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Monotonia_de_la_suma_por_la_derecha.lean
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-- Monotonia_de_la_suma_por_la_derecha.lean
-- Monotonía de la suma por la derecha
-- José A. Alonso Jiménez
-- Sevilla, 14 de agosto de 2020
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-- Ejercicio. Demostrar que si a, b y c son números reles tales que
-- a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c.
-- ----------------------------------------------------------------------
import data.real.basic
variables {a b c : ℝ}
-- 1ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
begin
rw ← sub_nonneg,
have h : (b + c) - (a + c) = b - a,
{ ring, },
{ rw h,
rw sub_nonneg,
exact hab, },
end
-- 2ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
begin
rw ← sub_nonneg,
calc 0 ≤ b - a : by exact sub_nonneg.mpr hab
... = b + c - (a + c) : by exact (add_sub_add_right_eq_sub b a c).symm,
end
-- Comentario: Se usa el lema
-- + add_sub_add_right_eq_sub : a + c - (b + c) = a - b
-- 3ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
begin
rw ← sub_nonneg,
calc 0 ≤ b - a : sub_nonneg.mpr hab
... = b + c - (a + c) : (add_sub_add_right_eq_sub b a c).symm,
end
-- 4ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
begin
rw ← sub_nonneg,
calc 0 ≤ b - a : sub_nonneg.mpr hab
... = b + c - (a + c) : by ring,
end
-- 5ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
begin
rw ← sub_nonneg,
simp,
exact hab,
end
-- 6ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
begin
rw ← sub_nonneg,
simp [hab],
end
-- 7ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
begin
simp [hab],
end
-- 8ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
by simp [hab]
-- 9ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
add_le_add_right hab c
-- Comentario: Se ha usado el lema
-- + add_le_add_right : a ≤ b → ∀ (c : ℝ), a + c ≤ b + c
-- 10ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
by linarith
-- 11ª demostración
-- ===============
example
(hab : a ≤ b)
: a + c ≤ b + c :=
by finish