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Fractais - Aplicações em Engenharia

TIAGO ROBERTO FERREIRA BAPTISTA

Setembro de 2013

FRACTAIS – APLICAÇÕES EM

ENGENHARIA

Tiago Roberto Ferreira Baptista

Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Automação

Área de Especialização de Automação e Sistemas

Departamento de Engenharia Electrotécnica

Instituto Superior de Engenharia do Porto

2013

Este relatório satisfaz, parcialmente, os requisitos que constam da Ficha de Disciplina de

Tese/Dissertação, do 2º ano, do Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de

Computadores

Candidato: Tiago Roberto Ferreira Baptista, Nº 1010665, 1010665@isep.ipp.pt

Orientação científica: Carla Pinto, cap@isep.ipp.pt

Co-orientação Científica: J. A. Tenreiro Machado, jtm@isep.ipp.pt

Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Área de Especialização de Automação e Sistemas

Departamento de Engenharia Electrotécnica

Instituto Superior de Engenharia do Porto

7 de Setembro de 2013

i

Agradecimentos

Esta jornada começou como um desafio, mas com o passar do tempo tornou-se um

objetivo e uma meta a cumprir.

Agradeço a todas as pessoas que me apoiaram especialmente a Natália pela paciência e

pelo apoio demonstrado que em momentos mais difíceis sempre me ajudou a ultrapassar.

No meio académico, quero expressar o meu agradecimento à professora Carla Pinto, pelo

apoio incondicional demonstrado, desde o início até ao final deste trabalho, e pelo

professor Tenreiro Machado agradeço também toda a disponibilidade demonstrada.

A todos um muito Obrigado…

Tiago Baptista.

...E também o mundo,

Com tudo aquilo que contém,

Com tudo aquilo que nele se desdobra

E afinal é a mesma coisa variada em cópias iguais.

Fernando Pessoa - Poesias de Álvaro de Campos

iii

Resumo

Num universo despovoado de formas geométricas perfeitas, onde proliferam superfícies

irregulares, difíceis de representar e de medir, a geometria fractal revelou-se um

instrumento poderoso no tratamento de fenómenos naturais, até agora considerados

erráticos, imprevisíveis e aleatórios. Contudo, nem tudo na natureza é fractal, o que

significa que a geometria euclidiana continua a ser útil e necessária, o que torna estas

geometrias complementares.

Este trabalho centra-se no estudo da geometria fractal e na sua aplicação a diversas áreas

científicas, nomeadamente, à engenharia.

São abordadas noções de auto-similaridade (exata, aproximada), formas, dimensão, área,

perímetro, volume, números complexos, semelhança de figuras, sucessão e iterações

relacionadas com as figuras fractais. Apresentam-se exemplos de aplicação da geometria

fractal em diversas áreas do saber, tais como física, biologia, geologia, medicina,

arquitetura, pintura, engenharia eletrotécnica, mercados financeiros, entre outras.

Conclui-se que os fractais são uma ferramenta importante para a compreensão de

fenómenos nas mais diversas áreas da ciência. A importância do estudo desta nova

geometria, é avassaladora graças à sua profunda relação com a natureza e ao avançado

desenvolvimento tecnológico dos computadores.

Palavras-Chave

Fractal, caos, não-linearidade, similaridade, dimensão, leis de potência, geometria,

Natureza.

v

Abstract

In a universe of imperfect geometric shapes, where irregular surfaces abound, hard to

represent and to measure, the fractal geometry proved to be a powerful tool in the

treatment of natural phenomena, so far considered erratic, unpredictable and random.

However, not everything in nature is fractal, meaning that Euclidean geometry continues to

be useful and necessary, which makes these complementary geometries.

This work focuses on fractal geometry and its application to several scientific areas, such

as engineering.

Are addressed notions of self-similarity (accurate, statistics), shapes, size, area, perimeter,

volume, complex numbers, series and iterations of functions related to the fractal figures.

Examples of the application of fractal geometry in various areas of knowledge, such as

physics, biology, geology, medicine, architecture, painting, computer engineering,

electrical engineering, financial markets, among others, are presented.

It is concluded that the fractals are an important tool for the understanding of phenomena

in the most diverse areas of science. The importance of the study of this new geometry is

overwhelming, due to its deep relationship to nature and to advanced technological

development of computers.

Keywords

Fractal, chaos, non-linearity, similarity, dimension, power laws, geometry, nature.

vi

vii

Índice

AGRADECIMENTOS ..................................................................................................................................... I

RESUMO ....................................................................................................................................................... III

ABSTRACT ..................................................................................................................................................... V

ÍNDICE ........................................................................................................................................................ VII

ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................................................. IX

ÍNDICE DE TABELAS ................................................................................................................................ XI

ACRÓNIMOS ............................................................................................................................................. XIII

1.

INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 1

1.1.

CONTEXTUALIZAÇÃO ....................................................................................................................... 3

1.2.

OBJETIVOS........................................................................................................................................ 6

1.3.

CALENDARIZAÇÃO ........................................................................................................................... 6

1.4.

ORGANIZAÇÃO DO RELATÓRIO ......................................................................................................... 7

2.

FRACTAIS .............................................................................................................................................. 9

2.1.

FRACTAIS GEOMÉTRICOS CLÁSSICOS .............................................................................................. 16

2.2.

FRACTAIS EM SISTEMAS DINÂMICOS.............................................................................................. 34

3.

APLICAÇÕES DA GEOMETRIA FRACTAL ................................................................................. 43

3.1.

NA NATUREZA................................................................................................................................. 44

3.2.

FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM................................................................................................... 61

3.3.

NOS MERCADOS FINANCEIROS....................................................................................................... 68

4.

CONCLUSÕES ..................................................................................................................................... 71

REFERÊNCIAS DOCUMENTAIS ............................................................................................................. 73

ix

Índice de Figuras

Figura 1

Comparação entre dimensão euclidiana (à esquerda) e fractal (à direita). ...................... 11

Figura 2

Exemplo de tamanhos de grelhas usados no box–counting. ............................................ 13

Figura 3

Couve-flor (brócolis, à esquerda) e carvalho (à direita) [20]. ......................................... 13

Figura 4

Curva de Peano (à esquerda) e conjunto de Cantor (à direita) [30]. ............................... 14

Figura 5

Curva de Koch (à esquerda) e esponja de Menger (à direita) [25]. ................................. 14

Figura 6

Triângulo de Sierpinski, algumas iterações [27]. ............................................................ 15

Figura 7

Conjunto de Mandelbrot (à esquerda) e conjunto de Julia (à direita). ............................ 15

16

Figura 8

Borboleta de Lorenz (à esquerda) e teoria do caos (à direita) [21]. ................................ 16

Figura 9

Sistema circulatório [59]. ................................................................................................ 17

Figura 10 Rugosidades dos intestinos e do cérebro [59]. ................................................................ 18

Figura 11 Segmento de reta inicial do processo iterativo da curva de Koch. .................................. 18

Figura 12 1ª Iteração do processo iterativo da curva de Koch [25]. ................................................ 18

Figura 13 2ª Iteração do processo iterativo da curva de Koch [25]. ................................................ 19

Figura 14 n-ésima iteração do processo iterativo da curva de Koch [28]. ....................................... 19

Figura 15 Ampliação de uma parte da curva de Koch [28]. ............................................................ 20

Figura 16 Figura inicial da ilha de Koch e os primeiros 5 passos iterativo [25]. ............................ 20

Figura 17 Divisão de um triângulo equilátero em nove triângulos equiláteros iguais [48]. ............ 23

Figura 18 Exemplos de dimensões de objetos superfícies e sólidos [10]. ....................................... 24

Figura 19

Apresentação de 3 iterações e respetivos intervalos que constituem o conjunto de

Cantor [15]. ................................................................................................................................. 26

Figura 20 Zoom de algumas iterações do conjunto de Cantor [15]. ................................................ 27

Figura 21 Processo iterativo do triângulo de Sierpinski (primeiras 4 iterações)[27]....................... 28

Figura 22 Tapete de Menger (à esquerda) e esponja de Menger (à direita)[3]. ............................... 29

Figura 23 Processo recursivo da construção da curva de Peano [28]. ............................................. 30

Figura 24 Figura inicial (à esquerda) e geradora da curva de Hilbert (à direita) [22]. .................... 32

Figura 25 Processo recursivo da construção da curva de Hilbert [22]. ........................................... 32

Figura 26 Curva de Hilbert a 3 dimensões. À direita, as cores representam o número de iterações

[22]. 33

Figura 27 Exemplos de alguns conjuntos de Julia [26]. .................................................................. 36

Figura 28 Coloração dos pontos em relação à sua distância a origem. ............................................ 38

Figura 29 Conjunto de Mandelbrot como catálogo de conjuntos de Julia. ...................................... 39

Figura 30 Algumas ampliações do conjunto de Mandelbrot [28]. ................................................... 39

Figura 31 Jogo do Caos (as 5 primeiras iterações) [48]................................................................... 41

x

Figura 32 50000 Iterações do jogo do caos [48]. ............................................................................ 41

Figura 33 Árvore que pode ser abrigo para diferentes animais (à esquerda visão superficial) e (à

direita ampliação de um tronco de árvore) [18]. ......................................................................... 46

Figura 34

Auto-similaridade aproximada na couve romanesca (fractal natural). ....................... 47

Figura 35 Auto-similaridade aproximada na estrutura das folhas. .................................................. 47

Figura 36 Auto-semelhança aproximada na estrutura das folhas [23]. ........................................... 47

Figura 37 Imagem de um corte transversal de um Nautilus Shell Pompilius [23]. ......................... 48

Figura 38 Foto de um satélite: Manaus, na confluência dos rios Solimões e Negro [15]. .............. 51

Figura 39 Vista aérea rio Sabinoso do novo México [15]. .............................................................. 51

Figura 40 Vista aérea de lagoas no Norte do Alasca [20]. .............................................................. 52

Figura 41 Escalas de diferentes dimensões [19]. ............................................................................. 53

Figura 42 Dimensões de algumas linhas costeiras [19]. .................................................................. 53

Figura 43 Método da contagem de caixas para o cálculo da dimensão de linhas costeiras. ............ 54

Figura 44 Imagens pretas e brancas usadas para o cálculo da dimensão fractal [49]. ..................... 55

Figura 45 Ramificação no sistema respiratório e circulatório no pulmão e ampliação (à direita)

[46]. 55

Figura 46 Imagem de ramificações em neurónios [17]. .................................................................. 56

Figura 47 Capacidade de rugosidade numa célula de ADN. ........................................................... 56

Figura 48 Batimento cardíaco caótico [51]. .................................................................................... 57

Figura 49 Análise de padrões fractais na retina humana [4] ........................................................... 58

Figura 50 Fractais presentes em relâmpagos [23]. .......................................................................... 60

Figura 51 Cristais de flocos de neve [23]. ....................................................................................... 60

Figura 52 Auto semelhança na arte [15]. ......................................................................................... 62

Figura 53 Evolução da dimensão fractais nos quadros de Pollock [15]. ......................................... 62

Figura 54 Regras para construção fractal de uma árvore (à esquerda) e um exemplo de imagem de

um fractal obtido no Netlog. ....................................................................................................... 63

Figura 55 Auto similaridade nos pormenores das treliças [15]. ...................................................... 64

Figura 56 Auto similaridade na arquitetura [16]. ............................................................................ 65

Figura 57 Comparação entre o método de Poisson e fractal [15]. ................................................... 66

Figura 58 Modelo Sierpinski (à esquerda) e curva de Koch (à direita) [66]. .................................. 67

Figura 59 Exemplo de uma curva dos mercados de ações com variações bruscas [34]. ................. 69

xi

Índice de Tabelas

Tabela 1

Calendarização do projeto. ............................................................................................. 6

Tabela 2

Iterações, comprimento do segmento, número de segmentos e perímetro. .................. 21

Tabela 3

Comportamento da curva de Koch. .............................................................................. 21

Tabela 4

Área e perímetro do triângulo de Sierpinski até 3ª iteração. ........................................ 28

Tabela 5

Iterações, número de segmentos, comprimento de segmentos, comprimentos da linha

da curva de Peano até a 4 iteração. ........................................................................................... 31

Tabela 6

Número de quadrados e comprimento de cada lado do quadrado. ............................... 33

Tabela 7

Comportamento do conjunto em torno de Z0. .............................................................. 35

Tabela 8

Comportamento do conjunto em torno do ponto C. ..................................................... 37

Tabela 9

Tabela de dimensões fractais de alguns elementos existentes na natureza [13]. .......... 49

Tabela 10 Os principais métodos fractais aplicados em análises de imagens médicas [13]. ........ 58

xiii

Acrónimos

SFI – Sistemas de Funções Iteradas

LP – Lei de Potência

ADN – Ácido desoxirribonucleico

GPS – Sistema de posicionamento global

1

1. INTRODUÇÃO

Muitos objetos conhecidos e que vemos no dia-a-dia, por possuírem geometria muito

simples, podem ser descritos através de formas ‘ideais’, como retângulos, cilindros, cones

ou esferas. A maioria dos objetos desenvolvidos pelo homem pode ser facilmente descrita

por um conjunto de formas euclidianas básicas, mas o que dizer dos objetos encontrados na

natureza? Quem é capaz de descrever a forma de uma árvore, de uma montanha ou de um

floco de neve?

Desde que Euclides, famoso matemático da Grécia antiga, desenvolveu a hoje designada

geometria euclidiana, prevaleceu um certo comodismo, baseado na ideia de que todos os

objetos podem ser descritos através de composições de formas regulares simples. Euclides

definiu a natureza como um conjunto de formas regulares básicas, como linhas, retângulos,

cones e triângulos. Todavia é visível que as formas ideais de Euclides são apenas uma

aproximação, na maioria dos casos grosseira da realidade dos objetos naturais [2]. Na

época de Euclides, por volta de 300 A.C., e até há poucos anos atrás, isto era aceitável.

Porém, os recentes avanços da tecnologia dos computadores e da matemática levaram ao

surgimento de novas técnicas capazes de descrever com maior exatidão e realismo os

padrões encontrados na natureza. E assim surgiu a geometria fractal. Anteriormente,

matemáticos como Galileu (1564-1642), recorreram a triângulos e outras figuras

euclidianas para ler a natureza, Mandelbrot, contudo utilizou outra linguagem para este

2

mesmo propósito: a dos fractais. Mandelbrot introduziu o termo fractal em 1977, baseado

no nome latino “fractus”, derivado do verbo “frengere” que significa partir, quebrar [10]. A

principal caraterística de um fractal é a propriedade do nível de detalhe do

“rendilhado/rugosidade” gráfico que apresenta não desvanecer com a escala, sendo que,

em muitos casos, uma ampliação sobre quaisquer partes do fractal revela pequenas cópias

da imagem original, e isto acontece independentemente da ampliação utilizada num

determinado intervalo.

Na natureza não se pode esperar encontrar um triângulo perfeito todavia, as formas fractais

são muito mais verosímeis, como se fossem fruto de uma geometria mais ligada à natureza.

O impacto científico da geometria fractal alastrou a outras áreas, tornando a palavra

“fractal” vulgar em trabalhos de ciência ou mesmo de humanidades. As actuais aplicações

dos fractais são inúmeras. Por exemplo, na realização de imagens para cenários de filme,

medição das zonas costeiras (Mandelbrot (1967) [43]), descrição de árvores [42], e de

culturas bacterianas [13][44], vasos sanguíneos [40], nos pulmões [46], na música onde a

repetição são caraterísticas gerais [9], em áreas financeiras [32], entre outras.

A facilidade com que se pode hoje criar fractais novos, usando computadores, dá ilusão de

proximidade com teorias científicas elaboradas, como nunca antes sucedera. Por outro

lado, as imagens, sendo absolutamente novas, não representam nenhuma realidade em

particular, mas diferentes possibilidades mais ou menos plausíveis.

Neste trabalho serão descritas as várias propriedades de um fractal, far-se-á o cálculo de

dimensões fractais e estudar-se-ão aplicações dos fractais em diversos campos das ciências,

como a engenharia, a biologia, medicina e outras mais.

3

1.1. CONTEXTUALIZAÇÃO

O tema dos fractais é bastante recente, pois apenas lhe foi dada importância a partir da

segunda metade do século XIX. Contudo os fractais já demonstraram ter correlação com

quase todos os domínios do conhecimento e surgem constantemente novas aplicações dos

mesmos. Os fractais “puros" estão patentes apenas na matemática, mas podem servir para

modelar fenómenos e objetos da física, da astronomia, da sismologia, da meteorologia, da

biologia, da medicina, das ciências humanas, da economia, de diversas formas de arte, da

informática, da indústria e outros mais.

Fractais como os conjuntos de Cantor e de Sierpinski são gerados através de um processo

de remoção de alguma parte da figura inicial enquanto os conjuntos de Koch, Peano e de

Hilbert são gerados através de um processo de alteração da figura inicial.

Os seguintes fractais clássicos foram apresentados na segunda metade do século XIX,

pelos matemáticos: Cantor (Geog Cantor (1945-1918) matemático russo cujos seus

trabalhos ligados com a teoria dos conjuntos estão na base do aparecimento do famoso

fractal conjunto de Cantor), Koch (Helge Von Koch (1870-1924) matemático sueco que

introduziu em 1904 o fractal conhecido como a curva de Koch), Sierpinski (Waclaw

Sierpinski (1882-1969) matemático polaco que criou em 1916 o fractal que recebeu o seu

nome triângulo de Sierpinski), Peano (Giuseppe Peano (1858-1932) matemático italiano,

descreveu a primeira curva em 1890. Desde então, foram descobertas, por outros

matemáticos, curvas que por possuírem caraterísticas comuns à primeira, foram

denominadas curvas de Peano) e Hilbert (David Hilbert (1862-1943), matemático alemão

que criou o fractal a curva de Hilbert) investigavam objetos que punham em causa algumas

das bases matemáticas da época relacionadas com a análise, álgebra e geometria.

Em meados do século XIX, não havia quase nenhuma representação gráfica dos fractais e

despendia-se muito tempo em cálculos devido a inexistência de computadores na época.

Por vezes, conjuntos deste tipo, com propriedades “estranhas” - curvas que não eram

diferenciáveis em nenhum ponto, auto-similares, com comprimento indefinido ou que não

podia ser medido, às quais o conceito de dimensão topológica parecia não se adequar -

eram vulgarmente apelidados de “monstros e de casos patológicos”, sem interesse

4

matemático e eram apresentados sem qualquer suporte de imagem ou apenas

acompanhados por esboços de pouca qualidade gráfica [2].

Em 1970, Benoit Mandelbrot, retomou o interesse pelas questões relacionadas com a

publicação de Gaston Julia e, com a ajuda dos meios computacionais que tinha ao seu

dispor na IBM, onde trabalhava, iniciou a partir de 1957, no centro de investigação

Thomas J. Watson [59], o seu estudo. Contudo começou primeiramente por estudar séries

temporais relacionadas com preços e posteriormente com um problema que, naquela

época, preocupava os técnicos da multinacional, e que estava relacionado com o ruído das

linhas telefónicas utilizadas para interligar computadores. Mandelbrot para o problema

propôs um modelo baseado no conjunto de Cantor e demonstrou que não era possível

eliminar os ruídos, mas poder-se-ia estabelecer um controlo dos mesmos mediante

oportunas estratégias de redundância. Em 1962, Mandelbrot publicou a memória, uma das

suas primeiras referências sobre séries temporais em finanças. Em 1967 publicou, sobre

um tema que encontrou numa publicação do cientista britânico Lewis F. Richardson.

A sucessão de todos os seus trabalhos de investigação viria dar origem ao trabalho de 1975

intitulado. E nesse trabalho que é introduzido o termo fractal para identificar as classes de

objetos rugosos, quebrados e aparentemente sem forma que reinam absolutamente no

mundo em que vivemos. “A geometria fractal é a geometria das formas irregulares que

encontramos na natureza” [3][8]. A definição de fractal ainda não está totalmente definida

e precisa. Até mesmo a matemática, a mais concisa de todas as línguas, tem dificuldade em

descrever um fractal [52]. A geometria fractal consiste numa extensão da geometria

euclidiana tradicional. Ela não a substitui, enriquece-a, trazendo a possibilidade de

descrever com precisão objetos diretamente relevantes para a compreensão do mundo real.

A geometria fractal pode ser vista como um novo idioma ou uma nova linguagem, assim

torna-se possível descrever a forma de uma nuvem com a mesma precisão da arquitetura de

uma casa.

Mandelbrot em 1980 apresenta, o primeiro traçado detalhado do gráfico do sistema

dinâmico no campo complexo denominado conjunto de Mandelbrot (

= + , onde

é um número complexo e o parâmetro em questão) é provavelmente o fractal mais

popular e, possivelmente, um dos objetos matemáticos contemporâneos visualmente mais

conhecidos neste meio.

5

Mandelbrot juntamente com Richard F. Voss (colegas de trabalho na IBM) criaram, um

sistema gráfico computacional inovador que permitiu criar imagens de fractais a cores até

então nunca vistas e que foram publicadas no livro na edição de 1982. Neste mesmo livro

Mandelbrot coloca os fractais num sem número de contextos científicos. Um pouco mais

tarde aplicaram-se estes métodos, e outros mais avançados na criação de imagens de

paisagens, montanhas, nuvens e de galáxias para filmes como os da saga Star Wars e em

outros mais [59].

Mandelbrot, ao escrever variadíssimos artigos que lidam com a geometria de fenómenos

observados em vários campos da ciência e de forma criativa, gerou um interesse sobre este

assunto.

A interdisciplinaridade na geometria fractal, esta vincada nos próprios livros de

Mandelbrot que discutem árvores, rios, montanhas, nuvens, pulmões, linhas de água,

turbulência, economia, frequência de palavras num texto, e muitos outros tópicos

interligados por conceitos geométricos.

6

1.2. OBJETIVOS

Objetivos desta dissertação são apresentar os fractais, mostrando as várias propriedades,

comparar as aplicações da geometria fractal relativamente à geometria euclidiana e mostrar

as várias aplicações que estes podem ter nos mais diversos campos da ciência.

1.3. CALENDARIZAÇÃO

A calendarização das várias fases de desenvolvimento do trabalho é na seguinte tabela

(Tabela 1). As tarefas desenvolvidas consistiram no estudo de bibliografia, que teve como

base artigos científicos e livros na área; na obtenção e análise de informação existente e,

por fim, na elaboração do relatório final. O estudo da bibliografia foi a tarefa que se

prolongou mais no tempo, dada a falta de conhecimento do mestrando sobre este assunto.

Tabela 1 Calendarização do projeto.

7

1.4. ORGANIZAÇÃO DO RELATÓRIO

O relatório foi estruturado em 4 capítulos, nomeadamente:

1. Introdução: é realizada uma contextualização sobre os fractais e sobre a

importância desta nova forma de geometria;

2. Fractais: apresentam-se os vários tipos de fractais, propriedades, caraterísticas,

cálculos de dimensão fractal;

3. Aplicações da geometria fractal: nos campos da geologia, biologia, física,

medicina, música, engenharias, área financeira;

4. Conclusões.

8

9

2. FRACTAIS

Hoje em dia, com o desenvolvimento dos computadores, a aplicação prática dos fractais é

cada vez maior, constituindo uma nova perspetiva de encarar a realidade e também uma

ferramenta científica de enorme potencialidade e que se encontra ainda a dar os primeiros

passos. No entanto, aquilo que mais contribui para a sua divulgação é certamente a

espetacularidade das suas imagens que, no mínimo, se podem considerar intrigantes e

bizarras.

Um fractal tem como caraterísticas a escala, complexidade, auto-similaridade (exata e

aproximada) e dimensão. A sua definição não se enquadra nas definições clássicas da

geometria euclidiana [11].

Um objeto ou figura geométrica é um fractal se apresentar uma ou mais das seguintes

propriedades:

▪ Ter uma “estrutura fina/ rugosa”, que contém detalhe numa escala arbitrariamente

pequena e quanto mais se amplia a sua imagem, mais detalhes é possível observar.

Isto não ocorre com figuras geométricas convencionais, como exemplo: a

circunferência, se ampliarmos suficientemente um pequeno arco da mesma e dele

retirarmos um pequeno arco que também ampliaremos e repetindo sucessivamente

o processo, obteremos um arco virtualmente retilíneo.

10

▪ Ser demasiado irregular para se poder descrever facilmente em termos clássicos,

quer em termos globais quer ao nível da sua geometria local. Não se trata do lugar

de pontos que satisfaz uma determinada condição, num dos pontos que representam

o conjunto solução de uma equação simples, sendo também complicado descrever o

que se passa à volta de cada um dos seus pontos.

▪ Possuir algum tipo de auto-similaridade (exata, aproximada) também designada,

por Mandelbrot, de homotetia (propriedade das figuras geométricas que, sendo

semelhantes, têm posição relativa tal, que qualquer ponto de uma delas é colinear

com o ponto correspondente da outra e com um ponto fixo que se diz centro de

homotetia (ou homotesia)).

o Auto-similaridade exata: este tipo de fractal designa-se como “puro”

contém cópias de si próprio a escalas tão pequenas quanto se queira.

Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam

auto-similaridade exata, sendo este processo muito simples e direto. O

procedimento recursivo gera, em cada iteração, uma cópia ampliada dos

elementos que o constitui.

o Auto-similaridade aproximada: o fractal possui medidas numéricas ou

estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de

fractais geralmente implicam alguma forma de auto-similaridade

aproximada. Os fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem

auto-similaridade aproximada, uma vez que, partes destes têm uma estrutura

ou uma distribuição estatística idêntica mas não são réplicas exactas.

Exemplos destes são os designados: fractais na natureza.

▪ A dimensão fractal representa o nível de irregularidade de um objeto geométrico. A

dimensão fractal de um conjunto pode ser diferente da sua dimensão topológica. O

conceito de dimensão fractal está relacionado com a forma que um conjunto tem de

ocupar o espaço e, inclusivamente pode não ser um número inteiro.

O conceito matemático de dimensão topológica de um conjunto versus dimensão fractal,

está exemplificado na Figura 1. Dizemos, por exemplo, que um plano é bidimensional

porque um ponto de um plano é descrito por duas coordenadas cartesianas [11].

11

Figura 1 Comparação entre dimensão euclidiana (à esquerda) e fractal (à direita).

Por exemplo, a Curva de Hilbert, embora seja uma linha a uma dimensão (de dimensão

topológica 1), comporta-se quase como um espaço a 2 dimensões, para um número infinito

de iterações, preenche totalmente uma área.

A dimensão de Hausdorff - Besicovitch é uma dimensão que pode tomar valores não

inteiros e é igual à dimensão topológica para os espaços Euclidianos [48][58].

Fractais são formas complexas que não podem ser medidas apenas por dimensão

topológica. A dimensão fractal surge então como uma alternativa de medição já que pode

assumir valores fracionários, obtendo assim o grau de complexidade de uma forma [63].

Pode-se afirmar que a dimensão fractal de um conjunto é um valor que diz o quanto

densamente um conjunto ocupa o espaço métrico em que ele existe.

Para definir dimensão é necessário saber qual o método de cálculo que se utilizou. Esta

pode ser calculada pelo método da auto-similaridade, tomando o limite do quociente das

mudanças logarítmicas em tamanho e em escala de medida, à medida que a escala de

medida se aproxima de zero (ver fórmula (1)). Se uma curva pode ser subdividida em

partes, sendo o todo

vezes maior do que cada uma delas, a dimensão de Hausdorff

Besicovitch será:

=

ln

(1)

12

Dimensão de Hausdorff Besicovitch fórmula (2):

=

(2)

Um outro método de determinar a dimensão fractal de um fractal (de conjunto no espaço

euclidiano) é a determinação da chamada dimensão de contagem de células de uma grelha

ou de empacotamento (box-counting dimension or packing dimension), que é uma

dimensão que coincide em muitos casos com a dimensão de Hausdorff - Besicovitch.

O box-counting ou box-dimension é um dos métodos mais utilizados. A sua grande

popularidade deve-se a sua facilidade de uso em cálculos matemáticos e em estimativas

experimentais. O algoritmo para o cálculo dessa dimensão considera uma figura qualquer

coberta por um conjunto de quadrados, e calcula o número de quadrados necessários para

cobrir toda a figura que é representado por , sendo a escala, ou seja, número de

vezes que a imagem será dividida. Essa divisão pode ser observada na Figura 2. Imagina-se

esse fractal desenhado sobre uma grelha uniformemente espaçada e conta-se o número de

células de uma grelha necessários para cobrir o conjunto. A dimensão de empacotamento é

calculada vendo como esse número muda à medida que fazemos uma grelha mais fina.

Na curva de Koch obtemos o seguinte resultado; medida analítica de 1.2619 e de medida

experimental de 1.2268.

13

Figura 2 Exemplo de tamanhos de grelhas usados no box–counting.

Os fractais podem ser divididos em várias categorias segundo o modo como são formados

ou gerados tais como:

A. Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos

como é o caso da Figura 3 que ilustra os fractais naturais com auto-similaridade

aproximada ou outro exemplo o voo de Lévy [59];

Figura 3 Couve-flor (brócolis, à esquerda) e carvalho (à direita) [20].

14

B. Ponto fixo de um sistema de funções iterativas. Um conjunto de funções é aplicado

sucessivamente a um subconjunto compacto de um espaço métrico um número

infinito de vezes. Estes fractais também se designam de fractais determinísticos ou

geométricos, são subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do

próprio objeto nele mesmo, possuem uma regra fixa de substituição geométrica,

aplicada a cada iteração como por exemplo a curva de Peano e conjunto de Cantor,

(Figura 4), curva e “Floco de Neve” de Koch, esponja de Menger (Figura 5) e

triângulo de Sierpinsky (Figura 6).

Figura 4 Curva de Peano (à esquerda) e conjunto de Cantor (à direita) [30].

Figura 5 Curva de Koch (à esquerda) e esponja de Menger (à direita) [25].

15

Figura 6 Triângulo de Sierpinski, algumas iterações [27].

C. Fractais definidos por uma relação de recorrência, em cada ponto do espaço, estes

fractais são gerados por computadores e também são chamados de fractais de fuga

do tempo ou fractais em sistemas dinâmicos, como os conjuntos de Mandelbrot e

Julia, (Figura 7), com a borboleta de Lorenz e o jogo do caos (Figura 8). O

conjunto de Mandelbrot é um dos fractais mais conhecidos, uma figura tão

complexa que seria impossível conhecê-la ao longo de uma vida inteira sem a

evolução dos computadores. Matematicamente, o conjunto de Mandelbrot é

caraterizado pela seguinte fórmula: → + sendo um número complexo, e é o

parâmetro em questão [48].

Figura 7 Conjunto de Mandelbrot (à esquerda) e conjunto de Julia (à direita).

16

Figura 8 Borboleta de Lorenz (à esquerda) e teoria do caos (à direita) [21].

2.1. FRACTAIS GEOMÉTRICOS CLÁSSICOS

Nesta secção será feita uma abordagem a alguns exemplos de fractais clássicos que

utilizam no seu processo de construção, o processo iterativo, o sistema de funções iteradas

(SFI). Fractais como os conjuntos de Cantor e de Sierpinski são gerados através de um

processo de remoção de alguma parte da figura inicial e conjuntos de Koch, Peano são

gerados através de um processo de alteração da figura inicial.

17

2.1.1.

A CURVA DE KOCH

A curva de Kock ou a “ilha de Koch” baseiam-se num processo de construção, o processo

recursivo, tendo a curva de Koch uma figura inicial um segmento de reta, e a ilha de Koch,

um triângulo equilátero, que é composto por três desses segmentos de reta.

A curva de Koch tem várias vantagens. Por exemplo, no corpo humano, bem como na

maioria dos seres vivos, superfícies enrugadas sobre si mesmo, servem para maximizar a

superfície total e assim aumentar o seu desempenho funcional. O facto de mais superfície

estar compactada num mesmo volume, trás a estes objetos uma dimensão não inteira. A

curva de Koch parece estar entre uma linha e um polígono, devido a ser uma linha fechada

de comprimento infinito. As ferramentas que permitem o cálculo da dimensão dão à curva

de Koch uma dimensão aproximada de 1,26 (calculada mais abaixo), o que quer dizer a sua

dimensão “foge" às dimensões euclidianas da linha, de dimensão 1.

O exemplo que se segue mostra um modelo fractal para descrever o sistema circulatório

(Figura 9). A vantagem dos corpos dos animais possuírem órgãos com caraterísticas

fractais é para obterem estruturas mais eficientes em termos energéticos, dado ser possível

fazer com mais superfície o que, em alternativa teria de ser realizado com mais volume

(Figura 10). Encontra-se assim uma solução mais económica, resultando que o ser vivo em

questão precisa de menos alimento [59].

Figura 9 Sistema circulatório [59].

18

Figura 10 Rugosidades dos intestinos e do cérebro [59].

O processo iterativo da curva de Koch pode ser descrito da forma que se segue:

1) Começar com um segmento de reta ver (Figura 11):

Figura 11 Segmento de reta inicial do processo iterativo da curva de Koch.

2) O procedimento a efetuar na primeira iteração, sendo a regra recursiva, consiste em

dividir o segmento de reta em 3 partes iguais (Figura 12), manter as duas pontas e

substituir a do meio de um triângulo equilátero ao qual se removeu a base e cujos

lados têm comprimento igual à terça parte do segmento inicial.

Figura 12 1ª Iteração do processo iterativo da curva de Koch [25].

19

3) Aplicar o procedimento descrito em 2) a cada um dos 4 segmentos obtidos da reta

na iteração anterior (Figura 13).

Figura 13 2ª Iteração do processo iterativo da curva de Koch [25].

4) Repetir o processo indefinidamente, aplicando o procedimento descrito em 2) a

cada segmento de reta produzida na etapa anterior para obter o que designamos de

curva de Koch (Figura 14).

Figura 14 n-ésima iteração do processo iterativo da curva de Koch [28].

A construção da curva de Koch apresenta uma notória auto-similaridade em todas as

escalas. Por exemplo, se fizermos ampliação sobre a curva no pequeno retângulo

assinalado na imagem da Figura 15 (em cima), obtemos a imagem da mesma figura (em

baixo) que é exatamente igual à curva de Koch original, podendo efetivamente ser vista

como o resultado de um reescalonamento da imagem original pela razão .

20

Figura 15 Ampliação de uma parte da curva de Koch [28].

De seguida, descreve-se o processo iterativo da ilha de Koch Figura 16 explicando o seu

processo iterativo, salientando-se as várias propriedades deste fractal e que poderá ser

adaptado a outros que sejam obtidos pelo mesmo processo (SFI). Segue a seguinte

demostração:

Figura 16 Figura inicial da ilha de Koch e os primeiros 5 passos iterativo [25].

A ilha de Koch é uma figura geométrica regular fechada cuja fronteira é composta por

infinitos lados cada vez mais pequenos, sendo estes três vezes mais pequenos em cada

iteração. Na Tabela 2 seguinte estão representados: o comprimento de cada segmento, o

número dos segmentos e o perímetro da curva de Koch. Considera-se o lado do triângulo

inicial gerador igual a 1 unidade.

21

Nº iterações

Comprimento do

segmento

Número de segmentos

Perímetro

0

1=3

3 × 4 = 3

1

1

1

3 =3

3 × 4 = 12

1.33

2

1

9 =3

3 × 4 = 48

1.77

3

1

27

= 3

3 × 4 = 192

2.37

4

1

81

= 3

3 × 4 = 768

3.16

Tabela 2 Iterações, comprimento do segmento, número de segmentos e perímetro.

Na tabela abaixo é feito um resumo do comportamento da curva de Koch, relativamente a:

Nº

(nº de segmentos), Comp

(comprimento dos segmentos),

P

(perímetro da curva) e por fim A

(área da curva).

Designação

Expressão

Comportamento da curva

Nº

3× 4

Sucessão monótona crescente, → ∞

Comp

3

Sucessão monótona decrescente, quando

→∞,

n→ 0

P

(3× 4 ) × (3 )

P

→ ∞, pois →∞. É uma progressão

geométrica cujo primeiro termo é positivo de razão

>1. (ver fórmula (3))

A

√3

4

+

3√3

20

=

2√3

5

≈ 0.7

A

é finita ≈ 0.7. (ver a partir fórmula (7))

Tabela 3 Comportamento da curva de Koch.

22

Quanto ao perímetro da curva de Koch é representada pela seguinte expressão:

= Nº

×

(3)

= 3 × 4 × 3

(3.1)

=3×

4

3

(3.2)

O resultado da expressão acima indica que,

→ ∞ quando n→∞,

é

uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é positivo, e a razão é superior a 1, sendo

assim o perímetro da curva de Koch Infinito.

Seguindo a mesma linha de pensamento, o cálculo da

tendo como condições

iniciais, o comprimento do lado do triângulo igual a 1 unidade, o comprimento de cada

lado de cada nova figura triangular reduzida do factor de razão e assim, a área de cada

triangulo formado das sucessivas iterações, sofre redução de [48] (ver Figura 17). Desta

forma a

é traduzida pela seguinte expressão:

=

1×

√3

2

2

=

√3

4

(4)

Para exemplo realizando a 1ª iteração temos 3 novos triângulos cuja área é √ × , logo o

valor da seguinte expressão é:

=

√3

4

+ 3 ×

√3

4

×

1

9

=

√3

4

+

√3

12

(5)

23

Logo na n-ésima iteração temos 3 4

novos triângulos

√

logo o valor da área

da figura seguinte é:

√3

4

√3

12

√3

12

4

9

√3

12

4

9

√3

12

4

9

⋯

√3

12

4

9

(6)

Figura 17 Divisão de um triângulo equilátero em nove triângulos equiláteros iguais [48].

Resultando a expressão como a soma entre

√

e os termos de progressão geométrica de

, de razão com o primeiro termo igual a

√

e cuja soma dos primeiros termos é:

√3

12

1

4

9

1

4

9

(7)

Logo quando → ∞,

√ e portanto a área da curva de Koch é:

√3

4

3√3

20

2√3

5

0.7

(8)

Desta forma conclui-se que a área da curva de Koch é finita.

24

Antes de definir a dimensão da curva de Koch segue mais umas breves explicações sobre o

conceito dimensão, classificamos as linhas como objetos de dimensão 1, superfícies com

dimensão 2 e sólidos com dimensão 3 (ver Figura 18). Em superfícies podemos calcular

áreas que, nos casos mais simples, se obtêm multiplicando o comprimento pela largura.

Nos sólidos podemos determinar volumes que, nos casos mais simples, se obtêm

multiplicando comprimento, largura e altura [10].

Figura 18 Exemplos de dimensões de objetos superfícies e sólidos [10].

25

A fórmula (9) indica o cálculo da dimensão de objetos com auto-similaridade e segue

abaixo o respectivo desenvolvimento da mesma:

= lim

→

log

log

(9)

Onde:

•

: é a dimensão do objeto;

•

: número de partes iguais da iteração, =4;

•

: é o comprimento da linha, igual a 1 unidade;

•

: comprimento de cada segmento, onde = ;

Substituindo os valores, a dimensão da curva de Koch tem o valor abaixo:

=

log

1

4

log

1

3

= =

log 4

log 3

≈ 1.2619.

(10)

26

2.1.2.

O CONJUNTO DE CANTOR

O conjunto Cantor é obra do matemático George Cantor que viveu no século XIX, é

considerado o precursor dos fractais e este conjunto é resultante da remoção sucessiva do

terço central de um segmento de reta. Na Figura 19 pode-se visualizar as primeiras três

iterações da sua construção.

Este conjunto tem algumas propriedades como:

• Tem comprimento zero, pois a cada iteração o comprimento do conjunto é do

comprimento da iteração anterior. Por exemplo se o comprimento inicial for 1, ao

fim da primeira iteração é , na segunda iteração é

, na terceira é

,

pelo que o comprimento quando

çã →

0.

• O seu limite é ∞, pois os extremos dos segmentos de reta nunca são removidos e

em cada passo o número de extremos é multiplicado por 2.

• É auto-similar, isto é cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser

observado nas seguintes Figura 19 e Figura 20:

Figura 19 Apresentação de 3 iterações e respetivos intervalos que constituem o conjunto de

Cantor [15].

27

Figura 20 Zoom de algumas iterações do conjunto de Cantor [15].

Intuitivamente observa-se que estamos diante de uma infinidade de pontos, assim a

dimensão fractal não será nula. Por outro lado vemos claramente que não temos uma reta

devido aos “espaços” referentes aos terços centrais retirados, logo a dimensão fractal

também não é 1.

Portanto a dimensão do conjunto de Cantor está compreendida entre 0 e 1. Aplicando a

fórmula (11) obtemos o seguinte valor da dimensão:

=

log

1

2

log

1

3

log 2

log 3

0.6309.

(11)

2.1.3.

TRIÂNGULO DE SIERPINSKI

Este fractal é aproximadamente 40 anos mais jovem que o conjunto de Cantor e foi

apresentado pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski.

O triângulo de Sierpinski pode ser construído por diferentes formas, desde alguns

processos geradores completamente distintos até mesmo pelo jogo do caos (fractal de

sistema dinâmico ponto 2.2.3). A Figura 21 é o conjunto resultante da remoção sucessiva

do triângulo equilátero do centro, quando se divide um triângulo equilátero em quatro

triângulos iguais. Na figura seguinte pode-se visualizar as primeiras quatro iterações da sua

construção [48].

28

Figura 21 Processo iterativo do triângulo de Sierpinski (primeiras 4 iterações)[27].

Analisando a Tabela 4, retiramos algumas propriedades como:

• Tem área zero, pois a cada passo a área reduz-se para resultando a progressão

geométrica de razão < 1 que quando →∞ a área do triângulo tende para zero.

• Tem perímetro infinito sendo o resultado da progressão geométrica de razão> 1 que

quando → ∞ o seu resultado tende para infinito.

• É auto-similar, pois cada parte é uma cópia de si própria.

Nº iterações

Área

Tendência do valor

da Área

Perímetro

Tendência do valor

do Perímetro

0

=

=

1

= ×

3

4

↘

3

2

↗

2

3

4

↘

3

2

↗

3

3

4

↘

3

2

↗

3

4

Razão:

1, tende

para valor 0

.

Razão:

1,

tende para valor ∞

Tabela 4 Área e perímetro do triângulo de Sierpinski até 3ª iteração.

29

Desta forma a dimensão do triângulo de Sierpinski é dada pela seguinte expressão:

=

log

1

2

log

1

3

log 3

log 2

1.5850

(12)

Figuras como o “tapete de Sierpinski” e a “esponja de Menger” Figura 22 a sua construção

assemelha-se ao triângulo de Sierpinski.

Figura 22 Tapete de Menger (à esquerda) e esponja de Menger (à direita)[3].

2.1.4.

CURVA DE PEANO

A curva de Peano, apresentada em 1890, é um exemplo de um fractal que preenche o

plano. Uma curva que preenche o plano passa por todos os pontos de uma determinada

área, acabando por, gradualmente a ocupar na totalidade.

O ponto de partida para a construção da curva de Peano é um segmento com uma unidade

de comprimento. Na 1ª iteração, o segmento é substituído por 9 segmentos de

comprimento igual a um terço do comprimento do segmento inicial, e colocados como

indica a primeira imagem da Figura 23. Esses 9 segmentos constituem a 1ª iteração da

construção recursiva da curva de Peano. Depois, o processo recursivo aplica-se a cada um

dos 9 segmentos, até ao infinito.

30

Figura 23 Processo recursivo da construção da curva de Peano [28].

Observe-se que as curvas obtidas nas diferentes iterações da recursão, a partir da primeira,

intersectam-se a si próprias nos vértices dos pequenos quadrados que se vão formando em

cada iteração. Pode-se demonstrar que no limite, isto é, na curva de Peano, se passa o

mesmo, dando-se o preenchimento do plano. Agora, cada segmento de reta é substituído

por vários segmentos de reta com tamanho inferior e proporcional por um factor de escala

3. Repetindo-se este processo de construção da curva, observa-se no final da sua

construção um quadrado completamente preenchido (Figura 23).

Observando-se a Tabela 5 verifica-se as várias propriedades da curva de Peano, a área está

limitada à área do quadrado.

A dimensão da curva de Peano pode ser calculada da seguinte forma:

=

log

1

9

log

1

3

log 9

log 3

2

(13)

31

Nº iterações

Número de segmentos

Comprimento de cada

segmento

Perímetro

0

1

1

1

1

9

1

3

9

1

3

= 3

2

9 9= 9

1

3

×

1

3

=

1

3

9 ×

1

3

= 3

3

9×9×9= 9

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

3

9 ×

1

3

= 3

4

9×9×9×9= 9

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

3

9 ×

1

3

= 3

9

1

3

3

Tende para ∞

Tende para

Tende para ∞

Tabela 5 Iterações, número de segmentos, comprimento de segmentos, comprimentos da linha

da curva de Peano até a 4 iteração.

2.1.5.

CURVA DE HILBERT

A curva de Hilbert preenche completamente um plano. Faz um mapa de um intervalo

unidimensional para uma área bidimensional. Julgava-se impossível existir uma função

deste tipo até que, em 1891, David Hilbert descobriu a sua curva. Esta curva tal como a de

Peano é construída através de um processo recursivo.

A figura inicial é um quadrado unitário, ver a Figura 24 e a figura geradora consiste em

dividi-lo em quatro quadrados iguais, unindo os pontos centrais de cada um desses

quadrados. A curva é formada, não pelos quadrados mas sim pelos segmentos de reta

formados pela ligação desses pontos centrais. Os sucessivos passos, são construídos

32

utilizando o processo anterior, como está descrito na Figura 25. A Figura 26 representa o

modelo a 3 dimensões, à direita a cor dos segmentos significa o nível de iterações.

Observa-se na Tabela 6, as várias propriedades da curva de Hilbert.

Figura 24 Figura inicial (à esquerda) e geradora da curva de Hilbert (à direita) [22].

Figura 25 Processo recursivo da construção da curva de Hilbert [22].

A curva de Hilbert, tal como a de Peano, tem comprimento infinito limitado à área de um

quadrado.

A sua dimensão é calculada da seguinte forma:

=

log

1

4

log

1

2

log 4

log 2

2

(14)

33

Nº iterações

Nº de quadrados

Comprimento do lado

do quadrado

0

1

1

1

4

1

2

2

16 4

1

2

3

64 4

1

2

4

256 4

1

2

4

1

2

Tende para ∞

Tende para

Tabela 6 Número de quadrados e comprimento de cada lado do quadrado.

Figura 26 Curva de Hilbert a 3 dimensões. À direita, as cores representam o número de

iterações [22].

34

2.2. FRACTAIS EM SISTEMAS DINÂMICOS

Um sistema dinâmico não-linear, é um sistema não pré-determinista, onde as implicações

dos seus integrantes individualmente são aleatórias e não previsíveis. Estes sistemas

evoluem no domínio do tempo com um comportamento desequilibrado e aperiódico, onde

o seu estado futuro é extremamente dependente de seu estado atual, e pode alterar

radicalmente a partir de pequenas mudanças no presente.

Estes sistemas podem surgir em campos da ciência como na biologia, geologia, medicina,

física, pintura, engenharias, mercados financeiros e em muitos mais a teoria dos sistemas

dinâmicos que se baseia em teorias matemáticas, trabalha os processos com o objetivo de

prever a evolução dos mesmos. Esta teoria procura, no aparente acaso, uma ordem inerente

determinada por leis bem definidas [14]. Aparentemente, sistemas dinâmicos que

envolvem processos complicados com um grande número de variáveis são imprevisíveis e

sistemas dinâmicos com poucas variáveis são previsíveis. No entanto, existem processos

simples e determinísticos que resultam em comportamentos aparentemente imprevisíveis e

aleatórios. O estudo pode ser realizado com a ajuda de computadores devido à sua grande

capacidade de cálculo e de representação gráfica.

2.2.1.

CONJUNTOS DE JULIA

No contexto de dinâmica complexa, um tópico da matemática, o conjunto de Julia que

também se poderia designar por Fatou-Julia pois foram os dois matemáticos franceses

Pierre Fatou e Gaston Julia que em meados de 1918 que introduziram os métodos iterativos

no estudo de sistemas dinâmicos para a implementação da geometria fractal, mesmo sem o

recurso do computador que nos dias de hoje é de grande utilidade para reproduzir

detalhadamente o comportamento de funções iteradas [56]. O conjunto de Fatou-Julia são

dois conjuntos complementares definidos por uma função. Informalmente, o conjunto de

Fatou de uma função consiste nos valores com a propriedade de que todos os valores

próximos comportam-se de forma similar por iterações repetidas, e o conjunto de Julia

35

consiste dos valores tais que uma perturbação arbitrariamente pequena pode causar

mudanças drásticas na sequência de valores iterados da função, ou seja tem dependência

sensível nas condições iniciais. Assim, o comportamento da função do conjunto de Fatou é

dito 'regular', enquanto no conjunto de Julia ele é 'caótico'. O conjunto de Julia de uma

função é usualmente denotado ( ), e o conjunto de Fatou denotado ( ).

Considerando a função

=

em que sendo número complexo e um ponto

fixo do plano complexo, para cada ponto temos o seguinte comportamento (ver Tabela

7):

Ponto

Tendência

Comportamento

Tende para ∞

é um ponto de escape e não pertence a

nenhum conjunto Julia

Tende para um círculo

em torno da origem

é um ponto prisioneiro

Tabela 7 Comportamento do conjunto em torno de .

Resumindo mesmo que para a situação de ser um ponto de escape e não pertencer a

nenhum conjunto de Julia, o conjunto desses pontos designam-se conjunto de escape de .

Contrariamente quando é um ponto prisioneiro, pertence a algum conjunto de Julia e o

conjunto que esses pontos formam designa-se conjunto de prisioneiro de . Desta forma os

conjuntos completam-se e preenchem alguma parte do plano complexo. Sendo assim a

fronteira do conjunto escape é simultaneamente a fronteira do conjunto prisioneiro e nesta

fronteira temos o conjunto de Julia associado ao parâmetro . O valor do ponto

determina a formação dos conjuntos de Julia, sendo associado com um conjunto de Julia

em particular. Podemos ver alguns exemplos na Figura 27, em que por exemplo, para

=0 obtemos o círculo unitário. Se pertencer ao interior do conjunto de Mandelbrot, o

conjunto de Julia obtido será conexo caso contrário o conjunto de será desconexo [48].

Os conjuntos de Julia "interessantes" correspondem aos pontos próximos à fronteira do

conjunto de Mandelbrot, pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a

36

formas geométricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram

poeira rodeada por manchas de cores.

Figura 27 Exemplos de alguns conjuntos de Julia [26].

Os conjuntos de Julia têm como propriedades: repetem-se em diferentes escalas de

ampliação, tendo auto-similaridade.

2.2.2.

CONJUNTOS DE MANDELBROT

O conjunto de Mandelbrot é um conjunto matemático dos pontos cuja fronteira é uma

forma fractal bidimensional distinto e facilmente reconhecível. O conjunto está

intimamente relacionado com Julia pois que incluem formas igualmente complexas, e é

nomeado em 1979 por Benoit Mandelbrot, após o seu estudo que o popularizou [56][59].

O modelo de Mandelbrot por ser um modelo mais simples que o de Julia e devido ao facto

na época já existir recursos computacionais, Mandelbrot conseguiu fazer de seu trabalho o

berço da teoria dos fractais e também foi possível encontrar relação entre o trabalho de

outros pesquisadores como Koch, Julia, Cantor e entre outros, com o seu.

37

A construção do conjunto de Mandelbrot baseia-se na função

=

onde

∈ e são números complexos e = 0. O conjunto de Mandelbrot é então

definido como um conjunto de todos os números complexos

tais que após um

determinado número de iterações não tende para infinito.

Iterando a função para cada ponto do plano complexo, obtemos a seguinte sequência de

iterações (ver fórmula (15)):

→ + → ( + ) + → ( + ) + ) + →⋯

(15)

Podemos visualizar os valores de assim como o comportamento da função na tabela

abaixo:

Ponto

(substituído em

fórmula(16))

Tendência

Comportamento

=0

0 → 0 → 0 → ⋯

=0 é um ponto de

convergência.

= −1

0 → −1 → 0 → −1 → 0 → ⋯

= −1, função com sequência

periódica limitada.

=

0 → → − 1 → − → − 1 → − → − 1 → ⋯

=, função com sequência

periódica limitada.

= −3

0 → −3 → 6 → 33 → 1086 → ⋯

= −3, função com sequência

periódica ilimitada.

=1

0 → 1 → 2 → 5 → 26 → 677 → 458330 → ⋯

=1, função com sequência

periódica ilimitada.

Tabela 8 Comportamento do conjunto em torno do ponto .

38

Na tabela acima, temos valores de

em que a função tem sequências periódicas e são

limitadas pois permanecem dentro de um círculo em que a distância à origem mantém-se

finita. E outros valores que a função tem, a tornam ilimitada afastando-se cada vez mais da

origem.

Os conjuntos formados pelas sequências limitadas e ilimitadas preenchem o plano

complexo e delimitam o conjunto de Mandelbrot por cores. Por exemplo, escolhe-se o

preto para sequências limitadas e outras cores, consoante o número de iterações dos

pontos, para as sequências ilimitadas [48]. Os valores fora das proximidades da origem,

onde 2, aplica-se uma cor e essa cor quanto mais rápido a série convergir para infinito,

sendo a sua velocidade de escape, mais quente será a cor a ser aplicada a este ponto.

Tomando a mesma linha de pensamento, para pontos mais próximos da origem é-lhes

aplicado cores frias (Figura 28).

Figura 28 Coloração dos pontos em relação à sua distância a origem.

39

No conjunto de Mandelbrot pode-se encontrar, os conjuntos de Julia, fazendo variar os

valores do número complexo (Figura 29).

Figura 29 Conjunto de Mandelbrot como catálogo de conjuntos de Julia.

O conjunto de Mandelbrot tornou-se popular fora da matemática, tanto para seu apelo

estético e como um exemplo de uma estrutura complexa, decorrente da aplicação de regras

simples, sendo desta forma um dos exemplos mais conhecidos de visualização matemática.

Este conjunto tem como propriedades a auto-similaridade, ver na imagem abaixo após

várias ampliações mantém a forma inicial e a dimensão do seu bordo é 2.

Figura 30 Algumas ampliações do conjunto de Mandelbrot [28].

40

2.2.3.

TEORIA DO CAOS

A teoria do caos estuda o comportamento aleatório e imprevisível dos sistemas e tem como

premissa, os comportamentos casuais embora aleatórios também são governados por leis.

O comportamento deste tipo de sistemas, depende da dependência sensível às condições

iniciais. Isso significa que pequenas variações nos estados iniciais de um sistema caótico,

podem provocar enormes variações nos estados seguintes.

O processo conhecido como jogo do caos foi criado por Michael Barnsley um matemático

Britânico [13][14] e é descrito através de um processo aleatório em que cada função iterada

do sistema é aplicada aleatoriamente. A técnica é utilizada para criar modelos de formas

naturais tais como plantas, cartografia de falhas sísmicas, nuvens, galáxias, o fenómeno

atrito, a turbulência de uma massa de ar, escoamento de fluidos, as reações químicas, o

crescimento de uma população, cartografia de falhas sísmicas, nuvens, galáxias, as

variações do mercado financeiro são exemplos de sistemas dinâmicos não lineares sobre os

quais esta 'Ciência do Caos', através do uso de formas fractais, se debruça. Esta ciência

encontra-se indissociavelmente ligada aos computadores com a sua elevada velocidade de

processamento e capacidades gráficas, se consegue formar imagens espetaculares

intrigantes bizarras de beleza notável.

Os conjuntos invariantes de muitos sistemas dinâmicos não lineares, em particular os

chamados “atractores estranhos”, têm estruturas detalhadas em todas as escalas de

magnificação. É esta a ligação dos fractais à teoria do caos. Há uma ordem fractal por

detrás de fenómenos aparentemente caóticos. Assim a teoria do caos não é uma teoria de

desordem mas busca, no aparente acaso, uma ordem intrínseca determinada por leis

precisas. Nas últimas décadas, depois de um árduo trabalho, matemáticos e físicos

elaboram teorias para explicar o caos. Hoje sabe-se muito a respeito de fenómenos

imprevisíveis que, ao serem compreendidos passam a ser um pouco mais previsíveis.

Para exemplificar o que acima foi escrito que a teoria do caos procura, no aparente acaso,

uma ordem inerente determinada por leis bem definidas, segue o seguinte exemplo, do

jogo do caos [48] que consiste em utilizar um dado cujas faces estão numeradas de 1 a 6 e

um triângulo [ABC], inserido num tabuleiro. O dado funciona como gerador aleatório,

fazendo corresponder as faces 1, 2 do dado ao vértice A do triângulo, 3, 4 a B e 5, 6 a C.

41

Iniciamos o jogo escolhendo aleatóriamente um ponto no tabuleiro (Figura 31). De

seguida, lança-se o dado. Assumindo que o valor gerado é 2 verifica-se pela

correspondência descrita, que corresponde ao vértice A. Define-se então como o ponto

médio entre e A. Lança-se novamente o dado e suponhamos que é gerado o número 5

que corresponde ao vértice C. Define-se então como o ponto médio entre e C. Este

processo repete-se indefinidamente e forma a Figura 32.

Figura 31 Jogo do Caos (as 5 primeiras iterações) [48].

Este é um exemplo de um fractal obtido a partir de um conjunto determinístico de regras.

Figura 32 50000 Iterações do jogo do caos [48].

42

43

3. APLICAÇÕES DA

GEOMETRIA FRACTAL

Neste capítulo vão ser expostas resumidamente algumas das aplicações da geometria

fractal. Este é um assunto em constante evolução e mais aplicações irão continuar a surgir.

Durante séculos, a geometria euclidiana, serviu de base para modelação e para a

compreensão da geometria da Natureza. Com o aparecimento da geometria fractal nos anos

70 do século XX por Mandelbrot, o conceito fractal foi bem recebido pela comunidade

científica dos mais variados campos.

As formas encontradas nos animais e plantas chamam a atenção dos matemáticos, por

exemplo, muitas conchas formam espirais, as estrelas-do-mar possuem um conjunto

simétrico de braços, alguns vírus adotam formas geométricas regulares. Mas além dos

padrões de forma, existem os padrões de movimento, como o andar humano onde os pés

tocam o solo num ritmo regular, uma cobra do deserto que se move como uma espiral de

uma mola helicoidal, jogando seu corpo para frente em forma de curvas tentando

minimizar seu contato com a areia quente [2]. Mas a simetria da natureza é também muitas

vezes imperfeita, existindo outra categoria de padrões naturais, padrões que existem onde

pensávamos que tudo era aleatório e sem forma, estes padrões são chamados de Fractais.

44

Os fractais naturais estão à nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios

e seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos e entre outros. O conceito de geometria

fractal pode ser usado para modelar objetos naturais desde escala atómica até à escala do

universo. Mas este conceito só se aplica tendo-se em conta que em cada caso a aplicação

dos fractais está sempre limitada a um intervalo de escalas, fora deste a propriedade da

auto-similaridade, seja ela exata ou aproximada já não se verifica.

A modelação de objetos ou fenómenos naturais com a geometria fractal assenta na noção

de que é necessário aplicar aproximações que dependerão do grau de correção que se

pretende nos resultados finais. Estes métodos já eram utilizados na geometria euclidiana,

por exemplo o globo terrestre é em muitos casos estudado como se tratasse de uma esfera e

não o é. Porém temos de ter noção que nem tudo na natureza é fractal, o que significa que a

geometria euclidiana continua a ser útil e necessária, o que torna estas geometrias

complementares.

Este capítulo está dividido em três grupos de aplicações: o primeiro sendo aquelas que se

aplicam a objetos ou fenómenos da natureza, segundo aquelas que se aplicam a invenções

Humanas, terceiro aquelas que se destinam a modelar ocorrências da ciência económico-

sociais.

3.1.

NA NATUREZA

A ideia de descrever os fenómenos naturais através do estudo estatístico leis de escala não

é recente. No entanto, tem existido um interesse mais intenso recentemente por várias áreas

científicas. Um grande número de sistemas físicos tendem, a apresentar comportamentos

semelhantes em diferentes escalas de observação. A principal atração da geometria fractal

deriva da sua capacidade de descrever a forma irregular ou fragmentada de recursos

naturais bem como de outros objetos complexos que a geometria euclidiana tradicional não

consegue analisar. Este fenómeno é muitas vezes expresso por leis e dimensionamento

estatísticos no domínio do tempo e caraterizado principalmente pelo comportamento de lei

de potência de sistemas físicos do mundo real. Este conceito permite uma interpretação

45

simples, geométrico e é frequentemente encontrado numa variedade de campos, tais como

geofísica, biologia ou mecânica dos fluidos. Relações que dependem da escala têm

profundas implicações na fisiologia humana, na ecologia e em muitas outras subdisciplinas

da biologia.

3.1.1.

NO CAMPO DA BIOLOGIA

Na última década, percebeu-se que alguns sistemas biológicos não têm comprimento

característico ou escala de tempo, ou seja, têm propriedades de um fractal. No entanto, as

propriedades fractais em diferentes sistemas biológicos têm natureza muito diferente,

origem e aparência. Em alguns casos, é a forma geométrica do objeto biológico que exibe

caraterísticas óbvias de um fractal, enquanto noutros casos, estas propriedades encontram-

se mais subentendidas e têm de ser estudadas em função do tempo ou mapeado num

gráfico. Depois de um mapeamento adequado, como um gráfico pode se assemelhar a uma

paisagem montanhosa, com dentado de cumes de todas as escalas de comprimento desde

muito pequenas saliências para enormes picos. Matematicamente, essas paisagens podem

ser quantificadas em termos de conceitos fractais como a auto-similaridade [40][41][44].

Uma aplicação interessante dos fractais que mistura biologia e geometria é medir o

contorno de habitats, para assim tentar saber como é que a irregularidade influencia, na

escolha do local para viver, oferecendo abrigo e proteção contra predadores, na influência

na superfície irregular das proteínas nas iterações moleculares de determinadas espécies e

em estudos de variações climáticas.

A geometria fractal propõe-se a medir superfícies complexas e irregulares como a copa de

uma árvore. Cada vez que aumentamos a precisão das medições aparecem mais detalhes e

curvas que têm uma importância muito grande para os animais. No entanto, cada uma delas

pode ser considerada como um refúgio para os animais que vivem nela e precisam se

proteger do vento e dos predadores. Acontece que nem todos os refúgios servem para todos

os animais e, sim, são compatíveis com o tamanho de cada um deles ver Figura 33.

46

Figura 33 Árvore que pode ser abrigo para diferentes animais (à esquerda visão superficial) e (à

direita ampliação de um tronco de árvore) [18].

Esta geometria é designada de geometria de diferentes escalas, por exemplo: aos olhos de

uma formiga, uma fresta é o local ideal para se proteger. Numa mesma árvore existem

várias frestas como aquelas, que não são observadas por um gavião que pousa no mesmo

galho que se encontra a formiga [2]. Quanto mais irregular e recortado forem os galhos

menores os animais que nela vivem e tendem a aparecer em maior quantidade. Mas para os

animais maiores que necessitam de utilizar os galhos maiores a árvore parece ser lisa,

portanto, tudo depende da escala que se observa [6].

Na estrutura de plantas e de fungos, começou-se por medir a dimensão fractal do contorno

de folhas de várias espécies e pensa-se que, apesar de esse valor variar bastante dentro da

mesma espécie, ele pode ser a referência taxonómica. À semelhança destes, também se

mediram as dimensões de sistemas de raízes e conclui-se que a dimensão fractal de um

sistema de raízes vai aumentando ao longo do tempo e varia conforme a espécie, na

forragem de fungos a dimensão fractal varia entre as espécies e tende a ser maior quando

há mais nutrientes, o tronco subdivide-se em vários ramos que por sua vez se dividem em

ramos mais estreitos e assim por diante, o que podemos observar é a similaridade

aproximada entre uma pequena fração e pela totalidade da árvore (Figura 34 e Figura 35).

47

Figura 34 Auto-similaridade aproximada na couve romanesca (fractal natural).

Figura 35 Auto-similaridade aproximada na estrutura das folhas.

A samambaia é uma antiga planta primitiva que é feita do mesmo padrão em diferentes

escalas ver figura abaixo [23].

Figura 36 Auto-semelhança aproximada na estrutura das folhas [23].

48

Dispersões de plantas como a diásporas e de agentes patogénicos têm dispersão com

propriedades fractais. O padrão formado pelo espaço ocupado numa paisagem por espécies

de plantas como diásporas adaptadas para percorrer longas distâncias terá uma dimensão

fractal baixa. Estas plantas dispersam-se pela paisagem, avançando com grandes intervalos

entre os diversos pontos de fixação, estabelecendo continuadamente novas colónias e

epicentros que se apresentam em diferentes escalas. Contrariamente, as espécies menos

adaptadas a percorrer longas distâncias percorrem a paisagem estabelecendo-se nela de

forma contínua, apresentando novos epicentros apenas ocasionalmente, o que origina um

padrão de distribuição do espaço com dimensão fractal mais alta. Assim, fazendo a

transposição deste modelo para os agentes patogénicos, conclui-se que serão difíceis de

prever novas erupções de patogénicas cuja distribuição tenha dimensão fractal.

As bactérias são seres vivos interessantes do ponto de vista de fractais. Se se observar o

seu crescimento em placas petri no laboratório, formam-se padrões distintos, consoante as

condições impostas. Estas condições representam o que acontece na natureza e os padrões

são estratégias de defesa e comunicação das bactérias. Padrões análogos são observados

quando as bactérias resistem a alguns antibióticos. Seria extremamente útil compreender o

fenómeno por detrás dos mesmos, para conseguir combater de forma mais eficaz estas

bactérias.

Em animais como o Nautilus Shell Pompilius (Figura 37) é analisado em termos de sua

dimensão fractal e sua forma de espiral equiangular ou seja segue um padrão logaritmo

espiral. Descobertas afirmam que este ser é fractal desde o seu nascimento e que o seu

crescimento é ditado por um critério de auto-similaridade [53].

Figura 37 Imagem de um corte transversal de um Nautilus Shell Pompilius [23].

49

A Tabela 9 mostra, uma relação de várias estruturas observadas na natureza com suas

correspondentes dimensões fractais, medidas com aproximações variáveis, dentro do

domínio de escalas em que a propriedade de semelhança está presente (em geral, apenas

em caráter estatístico).

Área

Sistema

Dimensão Fractal

Biologia

Olho humano

Pulmão

Cérebro dos mamíferos

Proteínas

~1,7

~2,2

~2,6

1.6 < < −2,4

Geociências

Linhas Costeiras

Leitos de Rios

Contornos topográficos de montanhas

Objetos fragmentados (granito, carvão,

basalto, quartzo, entre outros)

1.2 < < 1,4

1 < < 1,2

1.1 < < 1.3

2.1 < < 2,6

Cosmologia

Distribuição de galáxias no Universo

~1,2

Estrutura da

Matéria

Nuvens projecção do perímetro

Aglomerados de metal em cátodo

Dedos viscosos (produzidos pela injecção de

um líquido noutro também viscoso)

~1,35

~2,43

~1,7

Tabela 9 Tabela de dimensões fractais de alguns elementos existentes na natureza [13].

Pode-se concluir que na complexidade de habitats, a coexistência de espécies aumentam

com a dimensão fractal da paisagem e que a natureza fractal das paisagens é um índice

muito importante e determinante das taxas de utilização de recursos.

50

3.1.2.

NO CAMPO DA GEOLOGIA

Muitos fenómenos geológicos possuem a simetria de escala, exemplos disso são as

distribuições de frequência dos tamanhos de fragmentos. Determina-se a dimensão fractal

de solos, a partir da distribuição dos tamanhos das partículas que os compõem e estuda-se,

a relação da sua dimensão com as suas propriedades de percolação e de retenção de água.

O mesmo método também é utilizado para estudar a fragmentação do solo. Este e outros

métodos utilizam-se para estimar a dimensão fractal da massa, dos poros da superfície de

solos arenosos e lodosos. A relação entre a geometria fractal, do solo e a diversidade da

microflora e microfauna está presente em fenómenos como: falhas geológicas, terremotos,

erupções vulcânicas e depósitos minerais e de petróleo.

Uma distribuição fractal, requer que o número de objetos maiores que um determinado

tamanho (magnitude), tenha uma dependência com esse tamanho que corresponde a uma

lei de potência. Um exemplo interessante, já percebido em 1954, é a relação de Gutenberg-

Richter entre a magnitude e a frequência dos terremotos, que leva a uma dimensão fractal

de 1,8 aproximadamente.

Os fractais têm-se mostrado úteis, no estudo dos meandros dos rios e dos contornos das

formações geológicas (Figura 38 e Figura 39). A dimensão fractal é uma medida da

rugosidade da paisagem, e a topografia do planeta Terra é resultado de muitas influências

em competição. Há evidências, por exemplo, de que o processo de erosão é invariante de

escala [56].

Os sistemas fluviais têm dimensão fractal, tendo uma relação entre o comprimento do

braço principal e a área drenada. O movimento das ondas do mar é vital para diversas

actividades, o ciclo de vida de alguma fauna e flora marinha dependem dos ciclos das

marés.

51

Figura 38 Foto de um satélite: Manaus, na confluência dos rios Solimões e Negro [15].

Figura 39 Vista aérea rio Sabinoso do novo México [15].

Corpos de água podem ser fractais, em lugares molhados com superfícies planas, as

mesmas formas ocorrem numa ampla gama de escalas, a marca de um fractal Figura 40.

52

Figura 40 Vista aérea de lagoas no Norte do Alasca [20].

Uma aplicação muito interessante é a utilização dos fractais na medição de linhas costeiras

pois os litorais têm uma estrutura fractal comum sobre a Terra. Mais detalhes surgem

quanto mais se aumenta o “Zoom” sobre a costa e o seu comprimento tende para infinito.

Pois os contornos intrincados da linha costeira que não desvanecem quando aumentamos a

escala, antes pelo contrário, cada vez que aumentamos a ampliação são desvendados mais

detalhes, até então despercebidos. Este fenómeno foi descrito por Richardson [55], em que

observou que quanto menor for a unidade de medição usada, maior é o comprimento

medido da linha costeira, já que uma unidade de medição mais pequena permite uma

melhor adaptação ao rendilhado da linha da costa. Richardson realizou observações

empíricas registando os comprimentos da linha costeira medidos em diferentes escalas ver

Figura 41 [10]. Representou as observações num gráfico de escala logarítmica,

nomeadamente, registou o logaritmo do comprimento da costa como funções do logaritmo

da unidade de medição. Reparou então que tais observações apareciam praticamente

alinhadas numa reta de declive negativo e valor absoluto aproximadamente 0.12.

Extrapolando, as observações de Richardson sugerem que se diminuirmos a unidade de

medição indefinidamente, o comprimento da linha costeira torna-se arbitrariamente grande

e deverá ser regido pela seguinte fórmula:

( ) =

(16)

53

Onde é uma constante positiva, é a unidade de medição e é a dimensão da linha de

costa, que no caso de Portugal continental é aproximadamente = 1.12 (Figura 42).

Figura 41 Escalas de diferentes dimensões [19].

Figura 42 Dimensões de algumas linhas costeiras [19].

54

O cálculo da dimensão pode ser feito pelo método de “contagem de caixas” ou “box-

counting” (Figura 43) ou pela curva de Koch. No entanto existe uma diferença notória

entre a curva de Koch e as linhas costeiras: a curva de Koch sendo um “produto de

laboratório” apresenta auto-similaridade exata enquanto as linhas costeiras exibem na

terminologia sugerida por Mandelbrot de auto-similaridade estatística ou aproximada, isto

é, após ampliados os segmentos das linhas costeiras são parecidos, mas não exatamente

iguais, com os segmentos da linha costeira em escalas diferentes. Constata-se que,

empiricamente, numa determinada gama de unidades de medição, as linhas costeiras

apresentam caraterísticas dos fractais (Figura 43) [43].

Figura 43 Método da contagem de caixas para o cálculo da dimensão de linhas costeiras.

3.1.3.

NO CAMPO DA MEDICINA

Nas estruturas de células, nos sistemas ramificados na fisiologia animal a dimensão fractal

é usada como medida da complexidade. Por exemplo, no contorno de células neuronais em

imagens bidimensionais, o valor da dimensão fractal é tido como uma medida morfológica

quantitativa da complexidade celular a ter em conta (Figura 44). As ramificações da

fisiologia animal [14] encontram-se em sistemas como: respiratório, circulatório [46] e

nervoso pois possuem uma estrutura altamente ramificada (Figura 45) [49].

55

A partir da análise em termos geométricos e físicos dos sistemas de tubos conclui-se que

tal rede de distribuição é melhor caracterizada por um sistema ramificado fractal para

preenchimento do espaço.

Figura 44 Imagens pretas e brancas usadas para o cálculo da dimensão fractal [49].

Figura 45 Ramificação no sistema respiratório e circulatório no pulmão e ampliação (à direita)

[46].

56

As estruturas ramificadas de neurónios (Figura 46) proporcionam, mais tolerância a

defeitos no crescimento e a danos. A ramificação fractal amplifica grandemente a área da

superfície de um tecido quer seja para absorção (pulmão, intestino), quer seja para

distribuição e colheita (vasos sanguíneos, intestino), ou para processamento de informação

(nervos) [17].

Figura 46 Imagem de ramificações em neurónios [17].

Na Figura 47 abaixo em 3D mostra um glóbulo fractal, um arranjo denso que permite que

o ADN se enrole num novelo sem interferir com a capacidade da célula em ler o próprio

genoma.

Figura 47 Capacidade de rugosidade numa célula de ADN.

57

No corpo humano o batimento cardíaco saudável é caótico e não regular (Figura 48), a

representação gráfica de um batimento cardíaco revela auto-similaridade em diversas

escalas de tempo[51].

Figura 48 Batimento cardíaco caótico [51].

O coração está cheio de redes fractais: as artérias e veias coronárias, as fibras que ligam as

válvulas à parede do coração, os músculos cardíacos em si. A ramificação fractal faz com

que a área de superfície disponível para a absorção seja muito maior, para que a

transferência de tubos brônquios, vasos capilares, forro intestinal, e ductos biliares. Este

modelo fractal do sistema de vasos sanguíneos permite atingir um fornecimento de

oxigénio homogéneo em todo o corpo. Além disso, a redundância de estruturas fractais

torna-a robusta contra lesões. Nas imagens, a análise de texturas, pode ser efetuada por

vários métodos (como: através do cálculo de dimensão fractal, escala, auto-similaridade)

de análise que analisam texturas baseadas na geometria fractal. Por exemplo: em imagens

de ressonâncias magnéticas cardíacas e de raios-x aos ossos [13][49].

Na Figura 49 mostra-se imagens de padrões vasculares da retina humana, onde observam

comportamentos fractais. A análise destes padrões pode ser útil para a deteção da mudança

vascular precoce, em doenças da retina [4], e também para proporcionar conhecimento

sobre a progressão da retina nos processos de doença.

58

Figura 49 Análise de padrões fractais na retina humana [4]

Por fim segue abaixo Tabela 10, onde indica quais as aplicações médicas que já utilizam

métodos de análise baseados em fractais [51][33].

Tabela 10 Os principais métodos fractais aplicados em análises de imagens médicas [13].

59

3.1.4.

NO CAMPO DA FÍSICA

Na física dos materiais ocorrem muitas das principais aplicações dos fractais. O

crescimento de estruturas sejam elas cristais ou a penetração de um fluido noutro material,

assumem, com frequência, estruturas ramificadas com a propriedade de auto-similaridade.

O estudo dos meios porosos, que tem repercussões tecnológicas e económicas, mostra

também a presença de fractais. Um exemplo ocorre nos trabalhos de prospeção de petróleo,

pois, a rocha na qual o petróleo reside, apresenta estrutura porosa com propriedades

fractais.

Outra área particular de pesquisa é a difração de ondas por superfícies fractais que permite,

num processo inverso, que se adquiram informações sobre a estrutura da superfície. A

superfície dos materiais é, em geral, bastante irregular e conhecendo a sua dimensão fractal

pode vir a ser útil por exemplo, no estudo de fenómenos de corrosão.

O estado de qualquer sistema por mais perfeito que seja tem elementos aleatórios, por isso

muitos fenómenos ou objetos naturais terão de ser modelados através de fractais aleatórios.

Os percursos aleatórios ou movimentos brownianos têm grande importância na física, na

química e na biologia. O movimento errático de partículas microscópicas de pólen é físico

não é biológico como se pensou inicialmente. Tudo está sujeito a flutuações térmicas,

moléculas, macromoléculas, vírus, partículas e outros componentes do mundo natural estão

todos em constante movimento, colidindo ao acaso devido a energia térmica. O movimento

de uma partícula browniana visto pelo microscópio consiste aparentemente em passos

dados numa direção aleatória e com um comportamento que tem determinado valor

característico. O movimento de uma partícula num dado intervalo de tempo é independente

do seu movimento noutro intervalo de tempo. Aumentar a resolução do microscópio e a

resolução da escala de tempo apenas produz percursos aleatórios semelhantes.

Muitas imagens atrativas e interessantes podem ser geradas, usando teorias da química e da

física. O modelo de agregação por difusão limitada conduz a estruturas que exibem auto-

similaridade-aproximada, constituídas por aglomerados de partículas, arborescentes e

altamente ramificada. E é também compatível com a modelação de relâmpagos (Figura 50)

pois esta é essencial para o desenvolvimento e teste de uma aeronave em laboratório, a

60

cristalização de lava, formação de cristais como os dos flocos de neve e crescimento de

espaços urbanos[12][36].

Figura 50 Fractais presentes em relâmpagos [23].

Alguns cristais como os flocos de neve podem apresentar uma estrutura fractal (Figura 51).

Existem vários tipos de flocos de neve e alguns deles têm uma forma idêntica ao conjunto

ilha de Koch [7].

Figura 51 Cristais de flocos de neve [23].

61

3.2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM

Após verificada a aplicação dos fractais, nas mais diversas áreas relacionadas com a

natureza e com a evolução dos computadores, fatores que proporcionaram o maior

aceleramento na adaptação da natureza nos objetos criados pelo Homem através da

geometria euclidiana. Desta forma os fractais começaram a ser adaptados a inúmeras

experiências e projetos como na área da informática, no cinema, na indústria, na

tecnologia, na arquitetura em expressões de arte.

As imagens geradas por computador foram uma das primeiras aplicações fractais. Através

dos fractais pode conseguir-se realismo e beleza, ocupando pouco espaço em memória por

ser fácil comprimir os dados. A geometria fractal permite simular imagens naturais não só

paisagens, como também de nuvens e de plantas a até paisagens de planetas (cinema).

A seguir segue uma explanação de algumas das aplicações dos fractais criadas pelo

Homem para seu aproveito.

3.2.1.

FRACTAIS NA PINTURA

O uso de fractais na pintura pode ocorrer de várias formas. Pode-se ver, na Figura 52 uma

obra do pintor Dali onde este retrata a guerra civil espanhola dos anos 40. Os olhos e a

boca de cada cabeça representada contêm um rosto, cujos olhos e boca contêm cada um

rosto, e assim sucessivamente. Este é um exemplo óbvio do uso dos fractais na arte. Talvez

Dali decidisse retratar os horrores infinitos da guerra e apresentou-os numa tela limitada

através do conceito da auto-similaridade, embora certamente não tivesse sido alguma vez

exposto a este como um conceito matemático [15].

62

Figura 52 Auto semelhança na arte [15].

Já outro pintor Jackson Pollock usou a técnica de gotejamento e esta foi um passo

importante no desenvolvimento da arte moderna, e tem sido objeto de muitas análises em

crítica de arte. Devido as suas características peculiares em termos de expressão, as suas

obras foram alvo de estudos matemáticos, onde se detetaram presença de padrões fractais.

Estes padrões permitiram em termos artísticos proceder a avaliação de autenticidade e

datação de uma obra de Pollock. A complexidade visual dos padrões fractais das suas

obras é quantifica-la através do conceito de dimensão fractal. Para o cálculo deste usa-se o

método de contagem de caixas dimensões, para procurar diferenças quantitativas entre

essas pinturas e assim calcular a dimensão fractal. Procede-se à digitalização da pintura a

ser estudada, e esta é coberta com uma grelha de quadrados de tamanho r, e conta-se o

número N (r) de quadrículas, que contém parte do padrão de gotejamento (Figura 53) [48].

Figura 53 Evolução da dimensão fractais nos quadros de Pollock [15].

63

3.2.1.1. COMPRESSÃO DE IMAGENS

O método de sistemas de funções iteradas gerou grande entusiasmo na comunidade de

computação gráfica, e também na comunidade de compressão de imagem. O processo de

construção fractal de uma árvore como se pode ver na Figura 54, onde (a) é iniciador do

processo nível zero, (b) a primeira iteração do processo e (c) a estrutura com dois níveis de

iterações. Além disso, a natureza fractal da imagem torna escala independente pois a

imagem pode ser processada numa escala maior, sem informação adicional e sem

pixelização.

Figura 54 Regras para construção fractal de uma árvore (à esquerda) e um exemplo de imagem

de um fractal obtido no Netlog.

Uma aplicação, que desperta o interesse militar é o reconhecimento de imagens. Este

reconhecimento pode ser feito como premissa, que os objetos artificiais são construídos

geralmente a partir de formas regulares, enquanto os objetos e paisagens naturais têm

geralmente uma estrutura irregular mais próxima dos fractais. Desta forma, em fotografias

aéreas pouco claras, a identificação de domínios fractais pode discernir entre objetos

naturais e objetos artificiais camuflados [5][18][38].

64

3.2.2.

FRACTAIS NA CONSTRUÇÃO

Os fractais foram utilizados na construção muito antes de se saber a existência do seu

conceito.

Temos um exemplo, de um monumento mundialmente conhecido, a torre que Gustave

Eiffel construiu em Paris, deliberadamente incorpora a ideia de uma curva fractal cheio de

pontos de ramificação. A estrutura da torre não e constituída por feixes sólidos, mas sim

por treliças colossais. A armação é um conjunto rígido de sub-membros interligados, aos

quais não se podem deformar sem deformar pelo menos um sub-membro. A chave para a

força reside nós vários pontos de ramificação. Quanto mais avançar-mos na aplicação deste

princípio mais nos aproxima-mos de um ideal de Sierpinski [15].

Abaixo segue um esboço da estrutura geral da torre, juntamente com o plano de um

pormenor que mostra as cintas transversais feitos de cintas cruzadas.

Figura 55 Auto similaridade nos pormenores das treliças [15].

No campo da arquitetura, JacSteven Holl projectou Simmons Hall, dormitório do MIT

(Figura 56), o projecto em si foi motivado por uma esponja natural, numa forma que possui

uma distribuição fractal dos furos [16].

65

Figura 56 Auto similaridade na arquitetura [16].

3.2.3.

FRACTAIS NA INTERNET

O tráfego de dados não é de todo o tráfego de voz pois é muito mais variável, tanto em

duração, como em taxa de informação. Os dados são divididos em pacotes autónomos que

são transmitidos de forma independente uma da outra. O controlo é por comutação de

pacotes, onde os routers identificam a fonte e destino e encontram o melhor caminho para

cada pacote, utilizando toda a banda disponível.

Willinger e Paxson ao estudarem o tráfego da Internet, compararam os métodos de Poisson

e o Fractal, usando dados reais de uma hora de tráfego de rede de uma grande empresa

(Figura 57) [1].

66

Figura 57 Comparação entre o método de Poisson e fractal [15].

A longo prazo, o modelo de Poisson achata, enquanto os dados e o modelo fractal não.

Pode-se concluir de imediato que é necessário fazer buffers maiores para absorver todas as

flutuações em todos os prazos e que o modelo fractal modela da melhor forma o trafego de

internet medido.

3.2.4.

FRACTAIS NA MÚSICA

Música e matemática têm um relacionamento longo e complicado desde os” platónicos de

Música das Esferas", através de simetrias geométricas de Bach e as composições

estocásticas de Cage. Fractais e música é outro aspeto dessa relação, embora, como alguns

argumentam, mais abrangente do que a maioria. Alguns compositores contemporâneos

explicitamente usam fractais para orientar suas composições, outros acham aspetos fractais

nas obras de grandes compositores barrocos e clássicos.

Na composição musical, as músicas fractais são compostas, atribuindo-se, por exemplo,

notas e ritmos às cores de figuras fractais emanadas de regras não lineares simples, como o

conjunto de Mandelbrot. A música usual possui uma estrutura de lei de potência que é,

portanto, similar àquela apresentada pelos fractais. Embora até agora nenhuma das

67

composições fractais tenha superado o compositor mais medíocre, elas possuem uma

mistura de harmonia (ordem) e variedade (caos), que são qualidades presentes na música.

De um ponto de vista mais físico, o da acústica, modos de vibração de um tambor

particular, com bordas fractais, foram também estudados recentemente [67].

3.2.5.

FRACTAIS NA TECNOLOGIA - ANTENAS

O design de uma antena é um problema, existem projetos de construção de antenas fractais

que podem ser mais sensíveis a várias frequências em simultâneo, são mais eficazes num

quarto comprimento de onda e são construídas com um pequeno número de iterações do

processo fractal. Com o aumento do número de iterações, a menor frequência da antena

fica mais baixa, e outras frequências mais altas são adicionadas. Além disso, antenas

fractais podem operar eficientemente num quarto do tamanho do que os projetos mais

tradicionais. Quando devidamente aproveitados todos esses recursos este modelo de

antenas apresentam vantagens reais. Várias empresas já estão usam fractais para fabricar

modelos compactos de antenas multifrequências em telefones móveis e hardware de

comunicações militares.

Aplicações que já usam modelos compactos, multifrequências temos: antenas wireless e

antenas GPS. Abaixo imagens com modelos de antenas fractais [31][57][64][62][65][66].

Figura 58 Modelo Sierpinski (à esquerda) e curva de Koch (à direita) [66].

68

Com o aumento do interesse, por esta geometria fractal existe e estão a aparecer vários

estudos e novas aplicações desta em engenharia. Neste momento apenas serão indicados

mais algumas aplicações além daquelas referidas acima e temos como exemplo: deteção de

falhas de alta impedância em sistemas de energia, criação de micro estruturas para

aplicações em condensadores aumentando a superfície e por sua vez a sua capacidade [12],

na medicina para construção, de aparelhos medicinais com tamanhos cada vez mais

reduzidos, mas com superfície de contato cada vez maiores para melhor tratamento. No

controlo de sistemas dinâmicos de fluidos, na indústria de açúcar no processo de controlo

que envolve fluído [31] e em muitas mais aplicações existem e outras aparecerão para

serem estudadas.

3.3. NOS MERCADOS FINANCEIROS

Os mercados capitais estão cada vez mais interligados e com informações partilhadas em

tempo real, gerando impactos de grande magnitude, em relação ao alcance e ao montante

negociado, independentemente da proximidade geográfica ou relação direta dos produtos.

Com o avanço da tecnologia, os analistas têm cada vez mais recursos para acompanhar as

tendências dos preços das ações e evolução dos índices, no entanto os modelos financeiros

clássicos usados para a previsão não têm sido eficientes para os casos de “bolhas”, como o

caso da crise do Subprime em 2008 nos Estados Unidos e repercutindo na economia

mundial.

Desde 1963, Mandelbrot chamou a atenção da busca pela expansão da análise dos

mercados de capitais aplicando a geometria fractal e a teoria do caos para a economia e

posteriormente para as finanças. Segundo Mandelbrot, a beleza da geometria fractal é que

torna possível um mercado geral, suficiente para reproduzir os padrões que caraterizam a

teoria dos mercados plácidos assim como as condições de negociações tumultuadas dos

recentes anos.

A geometria fractal permite a existência de um modelo, que consiga reproduzir tanto os

mercados mais equilibrados como também aqueles que possuem variações drásticas

69

exemplo da Figura 59, que representa a curva conhecida como Black Monday, foi dia em

que o índice Dow Jones caiu 22% . Os preços não oscilam de forma contínua e sim em

todas as direções, em várias escalas de tempo e os fractais criam os mesmos padrões de

variação que governam os mercados atuais.

Um modelo fractal pode ser construído a partir de dados do mercado com alguma duração,

mas não levam especificamente a um preço de fechamento diário. As novas técnicas de

análise auxiliam a uma criação de cenários sem deixar de considerar a volatilidade do

mercado que varia ao longo do tempo e assim os analistas podem verificar os reais motivos

de baixas e altas de preços questionando sua veracidade comparando o valor verificado

com a expetativa a apartir do método fractal [33][34][50][54][61].

Figura 59 Exemplo de uma curva dos mercados de ações com variações bruscas [34].

Ao longo deste capítulo foram expostas, resumidamente algumas das aplicações da

geometria fractal, como se pode deparar esta geometria fomenta uma enorme

interdisciplinaridade de temas. Com a constante evolução desta geometria mais temas e

mais aplicações irão surgir. O próximo capítulo assenta numa apresentação, de um

software que pode simular modelos naturais ou modelos criados pelo Homem, baseados

em conceitos fractais.

70

71

4. CONCLUSÕES

Um dos aspetos que contribui bastante para a utilização dos fractais na compreensão de

múltiplos fenómenos é certamente é certamente a espetacularidade das suas imagens que

no mínimo, se podem considerar intrigantes e bizarras. O estudo dos fractais abre espaço à

criatividade, através da atribuição de cores, dimensões e perspectivas e permite a

descoberta de novas imagens. Cada imagem pode ser sucessivamente ampliada,

desvendando pouco a pouco os seus 'padrões de rendilhados infinitos'. Outro aspecto

importante na aplicação dos fractais, foi o interesse e entusiasmo criado na comunidade

científica, que ao entender o funcionamento e aplicabilidade da geometria fractal em

campos tão diversos da ciência como: biologia, geologia, astrofísica, medicina,

engenharias, áreas financeiras, áreas sociais e outras mais áreas, conseguiu obter respostas

para alguns em aberto.

Em regra os fractais são criados por algoritmos tipicamente muito simples, que produzem

imagens arbitrariamente complexas. Apesar de os algoritmos serem muito simples, a

quantidade de operações que um computador tem de realizar é de tal modo elevada que

pode mesmo demorar várias horas a apresentar os resultados. Este aspecto torna os

computadores indispensáveis no estudo dos fractais.

72

Neste trabalho mostram-se as diversas características dos fractais, tais como: noções de

forma, dimensão fractal, área, perímetro, volume, números complexos, semelhança de

figuras, sucessões e iterações de funções. Apresentam-se exemplos de aplicações da

geometria fractal em diversas áreas do saber: biologia, geologia, física, medicina,

engenharia, entre outros.

Conclui-se que os fractais são uma ferramenta importante para a compreensão de

fenómenos nas mais diversas áreas da ciência. A importância do estudo desta nova

geometria, é avassaladora graças à sua profunda relação com a natureza e ao avançado

desenvolvimento tecnológico dos computadores.

73

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