = b + d
Typ 11 : A = 90°, C + E = 180°, 2B + C = 360, d = e = 2a + c
Typ 12 : A = 90°, C + E = 180°, 2B + C = 360, 2a = c + e = d
Typ 13 : A = C = 90°, 2B = 2E = 360° - D, c = d, 2c = e
Typ 14 : D = 90°, 2E + A = 360°, C + A = 180°, B + D + E = 360°, 2e = 2c = a
Typ 15 : A=150°, B=60°, C=135°, D=105°, E=90° a=c=e, b=2a

Die Angaben beziehen sich auf die gängigen Fünfeck-Bezeichnungen im englischsprachigen Raum.
Die großen Buchstaben sind Innenwinkel, die kleinen Buchstaben Seiten mit folgender Verteilung.
......

Die Beschreibungen erlauben Fünfecke unterschiedlichen Aussehens, auch wenn sie demselben Typ angehören. Auch gibt es spezielle Fünfecke, die verschiedenen Typen gleichzeitig angehören.
Beispielbilder findet man auf der Webseite von Eric W. Weisstein (Mathworld), URL unten, unter dem Titel "Pentagon Tiling".

Wie so oft bei mathematischen Spielereien hat der Wissenschaftsjournalist Martin Gardner dem Problem der konvexen Fünfecke, die die Ebene überdecken, entscheidende Impulse gegeben. Im Jahre 1975 schrieb er in der amerikanischen Zeitschrift "Scientific American" einen Artikel mit dem Titel "On Tesselating the Plane with Convex Tiles". Der Artikel bezog sich auf einen Aufsatz von R.B. Kershner aus dem Jahre 1968, in dem dieser darauf hinwies, dass K.Reinhardt im Jahre 1918 (neben 3 Typen des Sechsecks) 5 Typen des Fünfecks gefunden hatte (Typ 1 bis 5) und er selbst noch 3 weitere (Typ 6,7,8).
Auf Grund des Artikels fanden R.James 1975 Typ 10 und M.Rice 9,11,12 und 13 in den Jahren 1976/77. - R.Stein fand 1985 Typ 14.
Die Fünfeck-Parkettierung Typ 15 wurde 2015 von Casey Mann, Jennifer McLoud und David Von Derau (University of Washington Bothell ) gefunden.

Parkettierung mit Sechsecken top
Auch Sechsecke füllen im allgemeinen die Ebene nicht aus. Es gibt Sonderfälle.
Regelmäßiges Sechseck

Da denkt man zuerst an die regelmäßigen Sechsecke, die Honigwaben.

Punktsymmetrisches Sechseck

...

Wenn man ein beliebiges Viereck an einer Seitenmitte spiegelt, entsteht ein Sechseck. Oben wurde gezeigt, dass man mit diesen Figuren die Ebene ausfüllen kann.

Konvexe Sechsecke
Es wurde schon erwähnt, dass K.Reinhardt 1918 drei Typen konvexer Sechsecke angegeben hat, die die Ebene ausfüllen.

Typ 1 : A+B+C = 360°, a = d
Typ 2 : A+B+D = 360°, a = d, c = e
Typ 3 : A = C = E =120° , a = b, c = d, e = f

Bezeichnungen

Bilder dazu findet man auf der Webseite von Mathworld, URL unten, unter dem Titel "Hexagon Tiling".

Konvexe Vielecke mit mehr als 6 Eckpunkten gibt es nicht [(1) mit Beweis].

Laves-Netze top
Oben wurden bereits die beiden folgenden Parkettierungen (Cairo Tiles, Häuser) angegeben.
Sie haben ein unterschiedliches Aussehen.

Topologisch aber sind die Parkettierungen gleich. Umläuft man ein Fünfeck (eine Masche), so treffen sich in den Eckpunkten (Knoten) nacheinander 3,3,4,3,4 Strecken (Kanten). Die Größen des Fünfecks spielen bei dieser Betrachtungsweise nicht die bestimmende Rolle.
Es gibt 11 "Laves-Parkette" (F.Laves 1931), die man durch Zahlen kennzeichnet.
Sie werden in der folgenden Zeichnung durch je ein Beispiel "mit "größtmöglicher Symmetrie" (7) illustriert.

Zeichnungen angefertigt nach A.Steins, (7) Seite 56 ff.

17 Ornamentgruppen oder Ebene kristallographische Gruppe (englisch Wallpaper group)
Am linken unteren Rand der Zeichnungen steht jeweils eine Zahl-Buchstaben-Kombination. Sie weist auf Spiegelung, Drehung, Verschiebung oder Gleitspiegelung hin. Man kann eine Parkettierung in der Ebene nämlich so abbilden, dass sie in sich selbst übergeht. Man erhält nach Bewegungen geordnet eine Klassifizierung in 17 "Ornamentgruppen".

Vieles dazu findet man in Buch (7) oder einiges in unten angegebenen Webseiten, z.B. in der Homepage von Steve Edwards ("17 Plane Symmetry Groups").
Eine umfassende Darstellung findet man jetzt (Januar 2006) bei Wikipedia (URL unten).

Bliebe noch anzumerken, dass die Laves-Netze und die Ornamentgruppen eine Bedeutung über Vielecke hinaus haben. Sie helfen, beliebige Parkettierungen zu klassifizieren.

Parkettierungenmit Vielecken im Internet top

Deutsch

Claus Schönleber / Frank Klinkenberg-Haaß
Goldene Schnittmuster

Michael Albers
Regelmäßige Flächenaufteilung

Michael Baake und Uwe Grimm und Robert V. Moody
Die verborgene Ordnung der Quasikristalle

Wikipedia
Parkettierung, Parkettierung mit Fünfecken, Ebene kristallographische Gruppe

Englisch

David Bailey's World of Escher-like Tessellations, Cairo Pentagon - Truly Named?

Eric W. Weisstein (Mathworld)
Tiling, Tessellation, Pentagon Tiling, Cairo Tesselation, Hexagonal Tiling, Dual Tesselation

Ed Pegg Jr. (Math Puzzles)
The 14 Different Types of Convex Pentagons that Tile the Plane

Pippa Drew and Dorothy Wallace, Dartmouth College
Lesson 7 Art part: Escher

Wikipedia
Tessellation, Wallpaper group, Marjorie Rice

Es gibt zwei weitere Webseiten zu den Parkettierungen.

Homogene Parkettierung
Begegnungen mit Parkettierungen

Referenzen top
(1) István Reimann: Parkette, geometrisch betrachtet, in "Mathematisches Mosaik", Köln 1977 [ISBN 3-7614-0371-2]
(2) René Jansen: Polycairos in Disguise; CFF 63, März 2004, Newsletter "Nederlandske Kubus Club"
(3) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York / London (1997) [ISBN 0-393-04002-X]
(4) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1961
(5) Martin Gardner: Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, Freeman New York 1988
(6) Doris Schattschneider, "In Praise of Amateurs", The Mathematical Gardner, Belmont, CA: Wadsworth, 1981
(7) K.Bongartz, W.Borho, D.Mertens, A.Steins: Farbige Parkette, Basel, Boston, Berlin 1988 [ISBN 3-7643-2223-3]

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