가 안쪽 방향으로 향하고 앞쪽에 b 가 있을 때가 아니면, 외적의 결과인 벡터는 그림과 같은 방 향이 되지 않는다. 사실, 외적이 생성하는 벡터의 방향은 좌표계에 의존한다. 그림에서 a × b 의 방향은 왼손 좌 표계에서의 외적의 결과로, 오른손 좌표계라면 반대 방향이다. 유니티에서는 Vector3 클래스 의 Cross 메서드로 외적을 산출할 수 있지만, 유니티의 외적은 왼손 좌표계이므로 결과 방향 은 그림과 같다.
2장에서 좌표계란 관측자가 시점을 어디에 두는가 하는 단순한 약속에 지나지 않는다 했다. 또 한 벡터란 좌표계에 의존하지 않는 양이었다. 여기서는 외적으로서 생성되는 벡터의 방향이 좌 표계를 어떻게 구성하는가에 따라 변화하므로, 마치 전제에 반하는 것처럼 보인다. 이처럼 어느 좌표계를 사용하는지에 따라 방향이 바뀌는 벡터를 유사벡터 ( pseudo vector ) 또는 축성벡터 (axial vector )라 부르며 일반 벡터와는 구별한다. 좌표계가 변해도 방향이 변 하지 않는 일반 벡터는 극성벡터 (polar vector )라 한다. 일반 벡터는 좌표계가 변화해도 방향이 바뀌지 않으므로 좌표계를 바꾸면 성분이 변화하지만, 유사벡터는 좌표계에 따라 방향이 바뀌므로 반대로 좌표계상의 성분은 변화하지 않는다. 외적 에 의해 생성되는 벡터는 유사벡터이므로, 좌표계를 변환할 때는 주의해야만 한다. 좌표계를 변환하지 않을 때는 극성벡터처럼 다룰 수 있다. 외적에는 교환법칙·결합법칙은 성립하지 않지만, 스칼라를 이용한 곱셈과 분배법칙은 성립 한다.
(na) × b = a × (nb) = n(a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c
한편 벡터의 외적과 내적을 연관짓는 식은 벡터 삼중적 (vector triple product )이라고 한다.
a × (b × c) = (a ∙ c) b - (a ∙ b) c
(a × b) × c = (a ∙ c) b - (b ∙ c) a
벡터 삼중적 식에서 a , b , c 를 차례로 바꾼 것(a × (b × c ), b × (c × a ), c × (a × b ) )을 더하면 다음 식을 얻을 수 있다.
100 유니티로 배우는 게임 수학