상태함수라는 말의 의미
작성자
자연사랑
작성일
2020-03-15 22:32
조회
3343
슈뢰딩거 방정식이 처음 등장한 것이 1926년입니다. 애초의 동기는 1924년에 발표된 루이 드브로이의 '물질파' 개념을 체계적으로 확장하여 제대로 된 파동방정식을 세우는 데 있었습니다.
그러나 이 방정식의 풀이인 $\Psi$ 함수의 의미가 무엇인지 논란이 커졌고, 1926년 여름에 막스 보른이 입자의 충돌에서 $|\Psi|^2$이 확률이라는 이른바 통계적 해석을 제안하면서 우여곡절 끝에 그렇게 흘러갔습니다.
하지만 그보다 더 중요한 의미는 $\Psi$ 함수가 대상에 대한 상태를 규정하는 가장 포괄적인 수학적 서술이라는 데 있습니다.
과거(제2장, 제3장)의 물리학적 자연철학에서는 상태가 [위치와 운동량]으로 규정되었습니다. 지금 대상의 [위치와 운동량]을 알면, 미래의 어떤 시점에서라도 [위치와 운동량]을 알 수 있다는 것이었습니다.
이제 그 역할을 $\Psi$ 함수가 대신 한다는 것이 제4장 양자역학적 자연철학의 핵심 주장입니다.
그렇다면, $\Psi$ 함수는 어떻게 상태함수가 된다는 말일까요?
아래 그림은 에르빈 슈뢰딩거의 묘비입니다.
이 묘비명과 슈뢰딩거의 특별한 사유에 대해서는 슈뢰딩거의 1935년 논문 – (1) 슈뢰딩거의 묘비명에 짧게 쓴 글이 있습니다.
여기에서는 그 묘비명에 있는 방정식에 주목하려 합니다.
\[ i \hbar \dot{\psi} = H \psi\]
여기에서 위에 점이 찍혀 있는 것은 시간으로 미분한다는 뜻입니다. 즉
\[ i \hbar \frac{d}{dt}{\psi} = H \psi\]
다시 말해서
\[ i \hbar \frac{d\psi}{dt}= H \psi\]
라는 뜻입니다.
$\psi$ 함수의 시간 미분이 원래의 $\psi$ 함수와 일정한 관계를 충족시킨다고 주장하는 것입니다. 실제적으로는 꽤 복잡하지만, 이 방정식을 풀 수 있다면
\[ \psi (t) = U(t, t_0 ) \psi (t_0)\]
와 같은 풀이를 구할 수 있습니다.
이 식을 읽는 방법은 다음과 같습니다. 먼저 상태함수 $\psi (t)$는 시간의 함수입니다. 여기에서 $t$ 대신 다른 시간을 넣으면 그 때의 값이 새로운 상태함수가 됩니다. 가령 $t=t_0$일 때 상태는 $\psi (t_0)$가 됩니다.
위의 수식에서 오른쪽을 보면 상태함수 $\psi (t_0)$의 왼쪽에 $U(t, t_0 )$라는 추상적인 기호가 있습니다. 이것은 그 오른쪽에 있는 $\psi (t_0)$에 작용하여 새로운 상태함수를 만들어낸다는 뜻입니다. 그리고 그 결과는 $t$와 $t_0$에 따라 달라지기 때문에 괄호 안에 $t$와 $t_0$을 표시했습니다.
그 결과가 $\psi (t)$입니다. 따라서 언제가 되든 $t=t_0$일 때 상태함수 $\psi (t_0)$를 알고, 위의 방정식을 제대로 풀 수 있다면, 항상 깔끔하게 새로운 상태함수 $\psi (t)$를 구할 수 있습니다.
<장회익의 자연철학 강의> 127쪽에 나오는
이 말이 바로 $\Psi$ 함수가 대상에 대한 상태를 규정하는 가장 포괄적인 수학적 서술이라는 문장의 의미입니다.
우리는 물리학을 하려는 것이 아니므로 굳이 그 복잡한 수학적 디테일로 갈 필요는 없고, 단지 대상의 상태를 이전처럼 [위치와 운동량]으로 말하는 것이 아니라 [상태함수]라는 새로운 방식으로 말한다는 것만 이해하면 됩니다. 다소 추상적이고 금방 느낌이 오는 건 아니지만, 그렇게 해야만 한다는 것이 양자역학이 예측적 앎에 대해 강력하게 주장하는 내용입니다.
여기까지는 그리 어렵지 않게 따라오셨으리라 생각합니다만, 그 다음 심각한 고비가 바로 [공리 4]입니다. 라플라스의 믿음이 실패하는 곳이기도 합니다.
그러나 이 방정식의 풀이인 $\Psi$ 함수의 의미가 무엇인지 논란이 커졌고, 1926년 여름에 막스 보른이 입자의 충돌에서 $|\Psi|^2$이 확률이라는 이른바 통계적 해석을 제안하면서 우여곡절 끝에 그렇게 흘러갔습니다.
하지만 그보다 더 중요한 의미는 $\Psi$ 함수가 대상에 대한 상태를 규정하는 가장 포괄적인 수학적 서술이라는 데 있습니다.
과거(제2장, 제3장)의 물리학적 자연철학에서는 상태가 [위치와 운동량]으로 규정되었습니다. 지금 대상의 [위치와 운동량]을 알면, 미래의 어떤 시점에서라도 [위치와 운동량]을 알 수 있다는 것이었습니다.
이제 그 역할을 $\Psi$ 함수가 대신 한다는 것이 제4장 양자역학적 자연철학의 핵심 주장입니다.
그렇다면, $\Psi$ 함수는 어떻게 상태함수가 된다는 말일까요?
아래 그림은 에르빈 슈뢰딩거의 묘비입니다.
이 묘비명과 슈뢰딩거의 특별한 사유에 대해서는 슈뢰딩거의 1935년 논문 – (1) 슈뢰딩거의 묘비명에 짧게 쓴 글이 있습니다.
여기에서는 그 묘비명에 있는 방정식에 주목하려 합니다.
\[ i \hbar \dot{\psi} = H \psi\]
여기에서 위에 점이 찍혀 있는 것은 시간으로 미분한다는 뜻입니다. 즉
\[ i \hbar \frac{d}{dt}{\psi} = H \psi\]
다시 말해서
\[ i \hbar \frac{d\psi}{dt}= H \psi\]
라는 뜻입니다.
$\psi$ 함수의 시간 미분이 원래의 $\psi$ 함수와 일정한 관계를 충족시킨다고 주장하는 것입니다. 실제적으로는 꽤 복잡하지만, 이 방정식을 풀 수 있다면
\[ \psi (t) = U(t, t_0 ) \psi (t_0)\]
와 같은 풀이를 구할 수 있습니다.
이 식을 읽는 방법은 다음과 같습니다. 먼저 상태함수 $\psi (t)$는 시간의 함수입니다. 여기에서 $t$ 대신 다른 시간을 넣으면 그 때의 값이 새로운 상태함수가 됩니다. 가령 $t=t_0$일 때 상태는 $\psi (t_0)$가 됩니다.
위의 수식에서 오른쪽을 보면 상태함수 $\psi (t_0)$의 왼쪽에 $U(t, t_0 )$라는 추상적인 기호가 있습니다. 이것은 그 오른쪽에 있는 $\psi (t_0)$에 작용하여 새로운 상태함수를 만들어낸다는 뜻입니다. 그리고 그 결과는 $t$와 $t_0$에 따라 달라지기 때문에 괄호 안에 $t$와 $t_0$을 표시했습니다.
그 결과가 $\psi (t)$입니다. 따라서 언제가 되든 $t=t_0$일 때 상태함수 $\psi (t_0)$를 알고, 위의 방정식을 제대로 풀 수 있다면, 항상 깔끔하게 새로운 상태함수 $\psi (t)$를 구할 수 있습니다.
<장회익의 자연철학 강의> 127쪽에 나오는
"우주의 현재 상태는 이전의 상태로부터 도출된 결과이며 앞으로 닥쳐올 상태에 대한 원인이다. ... 어떤 순간에 모든 힘과 존재물들의 위치와 운동량을 알 수 있고, 이 정보를 분석할 능력이 있다면, 모든 것의 운동을 하나의 식으로 기술할 수 있다."라는 라플라스의 말에서 [위치와 운동량]만 [상태함수]로 바꾸어 놓으면, 라플라스의 과감한 희망과 일치하는 듯이 보입니다.
이 말이 바로 $\Psi$ 함수가 대상에 대한 상태를 규정하는 가장 포괄적인 수학적 서술이라는 문장의 의미입니다.
우리는 물리학을 하려는 것이 아니므로 굳이 그 복잡한 수학적 디테일로 갈 필요는 없고, 단지 대상의 상태를 이전처럼 [위치와 운동량]으로 말하는 것이 아니라 [상태함수]라는 새로운 방식으로 말한다는 것만 이해하면 됩니다. 다소 추상적이고 금방 느낌이 오는 건 아니지만, 그렇게 해야만 한다는 것이 양자역학이 예측적 앎에 대해 강력하게 주장하는 내용입니다.
여기까지는 그리 어렵지 않게 따라오셨으리라 생각합니다만, 그 다음 심각한 고비가 바로 [공리 4]입니다. 라플라스의 믿음이 실패하는 곳이기도 합니다.
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