ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Φώτης Μουσουλίδης Η πυθαγόρεια παράδοση στο έργο του Ιάννη Ξενάκη Διδακτορική Διατριβή Αθήνα 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Φώτης Μουσουλίδης Η πυθαγόρεια παράδοση στο έργο του Ιάννη Ξενάκη Συμβουλευτική Επιτροπή: Αικατερινή Ρωμανού Χαράλαμπος Σπυρίδης Στέλιος Ψαρουδάκης Αθήνα 2014 2 3 Ευχαριστίες: Θα ήθελα να ευχαριστήσω: Την επιβλέπουσα καθηγήτρια κα Αικατερινή Ρωμανού η οποία με τις συμβουλές, το ενδιαφέρον και την υποστήριξη που επέδειξε σε όλη τη διάρκεια της συνεργασίας μας, έχει την πιο ουσιαστική συμβολή στην ολοκλήρωση της διατριβής μου. Η παρουσία της αποτέλεσε παράδειγμα για μένα όλα αυτά τα χρόνια. Τα μέλη της συμβουλευτικής επιτροπής κ. Χαράλαμπο Σπυρίδη και κ. Στέλιο Ψαρουδάκη για τις συμβουλές τους και τις πληροφορίες που μου παρείχαν. Την κα Françoise Xenakis για την άδεια που μου παραχώρησε να επισκεφτώ το αρχείο του Ιάννη Ξενάκη στην Εθνική Βιβλιοθήκη στο Παρίσι, και την κα Marie -Gabrielle Soret, υπεύθυνη του αρχείου, για τη βοήθειά της στην έρευνά μου. Τον κ. Νίκο Μαλλιάρα για την διοργάνωση των άτυπων μεταπτυχιακών σεμιναρίων που διοργάνωσε μαζί με την κα Ρωμανού και την ευκαιρία που μου έδωσε να συζητήσω θέματα της διατριβής μου, καθώς και τους υποψήφιους διδάκτορες που συμμετείχαν στα σεμινάρια αυτά. Τον κ. Γιώργο Ζερβό και την κα Αναστασία Γεωργάκη για τις συζητήσεις μας πάνω στα θέματα της διατριβής και τη βοήθεια τους. Τον κ. Μάκη Σολωμό για τις επισημάνσεις του και τη βοήθεια που μου παρείχε όποτε του ζητήθηκε. Την οικογένεια μου για τη στήριξή της όλα αυτά τα χρόνια. 4 Περιεχόμενα: Εισαγωγή: ..................................................................................................................................................... 8 Δομή της Διατριβής ................................................................................................................................ 13 Εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση ....................................................................................................... 15 Προσδιορισμός του όρου ‘πυθαγόρεια παράδοση’ .............................................................................. 15 Η πυθαγόρεια παράδοση στο έργο του Πλάτωνα ................................................................................. 23 Απευθείας αναφορές του Ιάννη Ξενάκη στην πυθαγόρεια παράδοση ....................................................... 30 2.1. Αναφορές πυθαγορείων στα γραπτά και τις συνεντεύξεις του Ξενάκη ..................................... 31 2.2. Συμπεράσματα............................................................................................................................. 46 Μουσική και μαθηματικά ........................................................................................................................... 47 Μαθηματικά και μουσική στην πυθαγόρεια παράδοση.................................................................... 47 3.1.1. Λόγος και Αναλογίες στα μαθηματικά των πυθαγορείων ....................................................... 47 3.1.2. Μέσοι ........................................................................................................................................ 50 3.1.3. Μουσική και μαθηματικά στους πυθαγορείους ...................................................................... 52 Μουσική και Μαθηματικά στο έργο του Ξενάκη ................................................................................... 56 3.2.1. Συνειδητή χρήση μαθηματικών διαδικασιών και το πυθαγόρειο πρότυπο ............................ 59 3.2.2. Λόγοι εισαγωγής των μαθηματικών στη σύνθεση από τον Ξενάκη ........................................ 60 Η Χρυσή τομή, η ακολουθία Fibonacci και η ακολουθία Lucas στο έργο του Ξενάκη ............................. 74 4.1. Η χρυσή τομή στα Στοιχεία του Ευκλείδη................................................................................... 74 4.2. Χρυσή τομή και πυθαγόρειοι ...................................................................................................... 78 4.3. Η ακολουθία Fibonacci και η σχέση της με τη χρυσή τομή ......................................................... 80 4.4. Η ακολουθία Lucas....................................................................................................................... 84 4.5. Η χρυσή τομή, η ακολουθία Fibonacci και η ακολουθία Lucas στο έργο του Ξενάκη ................ 87 4.6. Συμπεράσματα........................................................................................................................... 107 Η αναζήτηση για μια ‘παγκόσμια μουσική’ και το πυθαγόρειο πρότυπο................................................. 108 Μέρος 5.1.: ........................................................................................................................................... 108 Το πυθαγόρειο πρότυπο....................................................................................................................... 108 5.1.1. Εισαγωγή................................................................................................................................. 108 5.1.2. ‘Τα πάντα είναι αριθμός’, η κυριαρχία του αριθμού στην πυθαγόρεια διδασκαλία ........... 109 5 5.1.3. Η Αρμονία των Σφαιρών ........................................................................................................ 116 Η αναζήτηση για μια ‘παγκόσμια μουσική’ από τον Ιάννη Ξενάκη ..................................................... 122 5.2.1. Εισαγωγή................................................................................................................................. 122 5.2.2. Η εισαγωγή των μαθηματικών ............................................................................................... 125 5.2.3. Θεωρία ομάδων ...................................................................................................................... 126 5.2.4. Ο διαχωρισμός σε Εντός και Εκτός-Χρόνου............................................................................ 129 5.2.4.1. Εκτός-Χρόνου Δομή της αρχαίας μουσικής όπως παρουσιάζεται από τον Ξενάκη στο άρθρο «Προς μια μετα –Μουσική» .................................................................................................. 138 5.2.4.2. Εκτός-χρόνου δομή της βυζαντινής μουσικής ..................................................................... 142 5.2.4.3. Συμπεράσματα..................................................................................................................... 145 5.3. Μουσικά στοιχεία που μπορεί να ισχύουν παγκόσμια............................................................. 146 5.4. Θεωρία κοσκίνων ....................................................................................................................... 152 5.4.1. Το «κόσκινο» του Ερατοσθένη ............................................................................................... 152 5.4.2. Η θεωρία κοσκίνων του Ξενάκη ............................................................................................. 153 5.5. Συμπεράσματα........................................................................................................................... 167 Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια παράδοση ................................................................................. 171 Το έργο Αντίχθων .................................................................................................................................. 172 6.1.1. Τα πρώτα Ελληνικά αστρονομικά συστήματα........................................................................ 172 6.1.2. Το σύστημα του Φιλολάου ..................................................................................................... 174 6.1.3. Αντίχθων ................................................................................................................................. 177 6.1.4. Το έργο Αντίχθων του Ιάννη Ξενάκη...................................................................................... 178 Το έργο La Legende d’ Eer (Ο μύθος του Ηρώς) ................................................................................... 182 6.2.1. Τα κείμενα του έργου ............................................................................................................. 183 6.2.2. Η μουσική του έργου .............................................................................................................. 185 Το έργο Serment-Όρκος........................................................................................................................ 188 6.3.1. Πυθαγόρεια παράδοση και Ιπποκρατικός Όρκος .................................................................. 188 6.3.2. Το έργο Serment-Όρκος .......................................................................................................... 193 Το έργο Έρμα(Herma) .......................................................................................................................... 195 6.4.1. Εκτός-χρόνου δομή στην Έρμα ............................................................................................... 196 6.4.2. Χρυσή τομή και ακολουθία Fibonacci στο έργο Έρμα ............................................................ 202 6.5. Συμπεράσματα .............................................................................................................................. 205 Συμπεράσματα διατριβής: ......................................................................................................................... 206 6 Παράρτημα: Βιογραφίες ........................................................................................................................... 212 Ο Πυθαγόρας και η πρώτη πυθαγόρεια σχολή .................................................................................... 212 Πηγές................................................................................................................................................. 212 Χρονολόγηση .................................................................................................................................... 213 Γέννηση – εκπαίδευση ...................................................................................................................... 214 Η περίοδος στον Κρότωνα - γέννηση, εξέλιξη και διάλυση της πυθαγόρειας σχολής - θάνατος του Πυθαγόρα ......................................................................................................................................... 215 Ιάννης Ξενάκης – Σύντομο Βιογραφικό σημείωμα............................................................................... 218 Εργογραφία Ιάννη Ξενάκη .................................................................................................................... 223 Βιογραφίες Αρχαίων Ελλήνων ................................................................................................................. 229 Βιβλιογραφία: ........................................................................................................................................... 237 7 Εισαγωγή: Η ιδέα της συγγραφής της παρούσας διατριβής ήρθε μέσα από τη μελέτη των βιογραφιών του Ιάννη Ξενάκη. Σε αυτές πρωτοσυνάντησα το χαρακτηρισμό ‘ο Πυθαγόρας του 20ου αιώνα’ ή ‘ο Πυθαγόρας της μουσικής’ και διαπίστωσα την αντίφαση της συχνής αναφοράς στη σχέση της σκέψης του με πυθαγόρειες παραδόσεις, και της απουσίας επαρκούς εξήγησης περί των παραδόσεων αυτών ή/και περί των γνώσεων περί αυτών του Ιάννη Ξενάκη. Η προφανής σχέση που είναι η σύνδεση των μαθηματικών και της μουσικής - είναι πιθανότατα και ο λόγος που αποδίδονται σε αυτόν οι πιο πάνω χαρακτηρισμοί. Είναι όμως σαφές πως οι σύγχρονοι επιστήμονες μπορούν να χαρακτηριστούν ‘πυθαγόρειοι’ μόνο μέσα από μια διευρυμένη, μεταφορική έννοια και - αρκετές φορές - η πεποίθηση πως οι νόμοι της φύσης, η τέχνη κτλ έχουν μαθηματική μορφή είναι υπό αυτή την έννοια αρκετή για να χαρακτηριστεί ένας σύγχρονος επιστήμονας πυθαγόρειος.1 Μέσα όμως από τη μελέτη του έργου του Ξενάκη, φαίνετε πως η σύνδεσή τους δεν εξαντλείται σε αυτή τη σχέση. Στόχος της διατριβής είναι να απαντηθούν δύο ερωτήματα: 1. Ποιά στοιχεία που ανήκουν ή ξεκινούν από την πυθαγόρεια παράδοση χρησιμοποίησε ο Ιάννης Ξενάκης στο έργο του και σε ποιό βαθμό; 2. Μπορεί ο Ξενάκης να χαρακτηριστεί συνεχιστής της πυθαγόρειας παράδοσης στον 20ο αιώνα και, αν ναι, ποιοί είναι οι λόγοι για αυτό; Η ζωή του Πυθαγόρα και του Ιάννη Ξενάκη έχει ένα κοινό παρονομαστή: Ο Πυθαγόρας, τον 6ο π.Χ. αιώνα, κυνηγημένος από το τυραννικό καθεστώς που είχε επιβληθεί στη Σάμο από τον τύραννο Πολυκράτη, φεύγει από την Ελλάδα και καταφεύγει στην Ιταλία, όπου εκεί θα μεγαλουργήσει και θα μείνει στην ιστορία ως ένας από τους μεγαλύτερους φιλόσοφους που 1 Charles H. Kahn, Η Πυθαγορική Φιλοσοφία πριν από τον Πλάτωνα, από Οι Προσωκρατικοί, συλλογή κριτικών δοκιμίων, τόμος Α’, επιμέλεια Αλέξανδρος-Φοίβος Δ. Μουρελάτος, εκπαιδευτήρια ‘Κωστέα-Γείτονα’ Αθήνα 1993, σελ. 217. 8 έζησαν ποτέ. Κατά τον ίδιο τρόπο, 2500 χρόνια αργότερα, ο Ιάννης Ξενάκης, κυνηγημένος από τη δίνη του εμφύλιου πολέμου που ακολούθησε τον 2ο παγκόσμιο πόλεμο, φεύγει από την Ελλάδα και καταδικάζεται ερήμην του σε θάνατο. Καταφεύγει στη Γαλλία η οποία και γίνεται ο μόνιμος τόπος διαμονής του και εκεί καθιερώνεται ως ένας από τους μεγαλύτερους συνθέτες της εποχής του. Η αναγνώριση του έργου και των δύο μεγάλων Ελλήνων θα έρθει στην εξορία, μακριά από τη χώρα που γεννήθηκαν. Η εποχή στην οποία έζησε ο Ιάννης Ξενάκης σηματοδοτείται από τεράστιες αλλαγές στη μουσική, αμφισβήτηση του παρελθόντος και μια διάθεση επαναπροσδιορισμού των συνθετικών τεχνικών. Οι συνθέτες στο 2ο μισό του 20ού αιώνα, έχουν την ανάγκη συγγραφής θεωρητικών κειμένων, στα οποία εξηγούν και αναλύουν τις τεχνικές, τη φιλοσοφία και τα ίδια τους τα έργα. Από αυτή την τακτική δεν ήταν δυνατόν να ξεφύγει ο Ξενάκης, ο οποίος άφησε, εκτός από τα σχεδόν 150 μουσικά του έργα, ένα πλήθος θεωρητικών κειμένων μέσα από τα οποία παρουσιάζει τις ιδέες του, αναλύει και εξηγεί συνθετικές τεχνικές και έργα του και δίνει το φιλοσοφικό και επιστημονικό υπόβαθρο στα μουσικά του έργα. Τα θεωρητικά αυτά κείμενα είναι – εκτός από ερμηνεία των μουσικών του έργων – και τα ίδια ‘έργο’ του συνθέτη και έτσι αντιμετωπίζονται στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. Η γενική τάση για ριζική ρήξη με το άμεσο παρελθόν η οποία κυριάρχησε στους συνθέτες της γενιάς του Ξενάκη έχει έντονα τα χαρακτηριστικά της στα πρώτα έργα του αλλά και στα γραπτά του. Ο Ξενάκης εξάλλου, έγινε γνωστός μέσω ενός άρθρου του στο οποίο επιτίθετο στο μέχρι τότε κυρίαρχο σειραϊκό σύστημα.2 Ο ίδιος σύντομα στρέφεται συνειδητά στη φιλοσοφία και τις αρχές της αρχαίας Ελλάδας και χρησιμοποιεί ιδέες και τεχνικές που αντλεί από τη γνώση της αρχαίας Ελληνικής φιλοσοφίας. Η πυθαγόρεια παράδοση, με αρχή τον Πυθαγόρα το Σάμιο τον 6ο αιώνα π.Χ., είναι αυτή που μαζί με τις ιδέες του Παρμενίδη και του Πλάτωνα, θα επηρεάσει σε μεγαλύτερο βαθμό τη σκέψη και τη φιλοσοφία του. Οι φιλοσοφικές βάσεις του έργου του Ξενάκη είναι ίσως ένα από τα βασικότερα θέματα για τη συνολική κατανόηση του έργου του. Ο Ξενάκης αγγίζει θέματα που αρκετές φορές θεωρούνται δεδομένα ή ακόμα και ξεπερασμένα, ενώ είναι πλέον αποδεκτό πως ‘η σκέψη του 2 Iannis Xenakis, La crise de la musique sérielle, Gravesaner Blätter 1, 1954 9 Ξενάκη βασίζεται το ίδιο στην αρχαία Ελληνική φιλοσοφία, τη φυσική και τα μαθηματικά’.3 Ο Ξενάκης επιλέγει να στραφεί συνειδητά στη φιλοσοφία της Αρχαίας Ελλάδας με ιδιαίτερη έμφαση στους Προσωκρατικούς φιλοσόφους, τους οποίους δείχνει σε πολλές αναφορές του να προσεγγίζει στον τρόπο σκέψης. Στα γραπτά του αναφέρει αρκετούς Έλληνες φιλοσόφους, μεταξύ των οποίων ο Πυθαγόρας, ο Ηράκλειτος, ο Πλάτωνας, ο Αριστοτέλης, ο Επίκουρος, ο Παρμενίδης, ο Λεύκιππος, ο Δημόκριτος, ο Θαλής ο Μιλήσιος, ο Αναξίμανδρος κ.α. Ο Ξενάκης αναφέρει, κάνει χρήση ή βασίζεται σε φιλοσοφικές έννοιες όπως η οντολογία, η αιτιότητα και αιτιοκρατία (ντετερμινισμός και ιντετερμινισμός), η κοσμολογία, η τύχη, η συνεκτικότητα, το συμπέρασμα κτλ., ενώ ασχολήθηκε με ιδέες που συνήθως θεωρούνται δεδομένες. Μερικές από αυτές είναι: 1. Το πώς συλλαμβάνεται και πλάθεται μια μουσική ιδέα. 2. Το πώς η μια ιδέα διαδέχεται την άλλη. 3. Ποιός είναι ο ρόλος της ελεύθερης βούλησης του δημιουργού στη σύνθεση. 4. Ποιό είναι το φιλολογικό πλαίσιο μέσα στο οποίο συλλαμβάνεται, υπόκειται σε επεξεργασία και τελική λεπτομερειακή διαμόρφωση ένα μουσικό έργο. 5. Ως που εκτείνεται η έννοια που σήμερα αποκαλούμε «μουσική» και πως συμπλέκονται τα όρια της με εκείνα άλλων εφαπτόμενων τεχνών σε έργα που συνεπάγονται «πολύτεχνη» δομή. 6. Η σχέση της μεγάλης, καθολικής μορφής ενός έργου με τα επιμέρους στοιχεία που διαπλεκόμενα ιεραρχικά - το συναποτελούν.4 Η φιλοσοφική πλευρά του έργου του Ξενάκη εντείνει την παρουσία της στο πέρασμα του χρόνου, ενώ μελετητές του έργου του ισχυρίζονται πως στα έργα μετά το 1975 η φιλοσοφική πλευρά ξεπερνά εκείνη των μαθηματικών.5 Είναι αλήθεια πως, μετά το 1975 ο Ξενάκης σταματά 3 Αντώνιος Αντωνόπουλος, Ontology & Cosmology in I. Xenakis’ poetics, Formalized Music: annotations – a critical survey, στο Μάκης Σολωμός, Αναστασία Γεωργάκη, Γιώργος Ζερβός (εκδ.), Proceedings of the Internationαl Symposium Iannis Xenakis, Αθήνα 2005 4 Δημήτρης Καμαρωτός (επιμ.), Ιάννης Ξενάκης, Ένα αφιέρωμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου προς έναν απόφοιτό του, Σύγχρονη Εποχή, Αθήνα 1994, σελ. 14-15. 5 Δημήτρης Καμαρωτός (επιμ.), Ιάννης Ξενάκης, Ένα αφιέρωμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου προς έναν απόφοιτό του, Σύγχρονη Εποχή, Αθήνα 1994, σελ. 15-16. 10 να μιλά με λεπτομέρειες για τον τρόπο σύνθεσης των έργων του περιορίζοντας ή και αφήνοντας κατά μέρος τις μαθηματικές εξηγήσεις που έδινε στα πρώτα χρόνια της συνθετικής του καριέρας. Η πυθαγόρεια παράδοση είναι παρούσα σε όλα τα στάδια της συνθετικής καριέρας του Ξενάκη: από την πρώτη φάση στην οποία επιχειρεί – με επιτυχία – να οδηγήσει τη μουσική σε νέους ορίζοντες με την εισαγωγή της έννοιας της μάζας και τη χρησιμοποίηση μαθηματικών διαδικασιών, τη δεύτερη φάση της συνεχούς αναζήτησης και ανανέωσης, καθώς και την τελευταία φάση της ‘εσωτερικότητας’, η πυθαγόρεια παράδοση είναι, όπως θα δούμε παρακάτω, αναπόσπαστο μέρος της σκέψης του Ξενάκη. Η φιλοσοφία των πυθαγορείων δεν είναι η μοναδική σύνδεση με το έργο του Ιάννη Ξενάκη: Μιλώντας με τις σημερινές συμβάσεις διαίρεσης της γνώσης, μαθηματικά εργαλεία που είτε επινοήθηκαν είτε χρησιμοποιήθηκαν από τους πυθαγορείους, όπως είναι η χρυσή τομή, η ακολουθία Fibonacci, το κόσκινο του Ερατοσθένη κ.α., χρησιμοποιήθηκαν και από τον ίδιο το Ξενάκη σε αρκετά έργα του. Επίσης, πυθαγόρειοι μύθοι ή διδασκαλίες όπως είναι η αρμονία των σφαιρών, ο μύθος της Αντιγής, η θεωρία της μετενσάρκωσης κ.α., εμφανίζονται και στα γραπτά και στα έργα του Ξενάκη. Επέλεξα να αναφέρω στα Ελληνικά πολλούς τίτλους έργων του Ξενάκη, οι οποίοι συνήθως προέρχονται από διάφορες διαλέκτους της αρχαίας Ελληνικής γλώσσας και ιδιαίτερα της Αττικής. Οι τίτλοι αυτοί καταγράφονται στα Ελληνικά σε μονοτονικό σύστημα, όπως χρησιμοποιείται από το Μάκη Σολωμό.6 Αρκετοί τίτλοι είναι στα Γαλλικά, Αγγλικά, Ιαπωνικά, Γερμανικά ή και Εβραϊκά. Οι τίτλοι αυτοί διατηρούνται σε λατινικό αλφάβητο όπως στο πρωτότυπο.7 Ο λόγος που ακολουθώ αυτή την τακτική είναι η εύκολη αναγνώριση των έργων από τον αναγνώστη. Στο πλαίσιο αυτό κρίθηκε πως σε μερικές περιπτώσεις ελληνικών τίτλων, είναι απαραίτητη η ταυτόχρονη καταγραφή και του ξενόγλωσσου τίτλου στην πρώτη εμφάνιση του έργου μέσα στη διατριβή. Ένα άλλο πρόβλημα που παρουσιάστηκε κατά τη διάρκεια της συγγραφής της διατριβής, είναι η αναγνώριση των στοιχείων εκείνων που θεωρούνται ‘πυθαγόρεια’ ή έχουν τις ρίζες τους στους πυθαγορείους και ως εκ τούτου μπορούν να θεωρηθούν πως ανήκουν στην πυθαγόρεια παράδοση. Παρόλο που αρκετές διδασκαλίες θεωρούνται από όλους τους ερευνητές ως 6 Βλ. Μάκης Σολωμός, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008, σελ. 13. 7 Ελληνική επεξήγηση των τίτλων δίνεται στο 1ο κεφάλαιο ‘Εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση’. 11 ‘πυθαγόρειες’ – όπως είναι η αρμονία των σφαιρών, ο μύθος της Αντιγής κτλ – αυτό δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η σχέση της πυθαγόρειας παράδοσης με τον Ιπποκρατικό όρκο, σημείο στο οποίο ακόμα και κορυφαίοι μελετητές του πυθαγορισμού διαφωνούν. Το ίδιο ισχύει για την σχετικά άγνωστη σχέση της χρυσής τομής και της ακολουθίας Fibonacci με την πυθαγόρεια παράδοση, καθώς και τη σχέση της με το κόσκινο του Ερατοσθένη. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις επιλέχθηκε να παρουσιαστούν τα αρχαία κείμενα είτε/και απόψεις των κορυφαίων μελετητών του πυθαγορισμού, τα οποία στηρίζουν τη θέση του αν μια διδασκαλία ανήκει ή όχι στην πυθαγόρεια παράδοση. Σε κάθε περίπτωση, όπως θα δούμε παρακάτω, υπάρχουν αρκετά διαφορετικές απόψεις και σε κάποιες περιπτώσεις δεν μπορεί να δοθεί κατηγορηματική απάντηση.8 Η γενική τακτική που ακολουθείται σε κάθε σημείο της διατριβής, είναι η παρουσίαση των στοιχείων που θεωρούνται πυθαγόρεια και στη συνέχεια η παρουσίαση των τρόπων που αυτά εμφανίζονται ή επηρεάζουν το έργο του Ιάννη Ξενάκη. Η μελέτη για την πυθαγόρεια παράδοση στηρίχτηκε στη βιβλιογραφία και έγινε με σκοπό να κατανοηθεί η επιρροή της στο έργο του Ιάννη Ξενάκη. 9 Η έρευνα πάνω στον Ιάννη Ξενάκη έγινε: 1. Με έρευνα στην υφιστάμενη βιβλιογραφία (βιβλία, άρθρα και συνεντεύξεις από και για τον Ι. Ξενάκη). 2. Με έρευνα στο ανέκδοτο αρχειακό υλικό του Ιάννη Ξενάκη που βρίσκεται στην Εθνική βιβλιοθήκη της Γαλλίας (μετά από άδεια από την Φρανσουάζ Ξενάκη). 3. Με ανάλυση συγκεκριμένων έργων μέσα από τις παρτιτούρες. Κάποια από τα σημεία που αναφέρονται στη διατριβή – όπως είναι πχ. η χρήση κοσκίνων, η χρησιμοποίηση της ακολουθίας Fibonacci και της χρυσής τομής σε συγκεκριμένα έργα του Ξενάκη – έχουν επισημανθεί και από άλλους μελετητές του έργου του Ιάννη Ξενάκη. Ποτέ όμως υπό το πρίσμα της συνέχισης της πυθαγόρειας παράδοσης κάτω από το οποίο παρουσιάζονται στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. Η έρευνα απευθύνεται στους μελετητές του έργου του Ξενάκη και όχι σε ερευνητές της αρχαίας ελληνικής μουσικής ή της πυθαγόρειας παράδοσης, μια και σκοπός της διατριβής είναι 8 Οι λόγοι που συμβαίνει αυτό εξετάζονται στο κεφ. 1 ‘Εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση’. 9 Όσες φορές αυτό ήταν δυνατόν, προσπάθησα να εντοπίσω τα βιβλία που ο ίδιος ο Ξενάκης είχε μελετήσει, έτσι ώστε τα στοιχεία να παρουσιαστούν όπως ο ίδιος τα έβλεπε. 12 να δείξει πως οι πυθαγόρειες διδασκαλίες επηρέασαν τον Ιάννη Ξενάκη και όχι να παρουσιάσει νέα δεδομένα γύρω από την πυθαγόρεια σχολή. Δομή της Διατριβής Η διατριβή αποτελείται από έξι κεφάλαια, τα οποία παρουσιάζουν τη σχέση του έργου του Ιάννη Ξενάκη με την πυθαγόρεια παράδοση. Στο πρώτο κεφάλαιο με τίτλο Εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση προσδιορίζεται ο όρος πυθαγόρεια παράδοση και παρουσιάζονται τα προβλήματα που εμφανίζονται κατά τη μελέτη των Πυθαγορείων. Στη συνέχεια αφιερώνεται ένα κομμάτι στη σχέση του Πλάτωνα με τον πυθαγορισμό εξαιτίας της βαθιάς επίδρασης που είχε η διδασκαλία του Πλάτωνα στον Ιάννη Ξενάκη. Στο δεύτερο κεφάλαιο με τίτλο Απευθείας αναφορές του Ξενάκη στην πυθαγόρεια παράδοση, εξετάζονται οι αναφορές πυθαγόρειων φιλοσόφων, διδασκαλιών ή μύθων στα γραπτά και τις συνεντεύξεις του Ιάννη Ξενάκη και σχολιασμός όσων αναφέρονται. Στο τρίτο κεφάλαιο με τίτλο Μουσική και Μαθηματικά, παρουσιάζεται η σχέση των δύο επιστημών10 στην πυθαγόρεια παράδοση και στη συνέχεια, ο τρόπος με τον οποίο ο Ξενάκης χρησιμοποίησε τα μαθηματικά στη σύνθεση. Εξετάζονται επίσης οι λόγοι που προχώρησε στη σύνδεση της μουσικής με τα μαθηματικά και οι τρόποι πραγματοποίησής αυτής της σύνδεσης. Στο τέταρτο κεφάλαιο με τίτλο Η Χρυσή τομή, η ακολουθία Fibonacci και η ακολουθία Lucas στα έργα του Ξενάκη, παρουσιάζεται η σχέση μεταξύ των τριών αυτών μαθηματικών εργαλείων καθώς και η σχέση τους με την πυθαγόρεια παράδοση. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι λόγοι που ο Ξενάκης χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή, την ακολουθία Fibonacci και την ακολουθία Lucas στα έργα του και οι τρόποι που το έκανε σε συγκεκριμένα έργα. Στο πέμπτο κεφάλαιο με τίτλο Η αναζήτηση για μια ‘παγκόσμια μουσική’ και το πυθαγόρειο πρότυπο, παρουσιάζεται η προσπάθεια του Ιάννη Ξενάκη να δημιουργήσει αυτό που ο ίδιος ονόμασε ‘παγκόσμια μουσική’, προσπάθεια 10 η οποία διαρκεί σχεδόν καθ’ όλη τη Σε αντίθεση με τη σύγχρονη οπτική στην οποία η μουσική κατατάσσεται στις τέχνες, οι πυθαγόρειοι θεωρούσαν τη μουσική ‘επιστήμη’, μαζί με την αριθμητική, τη γεωμετρία και την αστρονομία. Βλ. Κεφ 1 ‘Εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση και τον Ιάννη Ξενάκη’. 13 διάρκεια της συνθετικής του καριέρας. Παρουσιάζεται στην αρχή η πυθαγόρεια διδασκαλία για τους αριθμούς και την αρμονία των σφαιρών. Στη συνέχεια παρακολουθούμε την πορεία του Ξενάκη και τους σταθμούς της συνθετικής του δουλειάς στην προσπάθεια υλοποίησης του οράματος του, καθώς και τους τρόπους που διασταυρώνεται με την πυθαγόρεια παράδοση. Στο έκτο κεφάλαιο με τίτλο Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια παράδοση, παρουσιάζουμε τα έργα Αντίχθων, Ο μύθος του Ηρός και Serment-Όρκος του Ξενάκη που έχουν σχέση με πυθαγόρειους μύθους ή διδασκαλίες. Στο κάθε ένα από αυτά παρουσιάζεται η πυθαγόρεια διδασκαλία ή μύθος και ο τρόπος που ο Ξενάκης τη χρησιμοποιεί στο έργο του. Στο ίδιο κεφάλαιο παρουσιάζεται το έργο Έρμα (Herma). Η διατριβή τελειώνει με τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τα στοιχεία που παρατίθενται και την απάντηση που δίνεται στους στόχους της έτσι όπως εκτίθενται παραπάνω. 14 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση Μέρος 1.1. Προσδιορισμός του όρου ‘πυθαγόρεια παράδοση’ Θεωρώ αναγκαίο να προσδιορίσω εξαρχής την έννοια του όρου ‘πυθαγόρεια παράδοση’ έτσι όπως θα χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια της διατριβής. Όπως θα εννοούμε τον όρο, η πυθαγόρεια παράδοση αρχίζει τον 6ο αι. π.Χ. αιώνα και επεκτείνεται μέχρι και σήμερα επικεντρώνοντας όμως από την αρχική πυθαγόρεια κοινότητα μέχρι περίπου τον 3ο μ.Χ. αιώνα. Η ‘πυθαγόρεια παράδοση’, αφετηρία της οποίας θεωρείται η περίφημη σχολή του Πυθαγόρα στον Κρότωνα της Ιταλίας, φαίνεται να επεκτείνεται και να μεγαλώνει κατά τη διάρκεια του χρόνου αλλά και να διαχωρίζεται, με αποτέλεσμα από ένα σημείο και μετά να μην υπάρχει μόνο μια παράδοση. Μάλιστα φαίνεται πως όσο περισσότερο απομακρυνόμαστε χρονικά από την εποχή του Πυθαγόρα, τόσο πληθαίνουν και οι μαρτυρίες γύρω από τον ίδιο και τους μαθητές του, κάτι που κατά τον Ε. Ζeller δημιουργεί υποψίες για αρκετές ύστερες επινοήσεις.11 Οι μαρτυρίες για τις κατακτήσεις της σχολής του Σάμιου φιλόσοφου ξεκινούν πολύ αργότερα από τη διάλυση της σχολής.12 Οι πηγές που προέρχονται από τους ίδιους τους πρώτους πυθαγόρειους είναι ελάχιστες – περιορίζονται μόνο σε κάποια αποσπάσματα του Φιλολάου13 και 11 Mattei Jean-Francoise, Ο Πυθαγόρας και οι πυθαγόρειοι, Ινστιτούτο του βιβλίου Μ. Καρδαμίτσα, Αθήνα 1995, σελ.13. 12 Αναφορές στον ίδιο τον Πυθαγόρα έχουμε από πολύ νωρίς στον Ξενοφάνη, τον Ηράκλειτο, τον Ίωνα τον Χίο, τον Ηρόδοτο και τον Εμπεδοκλή. Οι συγγραφείς αυτοί όμως δεν δίνουν αρκετές πληροφορίες και δεν μπορούν να θεωρηθούν ‘πηγές’ περί του Πυθαγορισμού. Βλ. W.K.C. Guthrie, A History of Greek Philosophy, volume 1 The earlier Presocratics and the Pythagoreans, Cambridge university press, Cambridge 1978, σελ. 157-161. 13 Η γνησιότητα των αποσπασμάτων του Φιλολάου έχει αμφισβητηθεί αλλά όπως έχουν αποδείξει κορυφαίοι μελετητές - όπως ο W. Burket και ο W.K.C. Guthrie - τα αποσπάσματα αυτά είναι στο σύνολό τους γνήσια. 15 του Αρχύτα.14 Επίσης, η συνήθεια των πυθαγορείων να αποδίδουν όλες τις ανακαλύψεις τους στον ίδιο τον Πυθαγόρα, κάνει εξαιρετικά δύσκολη τη χρονική ανακατασκευή της εξέλιξης της πυθαγόρειας παράδοσης.15 Το μεγαλύτερο όμως πρόβλημα στην ανακάλυψη ιστορικών στοιχείων γύρω από τους πρώτους πυθαγορείους, προκύπτει από το ότι οι ίδιοι οι πυθαγόρειοι δεν διατηρούσαν γραπτή παράδοση των διδασκαλιών τους και διατηρούσαν αυτές τις διδασκαλίες μυστικές από τους αμύητους. Ο Αριστόξενος μας αναφέρει πως σύμφωνα με τους πυθαγορείους δεν πρέπει να είναι όλα γνωστά σε όλους (Μη είναι προς πάντας πάντα ρητά)16 ενώ ο Πορφύριος υπογραμμίζει πως ‘κανένας δεν μπορεί να αποφανθεί με βεβαιότητα τι έλεγε (ο Πυθαγόρας) στους μαθητές του, γιατί η σιωπή που τηρούσαν ήταν ασυνήθιστα αυστηρή’.17 Ο Ιάμβλιχος μάλιστα υποστήριξε πως ο νόμος περί του απορρήτου ήταν τόσο αυστηρός ώστε η αποκάλυψη των πυθαγόρειων διδασκαλιών σε μη πυθαγόρειους είχε ως τιμωρία το θάνατο.18 Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να μην υπάρχει καμιά αξιόπιστη μαρτυρία για την πρώτη πυθαγόρεια σχολή και στην πραγματικότητα, μόνο εικασίες μπορούν να γίνουν γύρω από αυτή.19 Ο ίδιος ο Πυθαγόρας δεν έγραψε τίποτα, αφήνοντας έτσι ένα κενό το οποίο ‘έμελλε να 14 Είναι βέβαια σαφές πως ο Αρχύτας δεν ανήκε στην πρώτη Πυθαγόρεια κοινότητα, μια και έζησε τον 4ο αι. π.Χ., αρκετά μετά τον θάνατο του Πυθαγόρα βλ. παράρτημα Βιογραφίες Αρχαίων συγγραφέων. 15 Κατά τον W.K.C. Guthrie, η πυθαγόρεια κοινωνία -που ήταν πρωτίστως θρησκευτικού χαρακτήρα- έτεινε στο να θεοποιήσει τον ιδρυτή της, μάλιστα η κοινωνία του Κρότωνα τον ταύτιζε με τον Υπερβόρειο Απόλλωνα. Σε μια τέτοιου είδους κοινωνία είναι ‘μεγάλος ο πειρασμός, όχι μόνο να θεοποιηθεί ο ιδρυτής, αλλά και να αποδοθούν όλες οι ανακαλύψεις της σε αυτόν’ (W.K.C. Guthrie, ο.π., σελ.148-150). Ο Auguste Bouchè-Leclercq μιλά για ‘ένα ψυχολογικό φαινόμενο, για το οποίο μας παρέχει άφθονα παραδείγματα η ιστορία της αποκρυφιστικής λογοτεχνίας· δηλαδή, κάθε δόγμα που κινητοποιεί την πίστη, το συμφέρει να εμφανίζεται με απαρχές που φτάνουν στα βάθη της αρχαιότητας και, αφετέρου, όσοι έχουν συμβάλει στην ανάπτυξη αυτού του δόγματος είναι πολύ προσεκτικοί στο να μην παρουσιάζουν αυτές τους τις επινοήσεις ως προϊόν της δικής τους διάνοιας.’ F.M. Cornford, Μυστικισμός και επιστήμη στην Πυθαγορική Παράδοση , από Οι Προσωκρατικοί, συλλογή κριτικών δοκιμίων, τόμος Α’, επιμέλεια Αλέξανδρος-Φοίβος Δ. Μουρελάτος, εκπαιδευτήρια ‘Κωστέα-Γείτονα’ Αθήνα 1993, σελ. 198. 16 Κωστής Μπάλλας, Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι, Προσκήνιο, Αθήνα 2001, σελ 195. 17 Πορφύριος, Πυθαγορικός βίος 19 (DK 14, 8α), μτφ από Κωστής Μπάλας, ο.π., σελ. 57. 18 Κωστής Μπάλας, ο.π., σελ 57. 19 Βλ. Charles H. Kahn, Η Πυθαγορική Φιλοσοφία πριν από τον Πλάτωνα, από Οι Προσωκρατικοί, συλλογή κριτικών δοκιμίων, τόμος Α’, επιμέλεια Αλέξανδρος-Φοίβος Δ. Μουρελάτος, εκπαιδευτήρια ‘Κωστέα-Γείτονα’ Αθήνα 1993, σελ. 228 – 260. 16 γεμίσει από ένα τεράστιο πλήθος συγγραμμάτων, τα περισσότερα από τα οποία είναι άχρηστα ως ιστορικές μαρτυρίες για τη διδασκαλία του ίδιου του Πυθαγόρα.’20 Οι πηγές μπορούν να χωριστούν σε αυτές που είναι βασισμένες στα έργα του Πλάτωνα και σε αυτές που προέρχονται είτε από μαθητές του ίδιου του Πυθαγόρα είτε από συγγραφείς που είχαν άμεση επαφή μαζί τους.21 Ο διαχωρισμός αυτός γίνεται με γνώμονα την χρονική απόσταση που υπάρχει πλέον από τη σχολή του Κρότωνα την εποχή του Πλάτωνα, αλλά και την εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση αρκετών ψευδεπίγραφων έργων και διάφορων μύθων. Επίσης είναι αποφασιστικής σημασίας η επιρροή από και προς την ακαδημία του Πλάτωνα. Η επιρροή - ένθεν και ένθεν - των πυθαγορείων και των πλατωνικών είναι κατά τον Erich Frank το κεντρικό ζήτημα κάθε αναζήτησης γύρω από τον πυθαγορισμό.22 Οι μαρτυρίες που δεν είναι επηρεασμένες από τα έργα του Πλάτωνα είναι ελάχιστες συγκριτικά με τις υπόλοιπες. Σε αυτές τις πηγές θα πρέπει να αναζητήσει κανείς ιστορικά γεγονότα σε σχέση με τον Πυθαγόρα και τη σχολή του, αν και ακόμα και κάποιες από αυτές τις μαρτυρίες δεν είναι αξιόπιστες. Αυτό συμβαίνει γιατί ήδη από την εποχή του, η φιγούρα του Πυθαγόρα κρύβεται πίσω από ένα πέπλο μύθου, με αποτέλεσμα να είναι εξαιρετικά δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς τα πραγματικά ιστορικά γεγονότα από τους θρύλους που υπήρχαν γύρω από το άτομό του αλλά και από το γεγονός πως οι πληρέστερες αναφορές που έχουμε γύρω από τον ίδιο προέρχονται από πολύ μεταγενέστερα γραπτά, και κυρίως από τους δύο νεοπλατωνικούς ‘βίους’ του Πυθαγόρα που γράφτηκαν σχεδόν μια χιλιετία μετά το θάνατό του. Οι πιο σημαντικές μαρτυρίες αυτής της κατηγορίας είναι εκείνες του Αριστόξενου και του Δικαίαρχου καθώς και τα αποσπάσματα του Αρχύτα και του Φιλολάου που προαναφέραμε. Χρονικά ακολουθούν τα έργα του Πλάτωνα, από τα οποία μπορούμε να αντλήσουμε αρκετές πληροφορίες για την πυθαγόρεια παράδοση. Το θέμα αυτό, εξαιτίας της ιδιαιτερότητας του καθώς και τη σχέση που ο ίδιος Ξενάκης έχει με το έργο του Πλάτωνα, ερευνάται διεξοδικά στο επόμενο κεφάλαιο. 20 Kirk G.S. – Raven J.E. – Schofield M. , Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι, μτφ. Δημοσθένης Κούργοβικ, Μορφωτικό ίδρυμα Εθνικής τραπέζης, Αθήνα 1988, σελ. 223. 21 Όπως θα δούμε και στο επόμενο κεφάλαιο αναλυτικότερα, τα έργα του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη αποτελούν ένα κομβικό σημείο στην έρευνα γύρω από την Πυθαγόρεια σχολή και πάνω σε αυτούς βασίστηκαν δεκάδες μεταγενέστεροι συγγραφείς στη μελέτη τους γύρω από τους πυθαγορείους. 22 Walter Burkert, ο.π., σελ. 8. 17 Τα έργα του Αριστοτέλη είναι η επόμενη σημαντική πηγή πληροφοριών γύρω από τους πυθαγορείους, μια και ο ίδιος φαίνεται να έχει ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον γύρω από την πυθαγόρεια σχολή23 αλλά και από το γεγονός ότι, ως μέλος της Ακαδημίας του Πλάτωνα, γνώριζε πολύ καλά τις διαφορές ανάμεσα στους πυθαγορείους και στους πλατωνιστές.24 25 Επίσης, η άμεση γνώση του Αριστοτέλη για την πυθαγόρεια σχολή φτάνει μέχρι και πενήντα χρόνια από το θάνατο του Πυθαγόρα , κάτι που την κάνει ιδιαίτερα αξιόπιστη. Μάλιστα κάποιοι μελετητές, όπως ο J. A. Philip, βασίζουν τα συμπεράσματά τους κυρίως πάνω στις μαρτυρίες του Αριστοτέλη.26 Βέβαια, από τα διασωθέντα κείμενα του Αριστοτέλη δεν μπορεί να οδηγηθεί κανείς σε μια συνολική μελέτη της ζωής του Πυθαγόρα και των επιτευγμάτων της σχολής του, αλλά είναι μια από τις πιο αξιόλογες μαρτυρίες σχετικά με αρκετά θέματα γύρω από αυτόν.27 Ακολουθεί ένας μεγάλος αριθμός συγγραφέων, στα γραπτά των οποίων μπορούμε να εντοπίσουμε πυθαγόρειες επιρροές και πληροφορίες γύρω από τον Πυθαγόρα και τη σχολή του. Για τα θέματα που μας αφορούν στα πλαίσια της διατριβής - δηλαδή τις πυθαγόρειες απόψεις γύρω από τη μουσική, τα μαθηματικά , την αστρονομία και ιστορικές πληροφορίες γύρω από τους πυθαγορείους - μπορούμε να βρούμε μαρτυρίες στα έργα των ακόλουθων συγγραφέων: 28 23 Σε αυτό το συμπέρασμα οδηγούμαστε από το ότι ο Αριστοτέλης στα σωζόμενα έργα του αναφέρει αρκετές φορές τους πυθαγορείους – αν και συχνά στα έργα του αναφέρεται σε αυτούς ως ‘οι περί την Ιταλίαν’ ή ‘οι καλούμενοι πυθαγόρειοι’ – καθώς και από το ότι συνέγραψε ειδική μελέτη γύρω από αυτούς με τίτλο «Περί των πυθαγορείων», η οποία όμως δεν διεσώθη. 24 25 Κωστής Μπάλλας, Πυθαγόρας και πυθαγόρειοι, Προσκήνιο, Αθήνα 2001, σελ. 32. Ακριβώς εξαιτίας της γνώσης των διαφορών μεταξύ Πλατωνισμού-Πυθαγορισμού αλλά και από το ότι ο Αριστοτέλης κάνει σαφή διαχωρισμό των πυθαγόρειων στοιχείων από την πλατωνική διδασκαλία καθιστά τα γραπτά του πολυτιμότατη πηγή στον προσδιορισμό των πυθαγόρειων στοιχείων στο έργο του Πλάτωνα (βλ. παρακάτω ‘Η πυθαγόρεια παράδοση στο έργο του Πλάτωνα’). 26 Κωστής Mπάλλας, ο.π., σελ. 33. 27 Η παράθεση των συγγραφέων γίνεται με βάση κριτήρια που έχουν να κάνουν με την παρούσα διατριβή και όχι με βάση την χρονολογική ακολουθία ή την σπουδαιότητά τους. Για περισσότερες πληροφορίες γύρω από κάθε συγγραφέα που αναφέρεται βλ. παράρτημα, Βιογραφίες Αρχαίων συγγραφέων. 28 Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τις πυθαγόρειες επιρροές στους τομείς της μουσικής και των μαθηματικών για τους περισσότερους από τους συγγραφείς που αναφέρονται , βλ. Barbara C. Andre, The persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought, Ph.D. diss, University of North Carolina at Chapel Hill, 1980. Περισσότερες πληροφορίες αναφορικά με όλες τις πτυχές της πυθαγόρειας διδασκαλίας και τη συμβολή των περισσότερων συγγραφέων που παρατίθενται μπορούν να αναζητηθούν στο βιβλίο του Walter Burket, Lore and 18 1. Εύδοξος, Περί των Πυθαγορείων αριθμών 2. Ευκλείδης, Στοιχεία, Κατατομή Κανόνος 3. Νικόμαχος, Αριθμητικά, Αρμονικό Εγχειρίδιον 4. Θέων Σμυρναίος, Των κατά μαθηματικήν χρησίμων εις την του Πλάτωνος ανάγνωσιν 5. Γαυδέντιος, Αρμονική Εισαγωγή 6. Βοήθιος, De Institutione arithmetica, De institutione musica 7. Πορφύριος, Πυθαγόρου βίος, Σχόλια , De abstinentia, De antro nympharum 8. Ιάμβλιχος, Πυθαγόρου βίος, De communi mathemaica scientia(Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης), Λόγος προτρεπτικός εις την Φιλοσοφία, Θεολογούμενα αριθμητικά 9. Διογένης Λαέρτιος, Περί Πυθαγόρου βίου 10. Πρόκλος, Platonis Parmenidem, Platonis Rempublicam, In Platonis Timaeu, primum librum Euclidis commentarius 11. Ιεροκλής, Σχόλια εις τα χρυσά έπη των Πυθαγορείων φιλοσόφων 12. Συριανός, Aristotelis Metaphysica commentaria 13. Ανατόλιος, De decade 14. Συμπλίκιος, Aristotelis Physica commentaria, Aristotelis De Caelo commentaria 15. Κενσορίνος, De die natali 16. Αριστείδης Κουιντιλιανός, Περί Μουσικής 17. Αχιλεύς Τάτιος, Εισαγωγή εις τα Αράτου φαινόμενα 18. Calcidius, Σχόλια πάνω στον Τίμαιο του Πλάτωνα 19. Μακρόβιος, Ciceronis Somnium Scipionis, Saturnalia (Σατουρνάλια) 20. Μαρτιανός Καπέλλα, De Nuptiis Philologiae et Mercurii et de septem Artibus liberalibus libri novem (Οι γάμοι της Φιλολογίας και του Ερμή) 21. Στοβαίος, Ανθολόγιον science in Ancient Pythagoreanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard university Press, Cambridge Massachusetts 1972. Για περισσότερες πληροφορίες γύρω από τους κυριότερους συγγραφείς Βιογραφίες αρχαίων Συγγραφέων. 19 που αναφέρονται βλ. παράρτημα 22. Κικέρων, Academica posteriora (Ακαδημαϊκά αργότερα) 23. Αλέξανδρος ο Αφροδισεύς, Aristotelis Metaphysica commentaria (Μετά τα Φυσικά), Μετεωρολογικά , Προβλήματα, Περί αισθήσεως 24. Πτολεμαίος, Αρμονικά 25. Πλούταρχος, Περί μουσικής 26. Αλέξανδρος ο Πολυίστωρ, Πυθαγορικά υπομνήματα 27. Φώτιος, Πυθαγόρου βίος, Bibliotheca 28. Αέτιος, De placitis philosophorum 29. Σέξτος Εμπειρικός, Προς Μαθηματικούς Παρόλο που από την εποχή των τελευταίων συγγραφέων που αναφέρονται στον παραπάνω κατάλογο δεν υπάρχουν πλέον νέες πληροφορίες για την αρχική σχολή του Πυθαγόρα, η πυθαγόρεια παράδοση δεν σταματά εκεί. Οι ιδέες του Πυθαγόρα και των οπαδών του επηρεάζουν τον τρόπο σκέψης δεκάδων ερευνητών οι οποίοι συνεχίζουν να τις εξελίσσουν στο πέρασμα των αιώνων. Ενδεικτικά αναφέρω πως στο βιβλίο του Joscelyn Godwin The Harmony of the spheres, A sourcebook of the Pythagorean tradition in music παρατίθενται αποσπάσματα από άλλους 38 συγγραφείς που χρονολογούνται από το Μεσαίωνα μέχρι και τον 19ο αιώνα:29 1. Hunayn, Nawadir al-falasifa 2. Aurelianus Reomensis, Musica Disciplina 3. John Scotus Eriugena, Commentary on Martianus Capella 4. Regino de Prün, Epistola de Harmonica institutione 5. Ikhwan Al-Safa, Επιστολές πάνω στη μουσική του Ikhwan Al-Safa 6. Al-Hasan Al-Katib, Kitab Kamal Adal Al-Gina 7. Isaac Ben Abraham Ibn Latif, Οι θησαυροί του Βασιλιά 8. Jacques de Liège, Speculum Musicae 29 Για περισσότερες πληροφορίες και εξηγήσεις για τους λόγους που οι συγκεκριμένοι συγγραφείς θεωρούνται πυθαγόρειοι βλ. Godwin Joscelyn, The Harmony of the spheres: the Pythagorean tradition in Music, Inner tradition international, United States 1993. Επίσης του ιδίου, Music, mysticism and magic, A sourcebook, Routledge&Kegan Paul, London 1986. 20 9. Ugolino da Orvieto, Declaratio Musicae Disciplinae 10. Giorgio Anselmi, De Musica 11. Isaac Ben Haim, La Musique entre le divin et le terrestre 12. Marsilio Ficino, Epistola ad Comenico Benivieni’ in ‘Supplementum Ficinianum 13. Ramos de Pareja, Musica Practica 14. Pico Della Miarndola, Conclusiones sive Theses 15. Franchino Gafori, De Harmonia Musicorum Instrumentorum 16. Francesco Giorgi, Harmonia Mundi 17. Heinrich Glarean, Dodecachordon 18. Gioseffo Zarlino, Institutioni Harmoniche 19. Jean Bodin, The Colloqueum Heptaplomeres 20. Johannes Kepler, Mysterium Cosmographicum , Harmonices Mundi 21. Robert Fludd, Utriusque Cosmi Maioris 22. Marin Mersenne, Harmonie Universelle 23. Athanasius Kircher, Musurgia Universalis 24. Angelo Berardi, Miscellanea Musica 25. Andreas Werckmeister, Musicae Mathematicae Hodegus Curiosus 26. Issac Newton, Principia Mathematica 27. Jean-Philippe Rameau, Nouvelles réflections sur sa démonstration du Principe de l’harmonie 28. Giuseppe Tartini, Trattato di Musica secondo la vera scienza dell’ armonia , Scienza Platonica fondata nel cerchio 29. Louis-Claude de Saint-Martin, Des erreurs et de la vérité 30. Johann Friedrick Hugo Von Dalberg, Fantasien aus dem Reiche der Töne 31. Arthur Schopenhauer, Die Welt als Wille und Vorstellung 32. Fabre D’Olibet, La musique expliquée comme science et comme art 33. Alphones Toussenel, L’ Esprit des bêtes. Vénerie française et zoologie parrionnelle 34. Peter Singer, Metaphysische Blicke in die Tonwelt, nebst einem dadurch veranlassten neuen System der Tonwissenschaft 35. Albert von Thimus, Die harmonikale Symbolik des Alterthums 21 36. Isaac Rice, What is music? 37. Saint-Yves D’ Alveydre, Άτιτλη έκθεση από τετράδια σημειώσεων 38. Azbel, Harmonie des mondes Από τον παραπάνω κατάλογο θα χρησιμοποιηθούν στα πλαίσια αυτής της διατριβής μόνο έργα συγγραφέων που ο Ξενάκης αναφέρει ονομαστικά. Αυτό γίνεται λόγω του ότι θεωρούμε αδύνατο ο ίδιος ο Ξενάκης να γνώριζε το έργο όλων των συγγραφέων έτσι ώστε να είχε επιρροές από αυτούς. Προτιμήθηκε να χρησιμοποιηθούν τα έργα συγγραφέων που αποδεδειγμένα γνώριζε ο Ξενάκης και εκεί να αναζητηθούν τυχόν επιρροές. Ως επαρκής απόδειξη θα θεωρηθεί η απλή ονομαστική αναφορά τους από τον Ξενάκη στα γραπτά του. Έτσι - παρόλο που είναι πιθανόν ο Ξενάκης να είχε γνώση του έργου πολύ περισσότερων μελετητών - στην παρούσα διατριβή θα γίνουν αναφορές μόνο σε έργα των Zarlino, Kepler και Rameau. Η σημασία του παραπάνω καταλόγου είναι πιο βαθιά από την αναζήτηση πηγών. Δείχνει πως η πυθαγόρεια παράδοση δεν είναι κάτι που άκμασε σε μια συγκεκριμένη περίοδο και εξαφανίστηκε αλλά είναι ακόμα ζωντανή και επηρεάζει την σκέψη της ανθρωπότητας. Σκοπός μου στα πλαίσια αυτής της διατριβής είναι η απόδειξη πως ο Ιάννης Ξενάκης έχει και αυτός θέση στον παραπάνω κατάλογο, ως ένας από τους μεγαλύτερους συνεχιστές της πυθαγόρειας παράδοσης στον 20ο αιώνα. 22 Μέρος 1.2. Η πυθαγόρεια παράδοση στο έργο του Πλάτωνα Όπως έχω ήδη αναφέρει , η αλληλεπίδραση Πυθαγορισμού και Πλατωνισμού είναι από τα κυριότερα προβλήματα σε κάθε μελέτη γύρο από την πυθαγόρεια σχολή, αλλά και ένα από τα σημεία στα οποία πρέπει να εστιάσουμε την προσοχή μας στα πλαίσια αυτής της διατριβής, γιατί τα έργα του Πλάτωνα είναι τα μόνα για τα οποία έχουμε την πληροφορία πως ο Ξενάκης είχε μελετήσει στο σύνολό τους.30 Επίσης, από τα γραπτά και τις συνεντεύξεις του Ξενάκη προκύπτει πως ο Πλάτωνας είναι αυτός που, από όλους τους αρχαίους Έλληνες συγγραφείς, έχει παίξει τον πιο καταλυτικό ρόλο στον τρόπο σκέψης του.31 Η αναζήτηση ωστόσο των πυθαγόρειων στοιχείων στο έργο του Πλάτωνα δεν είναι καθόλου εύκολη υπόθεση. Ο Πλάτωνας αναφέρει ονομαστικά τον Πυθαγόρα μόνο μια φορά σε όλα τα έργα του. Αυτό γίνεται στην Πολιτεία, σε μια σύγκριση του Όμηρου και του Πυθαγόρα από τον Σωκράτη.32 Επίσης, οι πυθαγόρειοι αναφέρονται και αυτοί μόνο μια φορά ονομαστικά, 30 ‘...Ανακάλυψα τον Πλάτωνα και διάβασα σχεδόν όλους τους διαλόγους – την Πολιτεία, το Συμπόσιο, και τους μικρότερους επίσης...’. Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber, London 1996, σελ. 15. 31 Σε συνέντευξή του, το 1997, στην ερώτηση ‘Τι είναι αυτό που αγαπήσατε περισσότερο;’ ο Ξενάκης απαντά ‘ Την αρχαία Ελλάδα ... Τα διαβάσματά μου, πάλι, για την αρχαία Ελλάδα και τις ιδέες της. Αυτό τον κόσμο που χάθηκε. Έχω καιρό να ξαναπιάσω στα χέρια μου τα βιβλία του Πλάτωνα και άλλων προγενέστερων του συγγραφέων, όμως η σκέψη τους είναι βασική, πρωταρχική και μόνιμη έμπνευσή μου. Σε ο,τιδήποτε και να κάνω, είναι πάντα μαζί μου...’. βλ. Χρίστος Τσανάκας, Iannis Xenakis, Η μουσική των άστρων, futura, Αθήνα 2001, σελ. 67. 32 Πολιτεία 600 a-b, “Μήπως όμως, καθώς δεν γίνεται αναφορά σε κάποια ωφέλεια ως προς τη δημόσια ζωή αναφέρεται πως στην ιδιωτική του ζωή, όσο ζούσε ο ίδιος ο Όμηρος, έγινε επικεφαλής της εκπαίδευσης των πολιτών, που τον αγαπούσαν για τη διδασκαλία του και παρέδωσαν στους μεταγενέστερους κάποιον ομηρικό τρόπο ζωής, όπως και ο ίδιος ο Πυθαγόρας, που για τον λόγο αυτό αγαπήθηκε ξεχωριστά και οι μεταγενέστεροί του ακόμα και σήμερα ζουν σύμφωνα μ’ έναν τρόπο ζωής που τον ονόμασαν πυθαγόρειο, και φαίνονται να υπερέχουν ανάμεσα στους άλλους ανθρώπους;’ Το πιο σημαντικό σημείο σε αυτό το απόσπασμα είναι η επιρροή που φαίνεται πως έχει στον ίδιο τον Πλάτωνα καθώς προβάλει ένα τρόπο διδασκαλίας που φαίνεται να θεωρεί ιδεώδη και είναι ένας από τους πιθανούς λόγους για την ίδρυση της Ακαδημίας. Ο παραλληλισμός της Ακαδημίας του Πλάτωνα με 23 στο ίδιο έργο.33 Σε αντίθεση με τον Αριστοτέλη,34 αποτελεί πρακτική του Πλάτωνα να μην αναφέρει τις πηγές του, κάτι που κάνει ιδιαίτερα δύσκολο τον προσδιορισμό των στοιχείων που ανήκουν καθαρά στην πλατωνική σχολή ή στις πηγές του ίδιου του Πλάτωνα από άλλες φιλοσοφίες. Οι πυθαγόρειες επιρροές θα πρέπει λοιπόν να επισημανθούν μέσα από τη μελέτη των έργων του Πλάτωνα και αντιπαραβολή των στοιχείων αυτών με πληροφορίες που δίδονται από άλλους συγγραφείς, αν και με αυτό τον τρόπο συχνά ελλοχεύει ο κίνδυνος στοιχεία που είναι πλατωνικά να θεωρηθούν πυθαγόρεια και το αντίθετο. Αυτός είναι και ο λόγος που οι αποκλίσεις που υπάρχουν ανάμεσα στους διάφορους μελετητές των πυθαγορείων είναι συχνά τεράστιες. Τα σημεία όπου οι απόψεις του Πλάτωνα και των πυθαγορείων φαίνεται να συγκλίνουν είναι τα ακόλουθα : 1. Η τριμερής διαίρεση της ψυχής (Πολιτεία 434d – 441c) 2. Η θεωρία για την εκπαίδευση (Πολιτεία 398c - 403c και 521c – 531c ) 3. Η χρήση της μονάδας και της δυάδας ( Η ιδέα αυτή αναφέρεται από τον Αριστοτέλη – ως ιδέα του Πλάτωνα - στο Μετά τα φυσικά i 6, 987 a 29 f ) 4. Η εξίσωση του καλού με τη μονάδα (Η ιδέα παρουσιάζεται στην ομιλία του Πλάτωνα Περί του Καλού όπως αναφέρει ο Αριστόξενος στα Αρμονικά ii)35 5. Η άποψη πως οτιδήποτε καλό απορρέει από την τάξη (Γοργίας 506e) 6. Η άποψη πως το σύμπαν είναι κατασκευασμένο βάσει της Γεωμετρίας και των Μαθηματικών (Γοργίας 508α , Τίμαιος) την πυθαγόρεια κοινωνία έχει επισημανθεί από αρκετούς μελετητές. Βλ. David Fideler – Kenneth Sylvan Guthrie, The Pythagorean sourcebook and library, Phanes Press, Michigan USA 1988, σελ. 31, 38. 33 Πολιτεία 530 D: ‘Κινδυνεύει, ἕφην, ὡς πρὸς ἀστρονομίαν ὄμματα πέπηγεν, ὤς πρὸς ἐναρμόνιον φορὰν ὦτα παγῆναι, καὶ αὖται ἀλλήλων ἀδελφαί τινες αἱ ἐπιστῆμαι εἴναι, ὡς τε Πυθαγόρειοί φασι καὶ ἡμεἵς, ὦ Γλαύκων, ξυγχωροῦμεν’ (‘Φαίνεται πως τα μάτια μας δόθηκαν για την αστρονομία και τα αυτιά για την αίσθηση της αρμονίας (μουσική), και πως οι δύο επιστήμες είναι αδελφές όπως παραδέχονται οι πυθαγόρειοι’ μτφ του γράφοντος) από Diels/Kranz, Die Fragmente der vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989, σελ. 432. 34 βλ. παρακάτω. 35 Βλ. και Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, New York 1931 σελ. 24. 24 7. Η άποψη πως οι αριθμοί είναι ιδέες και η απόδοση συμβολικής σημασίας σε αυτούς (Τίμαιος, επίσης η ίδια ιδέα παρουσιάζεται από τον Αριστοτέλη στο Μετά τα φυσικά xiii 7) 8. Η χρήση του μουσικού συμβολισμού (Τίμαιος, Φίληβος) Πίνακας 1 Από τα παραπάνω, περισσότερο ενδιαφέρον για την παρούσα διατριβή έχουν τα τρία τελευταία σημεία, αφού είναι και βασικές ιδέες της φιλοσοφίας του Ξενάκη, οι οποίες είναι πολύ πιθανόν να έχουν προέλθει από τα κείμενα του Πλάτωνα . Ο πίνακας 1, όπως προαναφέραμε , επισημαίνει τα σημεία που οι απόψεις των δύο φιλοσοφιών συγκλίνουν, χωρίς αυτό να σημαίνει πως όλα είναι καθαρά πυθαγόρεια, τα οποία έχει δανειστεί ο Πλάτωνας, μια και όπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι επιρροές υπάρχουν από και προς τις δύο πλευρές και ο Πλάτωνας δεν προσδιορίζει τις πηγές του. Η άποψη του Walter Burket, την οποία και ασπάζομαι, είναι πως μόνο μέσα από τα κείμενα του Αριστοτέλη μπορεί να γίνει διάκριση των πτυχών της πλατωνικής φιλοσοφίας που έχουν τις ρίζες τους στον πυθαγορισμό. Ο Αριστοτέλης, σε αντίθεση με τον δάσκαλό του, δεν είναι καθόλου φειδωλός στη χρήση της λέξης ‘πυθαγόρειοι’. Ο Burket αναφέρει ‘...αυτό που ο Πλάτωνας ονομάζει «πηγή» ο Αριστοτέλης το βλέπει σαν πυθαγόρεια άποψη...’ και ‘...δεν είναι ο Σπεύσιππος, ο Ξενοκράτης και ο Ηρακλείδης, αλλά ο Αριστοτέλης που έδωσε αυθεντικές πληροφορίες πως ο πυθαγορισμός υπήρξε πριν από τον Πλάτωνα...’.36 Σύγχρονοι μελετητές, όπως οι G.S Kirk., J.E. Raven και M. Schofield , θεωρούν πως αρκετοί διάλογοι του Πλάτωνα είναι βαθιά επηρεασμένοι από τους πυθαγορείους. Αναφέρουν χαρακτηριστικά πως ‘είναι πασίγνωστο ότι η μεταφυσική του Πλάτωνα ήταν βαθιά ποτισμένη με ιδέες που εμείς αναγνωρίζουμε ότι είναι πυθαγόρειες. Ο ‘Φαίδων’ , λόγου χάρη, αναπαράγει με γλαφυρό τρόπο μια γνήσια πυθαγόρεια αντίληψη, που αποτελεί μείγμα μιας εσχατολογικής διδασκαλίας για την τύχη της ψυχής με διάφορες ηθικοθρησκευτικές επιταγές...’ και ‘ όπως ο Πλάτων έχει βάλει αρκετές πινελιές στην εικόνα που έχουμε για τον Πυθαγόρα, έτσι και επηρέασε ή, αν θέλετε, αποπροσανατόλισε ένα τεράστιο πλήθος από τα βιβλία και τις ιδέες που 36 Walter Burket, Lore and ‘science in Ancient Pythagoreanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard university Press, Cambridge Massachusetts 1977, σελ. 90. 25 κυκλοφορούσαν για αυτόν το στοχαστή στην αρχαιότητα. Ιδιαίτερα μεγάλη επίδραση άσκησε η αποδοχή διάφορων αριθμολογικών ιδεών από τον Πλάτωνα στον Φιλήβο στον Τίμαιο και στα περίφημα, αλλά σκοτεινά «Άγραφα δόγματα»’.37 Ένα βασικό στοιχείο που πρέπει να διασαφηνιστεί γύρω από το θέμα, είναι τα όσα αφορούν τον διάλογο Τίμαιο και τα όσα αναφέρονται σε αυτόν μια και σε αυτό το διάλογο μπορούμε να ανιχνεύσουμε και τα τρία σημεία που μας ενδιαφέρουν από τον πίνακα 1. Ο Σπεύσιππος και ο Ξενοκράτης θεωρούσαν πως ο Τίμαιος απηχεί ξεκάθαρα πυθαγόρειες απόψεις, αλλά όπως επισημαίνει και ο W. Burket, ο διάλογος αυτός δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ιστορική πηγή για την αρχική πυθαγόρεια διδασκαλία.38 Υπάρχει ακόμα και η υπόνοια πως ο διάλογος είναι βασισμένος σε ένα βιβλίο του Φιλολάου.39 Το κεντρικό πρόσωπο του διαλόγου, ο Τίμαιος, δεν χαρακτηρίζεται πουθενά μέσα σε αυτόν ως πυθαγόρειος. Αρκετοί μελετητές, ωστόσο, τείνουν να τον ταυτίζουν με τον Τίμαιο το Λοκρό, έναν από τους πιο διάσημους πυθαγορείους εφόσον και στο διάλογο φαίνεται πως κατάγεται από την ίδια πόλη της Ιταλίας και συνδυάζει την πολιτική δραστηριότητα με τη φιλοσοφία, βασικό γνώρισμα των πυθαγορείων.40 Ο Erich Frank πιστεύει πως ο χαρακτήρας Τίμαιος είναι στην πραγματικότητα ο Αρχύτας,41 ενώ ο W. Burket δεν θεωρεί πως πρόκειται απαραίτητα για κάποιο ιστορικό πρόσωπο. Αυτό στο οποίο φαίνεται να συμφωνούν όλοι οι μελετητές, είναι πως οι απόψεις του Πλάτωνα στον ‘Τίμαιο’ είναι έντονα επηρεασμένες από την πυθαγόρεια φιλοσοφία. Ο Burket γράφει χαρακτηριστικά ‘Το γεγονός πως ο Πλάτωνας βάζει ένα Ιταλιώτη ως εκφραστή της δικής του κοσμολογίας, είναι μια ένδειξη πως στην Μεγάλη Ελλάδα ο Πλάτωνας βρήκε τουλάχιστον την έμπνευση προς μια θεώρηση του κόσμου που ήταν για αυτόν διαφορετική από το σύστημα του Αναξαγόρα’42 ενώ ο Charles Kahn αναφέρει: ‘παραμένει γεγονός ότι ο Τίμαιος είναι ιδιαιτέρως πλούσιος σε πυθαγόρειους αριθμούς και παγκόσμια γεωμετρία, ενώ είναι 37 G.S. Kirk– J.E. Raven– M. Schofield, Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι, μτφ. Δημοσθένης Κούργοβικ, Μορφωτικό ίδρυμα Εθνικής τραπέζης, Αθήνα 1988, σελ. 222. 38 Walter Burket, ο.π., σελ. 85. 39 Carl A. Huffman, Philolaus of Croton, Pythagorean and Pre-Socratic, Cambridge university Press, Cambridge 1993, σελ 12-13. 40 Σχετικά με το θέμα βλ. το κεφάλαιο 1 για τη ζωή του Πυθαγόρα και την πυθαγόρεια σχολή παραπάνω. 41 Η φιλία του Πλάτωνα και του Αρχύτα είναι γνωστή από το έργο Επιστολαί. 42 Walter Burket, ο.π., σελ. 84 – 85. 26 εμπνευσμένος εν μέρει από την επαφή του Πλάτωνα με τον Αρχύτα’. Επίσης σχολιάζοντας την περιγραφή της ψυχής του κόσμου από τον Πλάτωνα στον Τίμαιο δηλώνει πως ‘αυτή η μαθηματική δομή της συμπαντικής ψυχής και του σώματος στον Τίμαιο αναπαριστά ένα γνήσια πυθαγόρειο μείγμα της θεωρίας των αριθμών, της γεωμετρίας και της μουσικής αρμονίας. Περιλαμβάνεται επίσης η αστρονομία, το τέταρτο σκέλος της πυθαγόρειας τετράδας, καθώς η παγκόσμια ψυχή κόβεται σε δύο λωρίδες, που αντιστοιχούν στον ουράνιο ισημερινό και στην εκλειπτική’.43 Από τις παραπάνω αναφορές, φαίνεται πως είναι κοινά αποδεκτό από τους περισσότερους μελετητές, ότι ολόκληρος ο Τίμαιος απηχεί πυθαγόρειες διδασκαλίες. Οι απόψεις του Πλάτωνα για τη μουσική είναι μάλλον συγκερασμός των δύο βασικών τάσεων που υπήρχαν στην αρχαία Ελλάδα, αυτή των Εμπειρικών, δηλ. των μουσικών που μετρούσαν τα διαστήματα βασιζόμενοι στις αισθήσεις,44 και αυτή των πυθαγορείων, που καθόριζαν τα μουσικά διαστήματα με βάση μαθηματικές σχέσεις. Το σημείο που πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σχετικά με αυτό το θέμα βρίσκεται στην Πολιτεία’. Ο Πλάτωνας επισημαίνει πως υπάρχουν δύο τάσεις στη μουσική θεωρία και προτείνει πως μόνο η μια αξίζει ιδιαίτερης προσοχής, αφού αυτή μετρά τα μουσικά διαστήματα με αριθμητικές σχέσεις ενώ δεν αναφέρει καθόλου πληροφορίες για την άλλη. Είναι φανερό πως αναφέρεται στην πυθαγόρεια άποψη και στον τρόπο που οι πυθαγόρειοι καθόριζαν τα μουσικά διαστήματα. Ο Πλάτωνας στους διαλόγους του, δεν περιγράφει κάποιο υπάρχον μουσικό σύστημα, αλλά προσπαθεί να ανακαλύψει μέσω της μουσικής μια βαθύτερη μαθηματική τάξη πιστεύοντας ότι το γεγονός πως η μουσική πρακτική δεν προσεγγίζει αυτή την τάξη, δείχνει την ατέλεια της αλλά και την ανθρώπινη αδυναμία να κρίνει τι είναι πραγματικά αρμονικό. Επίσης, η περιγραφή της επιστήμης της μουσικής στον Φιλήβο γίνεται με καθαρά πυθαγόρειους όρους45 και τα όσα αναφέρει ο Πλάτωνας βασίζονται πάνω σε έρευνες των πυθαγορείων.46 Ο Κλείτος Ιωαννίδης εκφράζει μάλιστα την άποψη πως ο Πλάτωνας, παρόλο που δείχνει μια τάση προς την πυθαγόρεια άποψη για τη μουσική, ζητά περισσότερη διερεύνηση της με βάση τα μαθηματικά, 43 Kahn H. Charles, Ο Πυθαγόρας και οι πυθαγόρειοι, Ενάλιος, Αθήνα 2001, σελ 91-92. 44 Βασικός εκπρόσωπος αυτής της σχολής είναι ο Αριστόξενος - που βέβαια είναι μεταγενέστερος του Πλάτωνα - ο οποίος θα είναι και ο βασικός ‘αντίπαλος’ των πυθαγόρειων μουσικών κατά τον 4ο αι. π.Χ. 45 Andrew Barker, Greek Musical Writings II, Cambridge University Press 1989, σελ. 54. 46 Ιωαννίδης Κλείτος, Ρυθμός και Αρμονία: Η ουσία της μουσικής και του χορού στην πλατωνική παιδεία, Λευκωσία- Κύπρος 1978, σελ 24. 27 κάτι που αναλαμβάνει να κάνει ο ίδιος στον Τίμαιο. Όπως, όμως , έχουμε δείξει παραπάνω, οι περισσότεροι ερευνητές θεωρούν πως ο Τίμαιος αντικατοπτρίζει πυθαγόρειες ιδέες. Ένα άλλο σημείο που δείχνει πως η άποψη του Πλάτωνα για τη μουσική τείνει περισσότερο προς την πυθαγόρεια προσέγγιση είναι η αναφορά του σε διάφορους μουσικούς τρόπους, κάνοντας διάκριση σε αυτούς που μπορούν να έχουν επιβλαβείς συνέπειες στη ψυχή των ακροατών. Στους Νόμους47 ο Πλάτωνας θεωρεί τους ύμνους ως θεραπευτικές επωδές, παραδεχόμενος έτσι καθαρτικές ή και μαγικές ιδιότητες σε αυτούς.48 Γνωρίζουμε πως και οι πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν κάποια είδη μουσικής ως θεραπεία της διαταραγμένης ψυχής49 έτσι μπορούμε να δεχθούμε πως υπάρχει σαφής σύνδεση μεταξύ των δύο απόψεων. Ένα ακόμα βασικό σημείο στη σχέση Πλατωνισμού – Πυθαγορισμού είναι η άποψη πως ο Πλάτωνας και οι μαθητές του, θεώρησαν τους εαυτούς τους συνεχιστές της πυθαγόρειας παράδοσης. Η άποψη αυτή εκφράζεται από τον W. Burket και στηρίζεται στην εμμονή του Πλάτωνα να προβάλει την θεϊκή προέλευση των διδασκαλιών του, αλλά και τις επικλήσεις του στους Θεούς όταν ξεκινά να γράφει ένα έργο50 Αυτό, σε συνδυασμό με την πεποίθηση των ίδιων των πυθαγορείων πως οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα είχαν θεϊκή προέλευση ή ακόμα και πως ο ίδιος ο Πυθαγόρας θεωρήθηκε από τους μαθητές του η ενσάρκωση του Υπερβόρειου Απόλλωνα, είναι για τον Burket ικανοποιητική απόδειξη.51 Επίσης, εν τη απουσία αυθεντικών γραπτών του Πυθαγόρα, οι νεοπυθαγόρειοι βασίστηκαν πάνω στο έργο του Πλάτωνα και ιδιαίτερα στον Τίμαιο για να αντλήσουν πληροφορίες για την πυθαγόρεια σοφία. Ακόμα, ο Πλάτωνας και ο Αριστοτέλης θεωρήθηκαν διάδοχοι του ίδιου του Πυθαγόρα.52 47 Νόμοι 659e, 664, 666c, 670e, 773b. 48 Ιωαννίδης Κλείτος, ο.π. , σελ 32. 49 David Fideler – Kenneth Sylvan Guthrie, ο.π., σελ 35. Κατά τον Ιάμβλιχο, ο ίδιος ο Πυθαγόρας μπορούσε με την κατάλληλη μουσική να θεραπεύσει αρκετές ψυχικές διαταραχές όπως μελαγχολία, οργή, φόβο, επιθυμία, περηφάνια κ.α. 50 Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η πεποίθηση της θεϊκής προέλευσης του ζευγαριού πέρας – άπειρο που συναντούμε στο Φιλήβο, αλλά και οι επικλήσεις για θεϊκή βοήθεια στην Απολογία και στον Τίμαιο. 51 Περισσότερα για το θέμα βλ. Walter Burket, ο.π., σελ. 85 – 96. 52 Walter Burket, ο.π., σελ. 93. Ο Joscelyn Godwin αναφέρει: ‘Ο Νεοπλατωνισμός είναι κατά μεγάλο βαθμό παρόμοιος με το Νεοπυθαγορισμό: μοιράζονται τα τυπικά ενδιαφέροντα στη Θεοσοφία, την κοσμολογία, την αριθμολογία, τη μουσική και τη 28 Βλέπουμε πως ακόμα και οι μαθητές του Πλάτωνα θεωρούσαν πως έργα όπως ο Τίμαιος απηχούσαν πυθαγόρειες απόψεις. Έτσι, βασιζόμενοι στα στοιχεία που παραθέσαμε παραπάνω, θα θεωρήσουμε πως τα σημεία 6, 7, και 8 του πίνακα 1 απηχούν καθαρά απόψεις που ο Πλάτωνας δανείστηκε από την πυθαγόρεια παράδοση και έτσι θα χρησιμοποιηθούν στο εξής στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. Θρησκεία. Κατακρίβειαν, όπως οι πλατωνικοί θεώρησαν τον Αριστοτέλη διάδοχο του διδασκάλου τους, έτσι και οι πυθαγόρειοι μπορούν να θεωρήσουν τον Πλάτωνα’. David Fideler – Kenneth Sylvan Guthrie, ο.π., σελ 13. 29 Κεφάλαιο 2: Απευθείας αναφορές του Ιάννη Ξενάκη στην πυθαγόρεια παράδοση Για να αναζητήσουμε τους τρόπους με τους οποίους η πυθαγόρεια παράδοση επηρέασε τον Ξενάκη, πρέπει να αναζητήσουμε τις απευθείας αναφορές του Ξενάκη, είτε στον ίδιο τον Πυθαγόρα, είτε στην πυθαγόρεια παράδοση και τους πυθαγορείους. Οι αναφορές αυτές είναι εξαιρετικά σημαντικές μια και δείχνουν αφενώς το πόσα ακριβώς γνώριζε ο Ξενάκης για τους πυθαγορείους και αφετέρου το κατά πόσο ο Ξενάκης είχε συνείδηση των πυθαγόρειων επιρροών στο έργο του. Οι αρχαίοι συγγραφείς που σχετίζονται με την πυθαγόρεια παράδοση και εμφανίζονται ονομαστικά στα γραπτά και τις συνεντεύξεις του Ξενάκη δεν είναι πολλοί. Συγκεκριμένα αναφέρονται οι: 1. Πυθαγόρας 2. Πλάτωνας – με αναφορές σε συγκεκριμένα έργα του 3. Αριστοτέλης 4. Αριστόξενος 5. Ευκλείδης 6. Βοήθιος 7. Πτολεμαίος ο Κλαύδιος 8. Αριστείδης Κουιντιλιανός Ακόμα λιγότεροι είναι οι συγγραφείς της μετά Χριστιανικής περιόδου που αναφέρει ο Ξενάκης. Συγκεκριμένα είναι οι: 1. Gioseffo Zarlino 2. Johannes Kepler 3. Jean-Philippe Rameau 30 Παρόλο όμως που ο Ξενάκης δεν αναφέρεται σε μεγάλο αριθμό πυθαγόρειων συγγραφέων, αναφέρεται πάρα πολλές φορές στην πυθαγόρεια παράδοση και τον πυθαγορισμό. Όπως θα δούμε και παρακάτω, μέσα από τα γραπτά του ο Ξενάκης προσδίδει ιδιαίτερη βαρύτητα στη γνώση της πυθαγόρειας διδασκαλίας, η οποία φαίνεται να είναι καταλυτική στη διαμόρφωση της σκέψης του. 2.1. Αναφορές πυθαγορείων στα γραπτά και τις συνεντεύξεις του Ξενάκη 1. Υπάρχει ένας ιστορικός παραλληλισμός μεταξύ της ευρωπαϊκής μουσικής και της προσπάθειας να εξηγήσουμε τον κόσμο μέσω της λογικής. Η μουσική της αρχαιότητας ήταν έντονα επηρεασμένη από τις σχολές του Πυθαγόρα και του Πλάτωνα. Ο Πλάτωνας επέμεινε στην αρχή της αιτιότητας ‘γιατί είναι αδύνατον για οτιδήποτε να υπάρξει χωρίς σκοπό’ (Τίμαιος)53 Αναφορά Ξενάκη αρ. 1 Το έργο στο οποίο μπορεί κανείς να βρει μεγάλο πλήθος των ιδεών και της σκέψης του Ιάννη Ξενάκη είναι αναμφίβολα το βιβλίο Formalized Music.54 Ο Ξενάκης σε αυτό το βιβλίο αναφέρει τον Πυθαγόρα και τον Πλάτωνα στην πρώτη σελίδα, βάζοντας τους έτσι σε περίοπτη θέση. Ο Ξενάκης, θέλοντας να μιλήσει για τους λόγους που τον ώθησαν στη χρήση των νόμων των πιθανοτήτων στη μουσική του αναφέρεται πρώτα από όλα στους δύο Έλληνες φιλοσόφους κάνοντας ουσιαστικά μια ιστορική αναδρομή του τρόπου σκέψης των ανθρώπων σε σχέση με τις έννοιες της αιτιότητας και της τύχης. 53 54 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 1. Συλλογή άρθρων του Ιάννη Ξενάκη που αρχικά δημοσιεύτηκε το 1962 με τον τίτλο Musiques Formelles. Επανεκδόδηκε το 1992 με τον τίτλο Formalized Music, thought and mathematics in Music, και τοποθετήτε μέσα στα σημαντικότερα θεωρήτικά έργα της μουσικής στο 2 ο μισό του 20ου αιώνα με σημαντική επιρροή σε πλήθος θεωρητικών και συνθετών. 31 Σημαντική είναι επίσης η αναφορά σχετικά με την επιρροή της πυθαγόρειας σχολής στην μουσική της αρχαιότητας, θέση η οποία, όπως θα δούμε παρακάτω, εμφανίζετε συχνά στα γραπτά του Ξενάκη. Έχουμε επίσης αναφορά στο έργο του Πλάτωνα Τίμαιος - του οποίου τις πυθαγόρειες καταβολές αναλύσαμε ήδη. 2. …ο Ορφισμός, που τόσο επηρέασε τον πυθαγορισμό, δίδασκε πως η ανθρώπινη ψυχή είναι ένας έκπτωτος Θεός, τον οποίο μόνο η έκστασης, ο διαχωρισμός από το εγώ, μπορεί να αποκαλύψει την πραγματική του φύση και πως με τη βοήθεια καθαρμών και οργίων μπορεί να επανακτήσει τη χαμένη του θέση και να ξεφύγει από τον τροχό των γεννήσεων, δηλαδή τη μοίρα των μετενσαρκώσεων σε ζώα ή φυτά. Αναφέρω αυτή τη δοξασία γιατί φαίνεται να είναι μια πολύ παλιά και διαδεδομένη μορφή σκέψης, η οποία υπήρχε ανεξάρτητα την ίδια περίοδο και στον Ινδουισμό.55 Αναφορά Ξενάκη αρ.2 Όταν ο Ξενάκης μιλά για τη θεωρία της μετενσάρκωσης στους πυθαγορείους, δεν ενδιαφέρετε για αυτή από θρησκευτική σκοπιά μια και ο ίδιος ο Ξενάκης έμεινε μακριά από θρησκευτικές αναζητήσεις σε όλη τη διάρκεια της ζωής του. Η παραπάνω αναφορά είναι ένα παράδειγμα μιας από τις πιο ουσιώδεις αναζητήσεις του, αυτή του ελέγχου,56 αυτό που ο ίδιος τόσο επιτυχώς ονόμασε ‘ο δρόμος της έρευνας και της ερώτησης’.57 Ως αφετηρία αυτής της αναζήτησης αναφέρει τους Ίωνες πρωτοπόρους – το Θαλή, τον Αναξίμανδρο και τον Αναξιμένη. Ο Ξενάκης θεωρεί πως οι θρησκευτικές πεποιθήσεις ήταν πρώτες μορφές της ‘ερώτησης’, δίνοντας την παραπάνω αναφορά ως παράδειγμα. 55 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 201. 56 Όπως θα δούμε και παρακάτω, ο Ξενάκης έχοντας ως αφετηρία την πυθαγόρεια διδασκαλία για έλεγχο των μετενσαρκώσεων, οδηγείτε στη δική του αναζήτηση για έλεγχο των μουσικών παραμέτρων στη σύνθεση. 57 Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ.85-93. 32 Η θεωρία της μετενσάρκωσης ήταν από τα βασικά δόγματα στην πυθαγόρεια σχολή. Σύμφωνα με αυτή, ο άνθρωπος αποτελείτε από δύο μέρη, το σώμα –το θνητό μέρος - και τη ψυχή που είναι αθάνατη. Η ανθρώπινη ψυχή, σύμφωνα με τους πυθαγορείους, είναι ακάθαρτη και για να μπορέσει να φτάσει σε καθαρή μορφή, πρέπει να ζήσει μέσα στο σώμα έτσι ώστε μέσα από τις διάφορες εμπειρίες να καθαριστεί. Επειδή όμως η ζωή του σώματος είναι περιορισμένη, η ψυχή μέσα από διαδοχικές γεννήσεις σε διαφορετικά σώματα – τα οποία μπορούσαν να είναι είτε ανθρώπου, είτε ζώου ή ακόμα και φυτού – συνεχίζει να αποκτά εμπειρίες έτσι ώστε στο τέλος να απαλλαγεί από τον τροχό των γεννήσεων και να ενωθεί με την παγκόσμια ψυχή. Θεωρείται βέβαιο πως την θεωρία της μετενσάρκωσης δίδαξε ο ίδιος ο Πυθαγόρας, αφού αναφέρεται από την αρχαιότερη μαρτυρία γύρω από τον πυθαγορισμό, τους στίχους του Ξενοφάνους: καί ποτέ μιν στυφελιζομένου σκύλακος παριόντα φασὶν ἐποικτῖραι καὶ τόδε φάσθαι ἔπος· "παῦσαι μηδὲ ῥάπιζ', ἐπεὶ ἦ φίλου ἀνέρος ἐστὶ ψυχή, τὴν ἔγνων φθεγξαμένης ἀΐων.58 Είναι γνωστό επίσης πως – σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο – ο Πυθαγόρας μπορούσε να θυμηθεί όλες τις παλιότερες ζωές του. Ο Αριστοτέλης αναφέρει αρκετές φορές τη θεωρία της μετενσάρκωσης συμφωνώντας ως προς το διαχωρισμό σε ψυχή και σώμα, αλλά διαφωνώντας με τον ‘τυχαίο’ τρόπο που η ψυχή μπορούσε να ενωθεί με οποιοδήποτε σώμα σύμφωνα με την πυθαγόρεια σχολή. Ένα σημείο διαφωνίας ανάμεσα στους μελετητές του πυθαγορισμού είναι η προέλευση του δόγματος. Η θέση που προβάλει ο Ξενάκης για την Ορφική προέλευση του δόγματος της μετενσάρκωσης υποστηρίζεται από τους περισσότερους μελετητές, αλλά αμφισβητείται από ένα από τους κορυφαίους αυτών, τον W. Burket. Αναφέρουμε επίσης ότι ο Ηρόδοτος υποστήριξε πως η θεωρία της μετενσάρκωσης προήλθε από την Αίγυπτο – πράγμα απίθανο αφού οι αρχαίοι 58 Burkert Walter, Lore and science in Ancient Pythagoreanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard university Press, Cambridge Massachusetts 1972, σελ. 120 (Στους συγκεκριμένους στίχους, ο Ξενοφάνης ειρωνεύεται τον Πυθαγόρα και τον ισχυρισμό του πως στο γαύγισμα ενός σκύλου αναγνώρισε την ψυχή ενός πεθαμένου φίλου του). 33 Αιγύπτιοι πίστευαν μεν στην αθανασία της ψυχής αλλά όχι στο δόγμα της μετενσάρκωσης. Η παρατήρηση του Ξενάκη πως κατά την ίδια περίοδο η θεωρία αυτή αναπτύχθηκε και στην Ινδία δίνει και την πιο πιθανή λύση για πιθανή συγγένεια του δόγματος των πυθαγορείων με τον Ινδουισμό. Ο Ξενάκης ολοκληρώνει το παράδειγμα του αναφέροντας: 3. ‘….Δύο είναι κατά την άποψή μου τα υψηλότερα σημεία αυτής της περιόδου: η πυθαγόρεια άποψη για τους αριθμούς και η παρμενίδεια διαλεκτική – και οι δύο μοναδικές εκφράσεις της ίδιας ιδέας. Μέσω διαφόρων φάσεων, μέχρι τον τέταρτο αιώνα π.Χ., η πυθαγόρεια έννοια των αριθμών εξέφραζε πως τα πράγματα είναι αριθμοί ή τα πράγματα έχουν σχέση με τους αριθμούς ή πως τα πράγματα είναι ταυτόσημα με τους αριθμούς. Αυτή η θέση αναπτύχθηκε (και αυτό ενδιαφέρει ιδιαίτερα τους μουσικούς) από τη μελέτη των μουσικών διαστημάτων στην προσπάθεια να πετύχουν την Ορφική κάθαρση, αφού σύμφωνα με τον Αριστόξενο, οι πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν τη μουσική για να καθαρίσουν την ψυχή, όπως χρησιμοποιούσαν τα φάρμακα για να καθαρίσουν το σώμα. Αυτή η μέθοδος μπορεί να βρεθεί σε άλλα όργια, όπως αυτά των Κορυβαντών, όπως μαρτυρά ο Πλάτωνας στους ‘Νόμους’. Σε κάθε περίπτωση, ο πυθαγορισμός διαπότισε τη Δυτική σκέψη, πρώτα από όλα την Ελληνική, μετά τη Βυζαντινή, η οποία την διέδωσε στην Δυτική Ευρώπη και στους Άραβες. Όλοι οι θεωρητικοί της Μουσικής, από τον Αριστόξενο στον Ηucbald, το Ζαρλίνο και το Ραμώ, επέστρεψαν στις ίδιες θέσεις διαφοροποιημένες από εκφράσεις της στιγμής. Αλλά το πιο εκπληκτικό είναι πως όλη η διανοητική δραστηριότητα, συμπεριλαμβανομένων και των τεχνών, είναι στην πραγματικότητα εμβαπτισμένη στον κόσμο των αριθμών. Δεν είμαστε μακριά από 34 την ημέρα που η γενετικοί επιστήμονες, χάρη στη γεωμετρική και συνθετική (προσθετική;) δομή του DNA, θα είναι ικανοί να μεταμορφώσουν τον τροχό των γεννήσεων σύμφωνα με τη θέλησή τους, όπως είχε προειπωθεί από τον Πυθαγόρα. Δεν θα είναι η έκσταση (Ορφική, Ινδουιστική ή Ταοϊστική) που θα καταφέρει ένα από τους μεγαλύτερους στόχους όλων των εποχών, αυτόν του ελέγχου των μετενσαρκώσεων, αλλά η δύναμη της ‘θεωρίας’, της ερώτησης, η οποία είναι η ουσία κάθε ανθρώπινης πράξης, και της οποίας η καλύτερη έκφραση είναι ο πυθαγορισμός. Είμαστε όλοι πυθαγόρειοι.’59 Αναφορά Ξενάκη αρ. 3 Όπως είπαμε, η θεωρία της μετενσάρκωσης, εξυπηρετεί ως παράδειγμα του ελέγχου που ο άνθρωπος θέλει να ασκήσει σε όλες τις εκφάνσεις της ζωής του. Ο Ξενάκης δεν διστάζει να προβλέψει από το 1966 πως σύντομα οι επιστήμονες θα είναι ικανοί να επέμβουν στο ανθρώπινο DNA60 ικανοποιώντας έτσι την αναζήτηση των πυθαγορείων για έλεγχο των μετενσαρκώσεων. Από το παραπάνω απόσπασμα μπορούμε επίσης να απομονώσουμε ένα πλήθος άλλων σημαντικών σημείων τα οποία θα τα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια: 1) Η άποψη που εκφράζει ο Ξενάκης σχετικά με την πυθαγόρεια ιδέα πως τα πάντα είναι αριθμοί και την πεποίθησή του πως αυτή αποτελεί μια από τις δύο κορυφαίες εκφράσεις της ανθρώπινης σκέψης για τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Το θέμα αυτό αναλύεται εκτενέστερα στο κεφάλαιο 5, ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 2) Η άποψη πως η ιδέες των πυθαγορείων σχετικά με τους αριθμούς προήλθαν μέσα από τη μουσική. Το θέμα αυτό επίσης αναλύεται εκτενέστερα στο κεφάλαιο 5. 59 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 202 (κεφ. Towards a philosophy of music). Μια πρώτη μορφή του συγκεκριμένου κεφαλαίου δημοσιέυτηκε το 1966 με τον τίτλο Vers une philosophy de la musique στο περιοδικό Gravesaner Blätter. 60 Η άμεση επέμβαση στο ανθρώπινο DNA είναι πλέον δυνατή χάρη στην πρόσφατη ‘χαρτογράφηση’ του. 35 3) Η αναφορά στην πυθαγόρεια πρακτική της χρήσης της μουσικής για θεραπευτικούς σκοπούς. Το θέμα αυτό αναπτύσσεται εκτενώς στο κεφάλαιο 6.3 ‘Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια Παράδοση, το έργο Serment-Όρκος’. 4) Η τοποθέτηση του Αριστόξενου μαζί με θεωρητικούς τους οποίους θεωρούμε συνεχιστές της πυθαγόρειας παράδοσης, όπως είναι οι Ζαρλίνο και Ραμώ61 καθώς και η πεποίθηση πως ο Αριστόξενος ανήκει στους συγγραφείς που η πυθαγόρεια παράδοση ‘έχει διαποτίσει τη σκέψη τους’. Αυτό βέβαια είναι υποκειμενική θέση του Ξενάκη και είναι άγνωστο τι ακριβώς εννοούσε. Στην πραγματικότητα ο Αριστόξενος είναι ο αντίποδας της πυθαγορικής σκέψης με πλήρως διαφορετική θέση γύρω από τις περιγραφές των μουσικών φαινομένων. 5) Η αναγνώριση πως η πυθαγόρεια παράδοση έχει διαποτίσει τη δυτική σκέψη. 6) Η βεβαίωση του Ξενάκη πως ‘είμαστε όλοι πυθαγόρειοι’ στη γραμμή του Bertrand Russell ο οποίος το 1924 ανέφερε πως ‘το πιο περίεργο πράγμα με τη σύγχρονη επιστήμη είναι η επιστροφή της στον πυθαγορισμό’. Τα σημεία 4, 5 και 6 είναι πολύ σημαντικά ως θέση για το σκοπό αυτής της διατριβής. Ο Ξενάκης στο συγκεκριμένο απόσπασμα δέχεται τις πυθαγόρειες επιρροές σε σημαντικούς θεωρητικούς της μουσικής αλλά και σε ολόκληρη τη δυτική σκέψη, δέχεται ουσιαστικά τη συνέχιση της πυθαγόρειας σκέψης και παράδοσης μέχρι και τις μέρες μας, αλλά κυρίως εκφράζει την άποψη πως είμαστε όλοι πυθαγόρειοι. Η θέση αυτή δείχνει πως – τουλάχιστον μέχρι το 196662 – ο ίδιος ο Ξενάκης θεωρεί τον εαυτό του συνεχιστή της πυθαγόρειας παράδοσης. Σχετική με αυτό το θέμα είναι και η επόμενη αναφορά, η οποία προέρχεται από το ίδιο άρθρο: 4. Μετά τις αποτυχίες του 19ου αιώνα, η επιστημονική σκέψη έγινε περισσότερο σκεπτικιστική. Αυτό το γεγονός της επέτρεψε να προσαρμοστεί και να αναπτυχθεί στο μέγιστο δυνατόν. Έχουμε 61 Βλ. κεφ. 1.1. Επεξήγηση του όρου πυθαγόρεια παράδοση. 62 Χρονολογία που γράφτηκε το αρχικό άρθρο του Ξενάκη. 36 εμπιστοσύνη σε νέες θεωρίες μα τις απορρίπτουμε για πιο επαρκής θεωρίες... Στην πραγματικότητα, αυτή η συμπεριφορά δείχνει μια οπισθοχώρηση. Να γιατί σήμερα ο πυθαγορισμός είναι σχετικός με όλα τα πεδία, συμπεριλαμβανομένου και αυτού των τεχνών.63 Αναφορά Ξενάκη 4 Ο Ξενάκης σε ακόμα μια αναφορά κάνει σαφές πως θεωρεί την πυθαγόρεια παράδοση ζωντανή και σημαντική στη ζωή και τη σκέψη του σύγχρονου ανθρώπου, ενώ κάνει και τη σύνδεση του πυθαγορισμού με το πεδίο των σύγχρονων τεχνών. 5. Ερ.: Ο Teilhard de Chardin εξέφρασε την ελπίδα πως ‘θα έρθει μια εποχή στην οποία θα απασχολεί τον άνθρωπο η γνώση και όχι η απόκτηση αγαθών’. Ξεν. .: Η μουσική είναι ένα βασικό εργαλείο ώστε να μπορέσει να πραγματοποιηθεί αυτή η ελπίδα. Ο πυθαγορισμός γεννήθηκε από τη μουσική. Ο Πυθαγόρας δημιούργησε την αριθμητική, τη λατρεία των αριθμών, βασισμένος σε μουσικά θεμέλια. Αυτό είναι εκπληκτικό, είναι Ορφικό. Στον Ορφισμό η μουσική λειτουργεί ως απελευθερωτής της ψυχής στην προσπάθεια να ξεφύγει από το συνεχή κύκλο των μετενσαρκώσεων. Αν κάποιος θέλει να γεννηθεί σε ένα ανώτερο επίπεδο πρέπει να προσέξει τη ψυχή του. Αυτό υπάρχει επίσης στον Όμηρο αλλά είναι μια Ορφική διδασκαλία. Είναι λοιπόν για θρησκευτικούς λόγους που ο Πυθαγόρας ανακάλυψε τις διαδικασίες μέσα από τις οποίες δημιουργείται η 63 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 204. 37 μουσική και μετά τις σχέσεις μεταξύ του μήκους των χορδών με τα τονικά ύψη τις οποίες ακολούθησε ο συσχετισμός μεταξύ ήχων και αριθμών. Επίσης, επειδή η γεωμετρία γεννήθηκε την ίδια περίοδο, ο Πυθαγόρας ενδιαφέρθηκε προσωπικά για αυτή. Προσθέτοντας την αριθμητική σε αυτή έθεσε τα θεμέλια των μοντέρνων μαθηματικών, μπόρεσε να δημιουργήσει τη θεωρία της μουσικής των σφαιρών, της αρμονίας των σφαιρών η οποία επέζησε μέχρι και τον Κέπλερ – οι ανακαλύψεις του Κέπλερ δεν θα γίνονταν ποτέ χωρίς την συμβολή του Πυθαγόρα. Στην αρχαιότητα η μουσική ήταν πολύ απλά ένα παρακλάδι των μαθηματικών. Ο Ευκλείδης έγραψε ένα βιβλίο που ονομάζετε Αρμονικά,64 στο οποίο ασχολείται με τη μουσική σε θεωρητικό επίπεδο….65 Αναφορά Ξενάκη αρ. 5 Η αναφορά 5 είναι ενδεικτική του μεγέθους της επιρροής της πυθαγόρειας σχολής στη σκέψη του Ξενάκη αλλά και της εκτίμησης που ο ίδιος έτρεφε προς τους πυθαγορείους. Η αρχική ερώτηση αφορά μια πανανθρώπινη ελπίδα – την απόκτηση γνώσεων και όχι υλικών αγαθών από όλη την ανθρωπότητα. Ο Ξενάκης επιλέγει να φέρει ως παράδειγμα την πυθαγόρεια σχολή και τις διδασκαλίες που αναπτύχθηκαν μέσα από τη μουσική. Αναφέρεται στο δόγμα της μετενσάρκωσης λέγοντας ξανά πως το θεωρεί Ορφική διδασκαλία. Επίσης, ο Ξενάκης κάνει ένα απολογισμό των βασικών διδασκαλιών της πυθαγόρειας σχολής – αριθμητική, γεωμετρία, λατρεία των αριθμών, θεωρία της αρμονίας των σφαιρών66 – θεωρώντας πως όλες γεννήθηκαν μέσα από τη μουσική. Παρόλο που ο Ξενάκης δεν αναφέρει κάτι σχετικό, θεωρώ πιθανόν πως έναυσμα της συγκεκριμένης απάντησης είναι η γνώση και ο θαυμασμός του Ξενάκη προς την αρχή της κοινοκτημοσύνης που υπήρχε στην αρχική πυθαγόρεια κοινότητα, θεωρώντας ίσως 64 Ο Ξενάκης πιθανότατα εννοεί το έργο Εισαγωγή Αρμονική στο οποίο εμφανιζόταν ως συγγραφέας ο Ευκλείδης σε χειρόγραφα από τον 12ο ως τον 15ο αι. μ.Χ. Το έργο πλέον αποδίδεται στον Κλεονείδη και όχι στον Ευκλείδη. 65 Mario Bois, Iannis Xenakis the man and his music, a conversation with the composer and a description of his works, Boosey & Hawkes, Λονδίνο 1967. 66 Για εκτενέστερη ανάλυση της συγκεκριμένης πυθαγόρειας διδασκαλίας βλ. κεφάλαιο 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 38 ιδεώδες το γεγονός πως οι πυθαγόριοι έδιναν τα υλικά αγαθά τους προς κοινή χρήση με ουσιαστικό αντάλλαγμα τη μύησή τους στην πυθαγόρεια κοινότητα και την απόκτηση της πυθαγόρειας γνώσης και διδασκαλίας. Επίσης, ο Ξενάκης αναφέρει ξανά πως θεωρεί τον Πυθαγόρα ως αυτόν που έθεσε τα θεμέλια των μοντέρνων μαθηματικών, φέρνοντας ως παράδειγμα τη θεωρία της αρμονίας των σφαιρών και την επιρροή της στις ανακαλύψεις του Γερμανού αστρονόμου Γιόχαν Κέπλερ (1571-1630).67 Η συγκεκριμένη αναφορά είναι ακόμα ένα παράδειγμα πως ο Ξενάκης πιστεύει στη συνέχιση της πυθαγόρειας παράδοσης και της επιρροής της στην επιστημονική σκέψη. 6. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν κάποια ερωτήματα που πρέπει να μας απασχολήσουν: 1. Τι συνέπειες έχει η γνώση του Πυθαγόρειου-Παρμενίδειου πεδίου στη μουσική σύνθεση; 2. Με ποιους τρόπους; Στις οποίες η απάντηση είναι: 1. Η γνώση του τι είναι μας οδηγεί στην ανακατασκευή όσο το δυνατόν εκ του μηδενός, των ιδεών που είναι βασικές για τη μουσική σύνθεση, αλλά και πάνω από όλα της απόρριψης κάθε ιδέας που δεν μπορεί να υπαχθεί σε έλεγχο. 2. Η ανακατασκευή θα πραγματοποιηθεί με μοντέρνες αξιωματικές μεθόδους.68 Αναφορά Ξενάκη αρ. 6 Το απόσπασμα ανήκει στο άρθρο Προς μια φιλοσοφία της μουσικής69 όπως και οι αναφορές 2, 3 και 4. Αναφέραμε και πιο πριν την αναφορά του Ξενάκη στην πυθαγόρεια 67 Ο Κέπλερ στο έργο του ‘Harmonice Mundi’ υποστήριξε ένα αστρολογικό σύστημα βασισμένος στην Πυθαγόρεια θεωρία της αρμονίας των σφαιρών. Βλ. Godwin Joscelyn, The Harmony of the spheres: the Pythagorean tradition in Music, Inner tradition international, United States 1993 σελ 221-235. 68 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 207. 69 Το άρθρο δημοσιέυτηκε για πρώτη φορά στο περιοδικό Gravesaner Blätter No29 (1965-66) με τον τίτλο Zu einer Philsophie der Music. Το 1968 κυκλοφόρησε στο Revue d’ esthétique με τον τίτλο Vers un philosophie de la musicque. Αναθεωρήθηκε και δημοσιεύτηκε το 1993 ως το 7ο κεφάλαιο του βιβλίου Formalized Music, thought and mathematics in Music, με τον τίτλο Towards to a philosophy of music. 39 διδασκαλία της μετενσάρκωσης η οποία εξυπηρετεί ως παράδειγμα της αναζήτησης του ελέγχου ως ιδανικού. Στο παραπάνω απόσπασμα ο Ξενάκης μεταφέρει τη γνώση του πάνω στις σχολές του Πυθαγόρα και του Παρμενίδη στο πεδίο που τον ενδιαφέρει, τη μουσική σύνθεση. Οι συνέπειες αυτής της γνώσης στη μουσική σύνθεση – κατά τον Ξενάκη - είναι δύο: η κατασκευή εκ του μηδενός των ιδεών που είναι βασικές για τη μουσική σύνθεση και η απόρριψη κάθε ιδέας που δεν υπάγεται σε έλεγχο. Ο Ξενάκης στη συνέχεια του άρθρου αναπτύσσει μερικές από τις βασικές ιδέες που χρησιμοποίησε στα έργα του όπως η θεωρία κοσκίνων, η θεωρία ομάδων και οι εντός και εκτός-χρόνου δομές. Οι ιδέες αυτές φαίνεται να πλησιάζουν όσο το δυνατόν περισσότερο στην ιδεώδες ‘εκ του μηδενός κατασκευή’ παρόλο που ο Ξενάκης γνωρίζει πως μια σωστή πραγματοποίηση αυτής της ιδέας θα προϋπέθεται την απόρριψη κάθε προηγούμενης γνώσης στο πεδίο της μουσικής σύνθεσης. Είναι σημαντικό να τονίσουμε πως ο Ξενάκης συνδέει αυτές τις ιδέες με τη γνώση της πυθαγόρειας διδασκαλίας και τη χρησιμοποιεί ως αφετηρία. Η ιδέα του ελέγχου - στη συγκεκριμένη περίπτωση πρέπει να μιλούμε για έλεγχο των μουσικών παραμέτρων – προέρχεται όπως είδαμε, από την πυθαγόρεια διδασκαλία των μετενσαρκώσεων και παίζει σημαντικό ρόλο στη σκέψη του Ξενάκη.70 7. Στην πραγματικότητα η διαμόρφωση και η αξιωματικοποίηση αποτελούν έναν διαδικαστικό οδηγό, που ταιριάζει καλύτερα στη σύγχρονη σκέψη. Επιτρέπουν, για αρχή, την τοποθέτηση της ηχητικής τέχνης σε ένα πιο καθολικό πλάνο. Ακόμα μια φορά μπορεί να εξεταστεί στο ίδιο επίπεδο με τα αστέρια, τους αριθμούς, και τον πλούτο του ανθρώπινου εγκεφάλου, όπως ήταν στις μεγάλες περιόδους των αρχαίων πολιτισμών. Οι κινήσεις των ήχων που προκαλούν κινήσεις σε μας σε συμφωνία με αυτούς "δίνουν μια κοινή ευχαρίστηση για 70 Βλ. κεφάλαιο 3 ‘Μουσική και Μαθηματικά’ για το ρόλο της ιδέας του ελέγχου στην εισαγωγή και χρησιμοποίηση μαθηματικών διαδικασιών στη μουσική σύνθεση από τον Ξενάκη. 40 εκείνους που δεν ξέρουν πώς να διαλογιστούν και για εκείνους που ξέρουν, μια αιτιολογημένη χαρά μέσω της μίμησης της θείας αρμονίας (Πλάτωνας, Τίμαιος)71 Αναφορά Ξενάκη αρ. 7 Ο Ξενάκης σε αυτό το απόσπασμα τοποθετεί τη δουλειά του σε ένα παγκόσμιο πλάνο, αναφέροντας μια από τις βασικές του αναζητήσεις, αυτή της ‘παγκόσμιας μουσικής’72 Η σύνδεσή του με τον Τίμαιο δείχνει για ακόμα μια φορά πως ο Πλάτωνας και το συγκεκριμένο – πυθαγόρειο – έργο αποτελεί πηγή έμπνευσης. Η αναφορά στη ‘θεία αρμονία’73 είναι ένα ακόμα σημείο σύνδεσης αυτής της αναζήτησης με την πυθαγόρεια παράδοση. 8. ‘...Ανακάλυψα τον Πλάτωνα και διάβασα σχεδόν όλους τους διαλόγους – την Πολιτεία, το Συμπόσιο, και τους μικρότερους επίσης...’74 Αναφορά Ξενάκη αρ. 8 Η συγκεκριμένη αναφορά από τις δύο συνεντεύξεις του Ξενάκη στον Vargas έχει παρουσιαστεί ξανά75 και κρίνεται εξαιρετικά σημαντική γιατί είναι η μοναδική αναφορά σε αρχαίο συγγραφέα που ο Ξενάκης θεωρεί πως γνώριζε το έργο του σχεδόν στο σύνολό του. Η επιρροή του έργου του Πλάτωνα στη σκέψη του Ξενάκη είναι καταλυτική και αυτό φαίνεται από το γεγονός πως ο Πλάτωνας αναφέρεται περισσότερες φορές από οποιονδήποτε άλλο αρχαίο συγγραφέα στα γραπτά και στις συνεντεύξεις του Ξενάκη. Στα γραπτά του Ξενάκη υπάρχουν 71 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 179. 72 Βλ. Κεφάλαιο 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 73 Η αρμονία των σφαιρών, μια από τις πιο γνωστές πυθαγόρειες διδασκαλίες. Βλ. Κεφάλαιο 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 74 Varga Balint Andras, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber , London 1996, σελ. 15. 75 βλ. κεφ. 1.2 ‘Η πυθαγόρεια παράδοση στον Πλάτωνα’. 41 επίσης αναφορές σε συγκεκριμένα έργα του Πλάτωνα – όπως είναι η Πολιτεία, το Συμπόσιο παραπάνω, αλλά και αναφορές στον Τίμαιο76 και τα Πολιτικά.77 Στην ίδια συνέντευξη ο Ξενάκης αναφέρει αρκετές φορές πως μελέτησε τα έργα του Πλάτωνα (σελ. 12, 49, 164). 9. Ερ: Τι είναι αυτό που αγαπήσατε περισσότερο; Ξενάκης: Την αρχαία Ελλάδα ... Τα διαβάσματά μου, πάλι, για την αρχαία Ελλάδα και τις ιδέες της. Αυτό τον κόσμο που χάθηκε. Έχω καιρό να ξαναπιάσω στα χέρια μου τα βιβλία του Πλάτωνα και άλλων προγενεστέρων του συγγραφέων, όμως η σκέψη τους είναι βασική, πρωταρχική και μόνιμη έμπνευσή μου. Σε ο,τιδήποτε και να κάνω, είναι πάντα μαζί μου...’78 Αναφορά Ξενάκη αρ. 9 Στο συγκεκριμένο απόσπασμα ο Ξενάκης με τον πιο κατηγορηματικό τρόπο υποστηρίζει και δέχεται την επιρροή που άσκησε πάνω του ο Αρχαίος Ελληνικός κόσμος. Για ακόμα μια φορά, το όνομα του Πλάτωνα έχει εξέχουσα θέση. 10. Έτσι, είμαστε μπροστά σε μια προσπάθεια, όσο αντικειμενική γίνεται, να δημιουργήσουμε μια αυτοματοποιημένη τέχνη χωρίς καμιά ανθρώπινη παρέμβαση εκτός από την αρχή μόνο για δώσει την αρχική ώθηση, όπως στην περίπτωση του Δημιουργού στα Πολιτικά του Πλάτωνα ή 76 Αναφορά Ξενάκη αρ. 1. 77 Αναφορά Ξενάκη αρ. 10. 78 Τσανάκας Χρίστος, Iannis Xenakis, Η μουσική των άστρων, futura, Αθήνα 2001, σελ. 67. 42 του Γιαχβέ στην Παλαιά Διαθήκη ή ακόμα και του Κενού στη Θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης.79 Αναφορά Ξενάκη αρ. 10 Μια ‘περίεργη’ αναφορά αν υπολογίσουμε πως ο Ξενάκης είχε μείνει μακριά από θρησκευτικές αναζητήσεις σε όλη τη διάρκεια της ζωής του. Η σύνδεση της προσπάθειας δημιουργίας μιας αυτοποιημένης τέχνης80 ειδικά με την περίπτωση του Δημιουργού στο έργο του Πλάτωνα Πολιτικά δείχνει αφενός της γνώση του Ξενάκη και αφετέρου το μέγεθος της επιρροής αυτής της γνώσης στη δημιουργική σκέψη του. 11. Ας επιστρέψουμε στην έννοια του χρόνου ως διάρκεια. Φαίνεται πως το θεώρημα των CPT, ακόμη και μετά την πειραματική απόδειξη των Γιανγκ και Λι που κατάργησε τη συμμετρία της ισοτιμίας, ισχύει πάντοτε για τις συμμετρίες του ηλεκτρονίου και του χρόνου που δεν μπόρεσαν να ματαιωθούν πλήρως. Αυτό ακόμη και αν το ‘βέλους του χρόνου’ μοιάζει να είναι, σε ορισμένες αδύναμες αλληλεπιδράσεις των μορίων, μη αντιστρέψιμο. Υπάρχει επίσης αυτή η ποιητική ερμηνεία του Φέινμαν η οποία λέει ότι κατά τη σύγκρουση ενός ποζιτρονίου και ενός ηλεκτρονίου δεν υπάρχει στην πραγματικότητα παρά μόνο ένα ηλεκτρόνιο αντί τριών, καθώς το ποζιτρόνιο δεν είναι τίποτε άλλο από τη χρονική αντιστροφή του πρώτου ηλεκτρονίου. Ας μην ξεχνάμε επίσης τον αντίστροφο χρόνο στα Πολιτικά του Πλάτωνα ή στη μελλοντική συστολή του 79 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 295. 80 Βλ. Σχετικά στην ανάλυση του προγράμματος μουσικής σύνθεσης ST, κεφ. 3 ‘Μουσική και Μαθηματικά’. 43 σύμπαντος, εντυπωσιακά οράματα.81 Αναφορά Ξενάκη αρ. 11 12. Ερ. Δώσατε διαλέξεις στο Darmstadt το 1972. Από όσο ξέρω, οι ακροατές σας δυσκολεύονταν να βγάλουν νόημα από όσα λέγατε. Απ. Φυσικά! Αλλά αρκετοί από αυτούς έδειχναν γνήσιο ενδιαφέρον. Περίπου εικοσιπέντε με τριάντα άτομα έρχονταν κάθε φορά. Θα σας πω μια ιστορία για αυτό. Αναφέρεται στον Πλάτωνα όταν ήταν γέρος και δεν μπορούσε πια να δει καλά. Σε μια περίπτωση μιλούσε για πάρα πολλή ώρα και ένας υπηρέτης του είπε πως οι μαθητές του έφυγαν όλοι εκτός από ένα. Ήταν κουρασμένοι και δυσκολεύονταν να τον παρακολουθήσουν, για αυτό επέστρεψαν στα σπίτια τους. Ο Πλάτωνας ρώτησε: ποιος είναι αυτός που έχει μείνει; Ο υπηρέτης του απάντησε: αυτός που έρχεται κάθε φορά. Το όνομά του είναι Αριστοτέλης. Ο Πλάτωνας απάντησε: αφού είναι αυτός, θα συνεχίσω.82 Αναφορά Ξενάκη αρ. 12 Οι αναφορές αρ. 11 και αρ. 12 εντάσσονται στην ίδια κατηγορία με τις αναφορές αρ. 8, 9, 10 και δείχνουν το μέγεθος της επιρροής του Πλάτωνα στο έργο και τη σκέψη του Ξενάκη. 81 Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ 220. 82 Varga Balint Andras, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber , London 1996, σελ. 125. 44 13. Έχω συνδέσει τη πέλογκ με την Αρχαία Ευρωπαϊκή παράδοση του τετραχόρδου – με τον Αριστόξενο και τον Ευκλείδη που και οι δύο θεωρούσαν την καθαρή τέταρτη το πιο σημαντικό συστατικό της κλίμακας’.83 Αναφορά Ξενάκη αρ. 13 Οι αναφορές στον ίδιο τον Ευκλείδη είναι ελάχιστες ενώ δεν υπάρχει καμιά αναφορά του Ξενάκη στο πιο σημαντικό μουσικό έργο του Ευκλείδη, την Κατατομή Κανόνος παρόλο που αναφέρεται μια φορά το άλλο μουσικό έργο του Ευκλείδη που σώζεται, η Αρμονική Εισαγωγή84. Το θέμα της καθαρής τετάρτης που αναφέρεται εδώ θα αναλύσουμε σε επόμενο κεφάλαιο.85 14. Επίσης, φαίνεται πως θεωρητικοί όπως ο Αριστείδης Κουιντιλιανός και ο Κλαύδιος Πτολεμαίος είχαν πολύ λίγες μουσικές γνώσεις.86 Αναφορά Ξενάκη αρ. 14 Η μοναδική αναφορά του Ξενάκη σχετικά με τον Αριστείδη Κουιντιλιανό και τον Πτολεμαίο Κλαύδιο δείχνει πως ο ίδιος γνώριζε καταρχήν το έργο τους αλλά η εκτίμησή του είναι πως οι δύο συγκεκριμένοι συγγραφείς δεν έχουν αρκετές μουσικές γνώσεις. Ο Ξενάκης δεν διευκρινίζει τους λόγους που κάνει αυτή την αναφορά αλλά είναι αρκετά πιθανόν να θεωρεί πως οι δύο αυτοί συγγραφείς συγκεντρώνουν στο έργο τους περισσότερο μεταφυσικές αντί μουσικές γνώσεις. 83 Varga Balint Andras, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber , London 1996, σελ. 144-145. 84 Βλ. Αναφορά Ξενάκη 5. 85 Βλ. Κεφάλαιο 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το Πυθαγόρειο πρότυπο’. 86 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 185. 45 2.2. Συμπεράσματα Ο Ξενάκης - κατά δική του παραδοχή - φαίνεται πως έχει σαν έμπνευση και οδηγό την Αρχαία Ελλάδα. Ο συγγραφέας που τον επηρέασε περισσότερο είναι αναμφισβήτητα ο Πλάτωνας, κάνοντας πάρα πολλές αναφορές στον ίδιο αλλά και σε αρκετά έργα του. Σε κανένα σημείο όμως δεν αναφέρει πως είχε γνώση της σχέσης Πλάτωνα – Πυθαγόρα. Το πιο πιθανό είναι πως ο Ξενάκης δεν είχε συνειδητή γνώση των πυθαγόρειων στοιχείων που άντλησε μέσα από τα έργα του Πλάτωνα. Υπάρχουν ελάχιστες αναφορές στον Αριστοτέλη κάτι που δείχνει πως πιθανότατα ο Ξενάκης δεν είχε ασχοληθεί ιδιαίτερα με το έργο του. Υπάρχουν αρκετές αναφορές σε πυθαγόρειους συγγραφείς και πυθαγόρειες διδασκαλίες, πράγμα που δείχνει πως ο Ξενάκης γνώριζε αρκετά καλά τη σχολή του Πυθαγόρα. Υπάρχουν αναφορές στη θεωρία των αριθμών, την αρμονία των σφαιρών, τη μετενσάρκωση και τη θεραπευτική χρήση της μουσικής. Σχετικά με τη μουσική των πυθαγορείων ο Ξενάκης κάνει μια μεγάλη αναφορά στο άρθρο του Vers un Metamusique η οποία δεν παρατίθεται εδώ μια και αναλύεται σε μεταγενέστερο κεφάλαιο.87 Στο ίδιο άρθρο, ο Ξενάκης κάνει μια διεξοδική αναφορά στα διαστήματα που χρησιμοποιούσαν οι Πυθαγόρειοι, καθώς και στις μεθόδους προσδιορισμού τους, πράγμα που επίσης δείχνει τη γνώση του πάνω στις πυθαγόρειες διδασκαλίες περί μουσικής. Ο ίδιος ο Ξενάκης δηλώνει πυθαγόρειος ενώ αρκετοί αναφέρονται σε αυτόν ως ‘ο σύγχρονος Πυθαγόρας’. Θα δούμε σε επόμενα κεφάλαια πως μέσα από τα έργα του κάνει χρήση μαθηματικών και φιλοσοφικών ιδεών που σχετίζονται άμεσα με την πυθαγόρεια παράδοση και τα οποία πείθουν πως ο ισχυρισμός του Ξενάκη δεν μπορεί παρά να αληθεύει. 87 Βλ. Κεφάλαιο 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 46 Κεφάλαιο 3: Μουσική και μαθηματικά Μέρος 3.1. Μαθηματικά και μουσική στην πυθαγόρεια παράδοση Είναι αρκετά διαδεδομένη η πεποίθηση πως τα μαθηματικά και η μουσική έχουν άμεση σχέση, πεποίθηση που είναι διαδεδομένη από την αρχαιότητα. Οι πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που εξέφρασαν και ερεύνησαν τους τρόπους με τους οποίους οι δύο επιστήμες διασταυρώνονται. Ο Ξενάκης είναι ο συνθέτης ο οποίος συνδέθηκε – περισσότερο από οποιονδήποτε άλλο συνθέτη – με τη χρήση μαθηματικών διαδικασιών στη διαδικασία της σύνθεσης, είναι μάλιστα πεποίθησή μου πως ο χαρακτηρισμός ‘πυθαγόρειος’ δόθηκε στον Ξενάκη κυρίως για αυτό το λόγο. Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου θα δούμε τη χρήση των μαθηματικών από τους πυθαγορείους και τους τρόπους που αυτά διασταυρώνονται με το έργο του Ξενάκη. 3.1.1. Λόγος και Αναλογίες στα μαθηματικά των πυθαγορείων Από τα πιο βασικά μέρη των πυθαγόρειων μαθηματικών που θα εξετάσουμε είναι η θεωρία των αναλογιών και η σημασία της στο μουσικό σύστημα των πυθαγορείων. Οι αναλογία (ανά - λόγος), όπως ορίζονται από τα μαθηματικά, είναι η σχέση μεταξύ δύο λόγων. Ο Νικόμαχος προσδιορίζει το ‘λόγο’ ως τη ‘σχέση μεταξύ δύο όρων’88, ο Θέων προσδιορίζει το ‘λόγο’ ως ‘τη σχέση κάποιου είδους μεταξύ δύο όρων του ίδιου γένους’. 89 Είναι σαφές πως ο Νικόμαχος – πιθανότατα επηρεασμένος και από την εφαρμογή των αναλογιών στη 88 Νικόμαχος, Αριθμητικά ii.21.3 . 89 Θέων Σμυρναίος, Expositio 73.16-17 : ‘λογος δε εστίν ο κατ’ ανάλογων δυοίν όρων ομογενών η προς αλλήλους [αυτών] ποια σχέσης’. 47 μουσική – δίνει ένα πολύ γενικό ορισμό.90 Στα επόμενα παραδείγματα θα χρησιμοποιήσουμε σχέσεις μεταξύ φυσικών αριθμών.91 Οι λόγοι χωρίζονται σε ίσους και άνισους. Ένας ίσος λόγος είναι της μορφής x : x, ενώ υπάρχουν 5 είδη άνισων λόγων με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: 1. Στον πολλαπλάσιο λόγο ο πρώτος αριθμός περιέχει τον άλλο περισσότερες από μια φορές και είναι της μορφής nx : x. Στην αντίθετη περίπτωση, αυτή του υποπολλαπλασίου λόγου, ο πρώτος αριθμός περιέχεται στον άλλο περισσότερες από μια φορές και είναι της μορφής x : nx. 2. Στον επιμόριο λόγο ο πρώτος αριθμός περιέχει όλο τον άλλο, συν ένα μέρος του και - όταν οι όροι του απλοποιηθούν - είναι της μορφής (x + 1) : x . Πρέπει βέβαια να τονίσουμε πως δεν είναι όλοι οι λόγοι αυτής της μορφής επιμόριοι.92 Στην αντίθετη περίπτωση που είναι οι υποεπιμόριοι λόγοι, ο πρώτος αριθμός περιέχεται στον δεύτερο μαζί με ένα μέρος τους. 3. Στον επιμερή λόγο, ο πρώτος αριθμός περιέχει όλο το δεύτερο συν κάποια μέρη του – τα οποία πρέπει να είναι περισσότερα από ένα. Η μορφή του είναι (x + n) : x όπου x  n  2 . Στην αντίθετη περίπτωση, του υποεπιμερή λόγου, ο πρώτος αριθμός περιέχεται από τον δεύτερο ολόκληρος συν κάποια μέρη του. 4. Στον πολλαπλασιοεπιμόριο λόγο ο πρώτος αριθμός περιέχει περισσότερες από μια φορές το δεύτερο συν ένα μέρος του και όταν απλοποιηθεί είναι της μορφής (2x + 1) : x όπου x  1 . Στην αντίθετη περίπτωση, αυτή του υποπολλαπλασιεπιμόριου λόγου, ο πρώτος αριθμός περιέχεται από το δεύτερο περισσότερες από μια φορές συν ένα μέρος του και είναι της μορφής x : (2x + 1) όπου x  1 . 5. Στον πολλαπλασιοεπιμερή λόγο ο πρώτος αριθμός περιέχει ολόκληρο το δεύτερο περισσότερες από μια φορές συν περισσότερα από ένα μέρη του και είναι της μορφής 90 Barbera C. Andre, The Persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought, Ph. D. diss., University of North Carolina at Chapel Hill, 1980 σελ. 42-43. 91 Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά βλ. και Σπυρίδης Χ. Χαράλαμπος, «Πυθαγόρειες αναλογικότητες», οι γεννήτορες της αρχαίας Ελληνικής μουσικής, Επετηρίς της Φιλοσοφικής Σχολής, Περίοδος Β΄, τόμος ΛΑ΄, σελ. 215 -231. Επίσης Barbara C. Andre, ο.π., σελ. 44 – 46. 92 Εξαίρεση αποτελεί ο λόγος 2:1 ο οποίος παρόλο που είναι τη μορφής (x+1):x , θεωρείται πολλαπλάσιος, μια και ο πρώτος όρος περιέχει ολόκληρο το δεύτερο δύο φορές. 48 (mx + n) : x όπου x  n  2 και m  2 . Στην αντίθετη περίπτωση, αυτή του υποπολλαπλασιοεπιμερή λόγου, ο πρώτος αριθμός περιέχεται από το δεύτερο περισσότερες από μια φορές ολόκληρος συν περισσότερα από ένα μέρη του. Σύμφωνα με τον Νικόμαχο αναλογία είναι ‘ο συνδυασμός δύο ή περισσότερων λόγων’ και αναφέρει δέκα πυθαγόρειες αναλογίες. Οι πρώτες τρεις – η Αριθμητική, η Γεωμετρική και η Αρμονική αναλογία – ήταν γνωστές στους αρχαίους συμπεριλαμβανομένων του Πυθαγόρα, του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Οι επόμενες τρεις αναφέρονται απλά ως τέταρτη, πέμπτη και έκτη αναλογία ενώ οι τέσσερις τελευταίες αναφέρονται από το Νικόμαχο με το σχόλιο πως δεν παρουσιάζονται στα έργα των αρχαίων μαθηματικών. Κατά τον Ιάμβλιχο τις πρώτες τρεις αναλογίες ανακάλυψαν οι μαθηματικοί Αρχύτας και Ίππασος ενώ τις επόμενες τέσσερις ανακάλυψαν οι πυθαγόρειοι Μυωνίδης και Ευφράνωρ.93 Αναλυτικά οι δέκα αναλογίες που αναφέρει ο Νικόμαχος είναι: Ονομασία Ορισμός Παράδειγμα (x > y > z) 1. Αριθμητική x− y = y−z 3 2 1 2. Γεωμετρική x y = y z 4 2 1 3. Αρμονική x ( x − y) = z ( y − z) 6 3 2 4. Τέταρτη x ( y − z) 6 5 3 z 93 = ( x − y) 5. Πέμπτη y ( y − z) = z ( x − z) 5 4 2 6. Έκτη x ( y − z) = y ( x − y) 6 4 1 Ιάμβλιχος, Εις. Νικ. Από Προσωκρατικοί δέκατος τρίτος τόμος, σελ. 89. 49 7. x ( x − z) = z ( y − z) 9 8 6 8. x ( x − z) 9 7 6 z = ( x − y) 9. y ( x − z) = z ( y − z) 7 6 4 10. 94 y ( x − z) = z ( x − y) 3 2 1 3.1.2. Μέσοι Στενά συνδεδεμένο με τις αναλογίες είναι το ζήτημα των μέσων. Μέσο καλούμε το αποτέλεσμα που δίνει μια αναλογία εάν λυθεί ως προς το μεσαίο όρο της, δηλαδή ως προς y. Φαίνεται πως οι πυθαγόρειοι χρησιμοποίησαν τους μέσους που προκύπτουν από τις πρώτες τρεις αναλογίες, δίνοντάς τους αντίστοιχα ονόματα, δηλ. αριθμητικός μέσος, γεωμετρικός μέσος και αρμονικός μέσος. Όπως είπαμε, βρίσκουμε ένα μέσο αν λύσουμε μια αναλογία ως προς το μεσαίο όρο της. Άρα: 94 Όπως επισημαίνει ο Χ. Σπυρίδης, η δέκατη αναλογία είναι ουσιαστικά η σειρά Fibonacci. Εκτελώντας τις πράξεις στη δέκατη αναλογία προκύπτει: z( x − z) = y( x − y)  zx − z 2 = yx − y 2  x( y − z ) = y 2 − z 2  ( y − z )( y + z )  ( y − z) x= y+z x= Στη σειρά Fibonacci ο κάθε όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων, με γεννήτορες τους αριθμούς 0 και 1. Βλ. Κεφάλαιο 4 ‘Σειρά Fibonacci και χρυσή τομή στο έργο του Ξενάκη’. 50 1. Αριθμητικός μέσος: x− y = y−z  2y = x + z  y= x+z 2 2. Γεωμετρικός μέσος: x y =  y z y 2 = xz  y= 3. Αρμονικός μέσος: xz x ( x − y)  = z ( y − z) z ( x − y ) = x( y − z )  zx − zy = xy − xz  yx + yz = 2 xz  y= 2 xz x+z Οι αριθμητικοί, γεωμετρικοί και αρμονικοί μέσοι έχουν χρησιμοποιηθεί από τους πυθαγορείους με διάφορους τρόπους. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι η διαίρεση του τετραχόρδου από τον Αρχύτα95 και η διαίρεση του τόνου από το Φιλόλαο. Η μεταφορά της θεωρίας των αναλογιών στη μουσική είναι μια από τις περιπτώσεις της μεταφυσικής σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής που υπήρχε στην πυθαγόρεια σχολή. Η πιο χαρακτηριστική περίπτωση χρησιμοποίησης αναλογίας στη μουσική είναι αυτή της περίφημης αναλογίας 12 : 9 = 8 : 6, μέσα στην οποία υπάρχουν ταυτόχρονα η αριθμητική, η γεωμετρική και η αρμονική αναλογία.96 95 Η διαίρεση του τετραχόρδου από τον Αρχύτα παρουσιάζεται παρακάτω στο υποκεφ. 3.1.3. Μουσική και Μαθηματικά στους πυθαγορείους. 96 Αριθμητική αναλογία : 12 − 9 = 9 − 6 Γεωμετρική αναλογία : 12 9 = 8 6 Αρμονική αναλογία : 12 12 − 8 = 6 8−6 51 Ο Ιάμβλιχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας έφερε αυτή την αναλογία από τη Βαβυλώνα, αλλά ο Νικόμαχος, ο Γαυδέντιος και ο Βοήθειος αναφέρουν τον Πυθαγόρα ως αυτόν που την ανακάλυψε. Στην αναλογία αυτή μπορούν να ανιχνευτούν όλες οι συμφωνίες που δέχονταν οι πυθαγόρειοι. 3.1.3. Μουσική και μαθηματικά στους πυθαγορείους Από τις πρώτες πηγές που διαθέτουμε σχετικά με τα πυθαγόρεια μαθηματικά – δηλαδή τα αποσπάσματα του Φιλολάου και του Αρχύτα - μπορούμε να δούμε την παρουσίαση αρκετών από τα στοιχεία της γεωμετρίας και της αριθμητικής που χρησιμοποιούσαν οι πυθαγόρειοι στη μουσική. Ειδικότερα, βλέπουμε την παρουσίαση της ιδέας πως όλα τα πράγματα είναι αριθμοί και πως όλα είναι οργανωμένα σύμφωνα με τη θεωρία των αριθμών. Επίσης, την άποψη πως τα πάντα συνυπάρχουν αρμονικά μέσα από το θεμελιώδες ζεύγος πέρας-άπειρο. Ο Αρχύτας, τέλος, παρουσιάζει τις πρώτες τρεις αναλογίες που είναι κεντρικές στη μουσική θεωρία καθώς και στην πυθαγόρεια θεωρία των αναλογιών. Κεντρικό ρόλο στην πεποίθηση πως η μουσική είναι στενά συνδεδεμένη με τα μαθηματικά ήταν η ανακάλυψη που, σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο, έκανε ο ίδιος ο Πυθαγόρας πως τα πρώτα σύμφωνα διαστήματα μπορούν να εκφραστούν ως απλοί λόγοι. Είναι γνωστό το περίφημο περιστατικό με τον Πυθαγόρα στο σιδεράδικο κατά το οποίο ανακάλυψε πως τα διαστήματα της ογδόης, πέμπτης και τετάρτης μπορούν να εκφραστούν αντίστοιχα ως οι λόγοι 2:1, 3:2 και 4:3. Πέρα από τα μαθηματικά σφάλματα που υπάρχουν στη διήγηση του Ιάμβλιχου,97 είναι φανερό πως η ανακάλυψη αυτή ήταν μεγάλης σημασίας για τους πυθαγορείους και έδωσε το έναυσμα για τη μελέτη της μουσικής μέσα από τη θεωρία των αριθμών, στην οποία ήταν προφανές πως υπαγόταν. 97 Βλ. Nέστωρ Ταίηλορ, Η αρμονία των πυθαγορείων – η μαθηματική έννοια της αρμονίας στο μουσικό σύστημα των πυθαγορείων, Νεφέλη, Αθήνα 2000, σελ. 32-34. 52 Είναι επίσης λογικό να υποθέσουμε πως η πυθαγόρεια άποψη πως ‘τα πάντα είναι αριθμός’ έχει τις ρίζες της σε αυτή ακριβώς την ανακάλυψη.98 Είναι βέβαια αδύνατο να γνωρίζουμε αν η ανακάλυψη αυτή προηγείται της πεποίθησης πως ‘τα πάντα είναι αριθμοί’ ή αν απλά στους μουσικούς λόγους οι πυθαγόρειοι ανακάλυψαν την απόδειξη μιας ήδη προϋπάρχουσας πεποίθησης. Όμως, απ’ όσα γνωρίζουμε από τον Ιάμβλιχο δεν μας παραδίδεται κανένα άλλο στοιχείο, το οποίο θα μπορούσε να αποδειχτεί πειραματικά, και το οποίο θα μπορούσε να στρέψει την πρώτη πυθαγόρεια κοινότητα προς την πεποίθηση αυτή. Συνεπώς, και πάντα με βάση τα υπάρχοντα στοιχεία, οι περισσότεροι μελετητές των πυθαγορείων συμφωνούν πως μια από τις μεγαλύτερες διδασκαλίες των πυθαγορείων, προήλθε μέσα από τη μελέτη των μουσικών διαστημάτων, θέση που αναφέρεται και από τον ίδιο τον Ξενάκη.99 Όπως είπαμε, η ανακάλυψη πως οι πρώτες συμφωνίες μπορούν να εκφραστούν ως απλοί αριθμητικοί λόγοι, έδωσε το έναυσμα σε ένα πλήθος ερευνητών για περαιτέρω μελέτη της μουσικής μέσω των μαθηματικών. Στη βάση οποιουδήποτε μουσικού συστήματος των πυθαγορείων βρίσκεται ο αριθμός και όχι οι ανθρώπινες αισθήσεις και παρόλο που οι πυθαγόρειοι ποτέ δεν αγνόησαν τα ακουστικά φαινόμενα, τα μαθηματικά έχουν πάντα τον πρώτο λόγο. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα των παραπάνω είναι η διαίρεση του τετραχόρδου στα τρία γένη από τον Αρχύτα. Όπως έχει δείξει ο Andrew Barker,100 η διαίρεση που έχει κάνει ο Αρχύτας και παρουσιάζεται από τον Πτολεμαίο φαίνεται να έχει γίνει με βάση την εφαρμογή αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών μέσων στα 3 βασικά διαστήματα, δηλ. την όγδοη, την πέμπτη και την τέταρτη.101 Οι λόγοι που δίνονται για κάθε γένος σε διάστημα μιας οχτάβας, όπως αυτοί περιγράφονται από τον Πτολεμαίο, είναι: 98 Βλ. κεφάλαιο 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 99 Βλ. Αναφορά Ξενάκη αρ. 3. 100 Andrew Barker, Greek Musical Writings ii, Cambridge University Press, 1989, σελ. 46 – 52. Σχετικά με το θέμα βλ. επίσης Barbera C. Andre, The Persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought, Ph. D. diss, University of North Carolina at Chapel Hil, 1980 και Tannery Paul, Du rôle de la musique grecque, Bibliotheca mathematica 3, 1902. 101 Σχετικά με τις Πυθαγόρειες αναλογίες και τους αριθμητικούς, γεωμετρικούς και αρμονικούς μέσους βλ. κεφ. 3.1. 53 Νήτη διαζευγμένων Παρανήτη διαζευγμένων Τρίτη διαζευγμένων Παραμέση Μέση Λιχανός μέσων Παρυπάτη μέσων Υπάτη μέσων Εναρμόνιο γένος Χρωματικό γένος Διατονικό γένος 5:4 32:27 9:8 36:35 243:224 8:7 28:27 28:27 28:27 9:8 9:8 9:8 5:4 32:27 9:8 36:35 243:224 8:7 28:27 28:27 28:27 Όπως είπαμε τα παραπάνω διαστήματα μπορούν να βρεθούν με τη χρήση των τριών βασικών συμφωνιών, του επόγδοου τόνου και των διαστημάτων που προκύπτουν αν εφαρμόσουμε μέσους στα διαστήματα της πέμπτης και της τετάρτης. Τα διαστήματα που προκύπτουν αν εφαρμόσουμε αριθμητικούς και αρμονικούς μέσους στο διάστημα της πέμπτης (3:2) είναι 5:4 και 6:5, ενώ αντίστοιχα στο διάστημα της τετάρτης είναι 7:6 και 8:7. Τα σταθερά διαστήματα (εστώτες φθόγγοι) για όλα τα γένη είναι: Νήτη διαζευγμένων 4:3 Παραμέση 9:8 Μέση 4:3 Υπάτη μέσων Μια μοναδικότητα της διαίρεσης του Αρχύτα είναι πως ο δεύτερος φθόγγος κάθε τετραχόρδου - δηλ. η παρυπάτη μέσων και η τρίτη διαζευγμένων - απέχει από τον πρώτο φθόγγο κάθε τετραχόρδου - δηλ. την υπάτη μέσων και την παραμέση - ίδια απόσταση σε όλα τα γένη. Η απόσταση αυτή είναι το διάστημα 28:27. Οι κινητοί φθόγγοι κάθε γένους βρίσκονται με τη χρήση των διαστημάτων 9:8, 8:7, 7:6, 6:5 και 5:4 ως εξής: 1. Διατονικό γένος: ο λιχανός απέχει από τη μέση διάστημα 9:8. Το αντίστοιχο διάστημα στο πάνω τετράχορδο, η παρανήτη, απέχει από τη νήτη επίσης διάστημα 9:8. 54 Η παρυπάτη , η οποία όπως είπαμε είναι η ίδια σε όλα τα γένη, απέχει από το λιχανό διάστημα 8:7 και σε αντιστοιχία η τρίτη απέχει από την παρανήτη το ίδιο διάστημα. Η παρυπάτη και η τρίτη έχουν μεταξύ τους διάστημα καθαρής πέμπτης (3:2). Επίσης, η τρίτη απέχει από τη μέση διάστημα 7:6. Οι διαστηματικές σχέσεις της παρυπάτης και της τρίτης ισχύουν και για τα άλλα δύο γένη. 2. Χρωματικό γένος: ο λιχανός απέχει από την υπάτη διάστημα 9:8 και αντίστοιχα η παρανήτη απέχει από την παραμέση το ίδιο διάστημα. Επίσης, ο λιχανός απέχει από την παραμέση διάστημα 4:3 και η (χρωματική) παρανήτη απέχει από το διατονικό λιχανό διάστημα 4:3. 3. Εναρμόνιο γένος: ο λιχανός απέχει από τη μέση διάστημα 5:4 και αντίστοιχα η παρανήτη απέχει από τη νήτη το ίδιο διάστημα. Η παρανήτη απέχει επίσης από τη μέση διάστημα 6:5. Όλα τα παραπάνω επιβεβαιώνουν πως στο διαχωρισμό των τετραχόρδων από τον Αρχύτα, πρωταρχικό ρόλο παίζουν τα μαθηματικά και πως αυτό γίνεται συνειδητά. Μπορούμε να βρούμε αρκετά άλλα παραδείγματα που να στηρίζουν την παραπάνω θέση. Η κατασκευή της πυθαγόρειας κλίμακας και η διαίρεση του επόγδοου τόνου από το Φιλόλαο – έτσι όπως περιγράφεται από το Βοήθιο – είναι μόνο μερικά από αυτά. Σε όλες τις περιπτώσεις γίνεται φανερό πως οι πυθαγόρειοι δεν ενδιαφέρθηκαν για τη μελέτη της μουσικής σαν αυτόνομη επιστήμη, αλλά η μελέτη της έγινε στα πλαίσια της πεποίθησης πως ολόκληρο το σύμπαν διέπεται από μαθηματική τάξη και συνεπώς το ίδιο συμβαίνει με τη μουσική.102 Επομένως, η θέση που θα κρατήσουμε από τα παραπάνω είναι πως οι πυθαγόρειοι δίνουν πρωταρχικό ρόλο στα μαθηματικά και η μελέτη της μουσικής γίνεται υπό το πρίσμα της μαθηματικής τάξης. Σημαντική είναι επίσης η διαπίστωση πως η εισαγωγή των μαθηματικών στη μουσική από τους πυθαγορείους γίνεται συνειδητά. 102 Το θέμα αναλύεται λεπτομερώς στο κεφ. 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 55 Μέρος 3.2. Μουσική και Μαθηματικά στο έργο του Ξενάκη Μουσική Μαθηματικά Διαπιστώνεται η σχέση ανάμεσα στα ύψη και τα μήκη των χορδών. Η μουσική δίνει έτσι μια εκπληκτική ώθηση στη θεωρία των αριθμών και στη γεωμετρία. Η μουσική εφευρίσκει τις ελλιπείς κλίμακες. Ανακάλυψη της θεμελιώδους σημασίας των φυσικών αριθμών και εφεύρεση των θετικών ρητών αριθμών (κλάσματα). Δεν υπάρχει μουσική αντιστοιχία Επινόηση των θετικών άρρητων αριθμών, δηλαδή της τετραγωνικής ρίζας του 2 (Πυθαγόρειο θεώρημα). 300 π.Χ. Εφεύρεση των τονικών ανιόντων, κατιόντων ή ουδέτερων διαστημάτων στην προσθετική γλώσσα που εισήγαγε ο Αριστόξενος ο οποίος εφευρίσκει επίσης, στη θεωρία, μια χρωματική κλίμακα με ίσο συγκερασμό χρησιμοποιώντας ως μονάδα το δωδέκατο του τόνου. Παραλλήλως αναπτύσσεται ο πολλαπλασιαστικός (γεωμετρικός) λόγος των τονικών διαστημάτων των υψών που μεταφράζονται με όρους μήκους των χορδών (Ευκλείδης). Η μουσική θεωρία κάνει έτσι να εμφανιστεί, παραπάνω από δεκαπέντε αιώνες πριν από τη μαθηματική του ανακάλυψη, ο ισομορφισμός μεταξύ λογαρίθμων (μουσικά διαστήματα) και εκθετικών (μήκος χορδών). Προαναγγέλλεται επίσης η θεωρία των ομάδων από τον Αριστόξενο. Τα μαθηματικά δεν αντιδρούν. Η θεωρία των αριθμών κάνει βήμα σημειωτόν στην εφαρμογή της στη μουσική θεωρία και πρακτική και μένει στάσιμη παραπάνω από δεκαπέντε αιώνες παρά την αρχή του απείρου και παρά τον ολοκληρωτικό και διαφορικό λογισμό που έχει διακρίνει ήδη ο Αρχιμήδης. 1000 μ.Χ. Εφεύρεση της χωρικής δισδιάστατης παρουσίασης των υψών σε σχέση με το χρόνο με τη χρήση πενταγράμμου και σημείων (Γκουίντο ντ’ Αρέτσο) τρεις αιώνες πριν από τις συντεταγμένες του Ορέσμ και επτά αιώνες πριν από την εξαιρετική αναλυτική γεωμετρία των Φερμά και Καρτέσιου (1635-1637). Καμία μαθηματική παράλληλος. 500 π.Χ. 56 1500 μ.Χ. Καμία αντίδραση και καμία εξέλιξη των προηγούμενων αρχών. Υιοθέτηση του μηδέν και των αρνητικών αριθμών. Κατασκευή του συνόλου των ρητών. 1600 μ.Χ. Κανένας αντίκτυπος ούτε εξέλιξη των προηγούμενων αρχών. Εφεύρεση των συνόλων των πραγματικών αριθμών και των λογαρίθμων. 1700 μ.Χ. και 1800 μ.Χ. Ανακαλύπτεται εκ νέου, στην πρακτική, η καλώς συγκερασμένη χρωματική κλίμακα (Γ.Σ. Μπαχ). Η μουσική βρίσκεται τώρα σε καθυστέρηση από άποψη βασικών δομών. Αντιθέτως, οι τονικές δομές, η πολυφωνία και η εφεύρεση των μακρομορφών (φούγκα, σονάτα) προηγούνται και προκαλούν την εμφάνιση σπερμάτων αυτού που θα δώσει με κάθε βεβαιότητα, νέα πνοή στη μουσική του σήμερα και του αύριο. Η φούγκα, για παράδειγμα, είναι ένας αφηρημένος αυτοματισμός που χρησιμοποιείται δύο αιώνες πριν από τη γέννηση της αυτοματικής. Με τον ίδιο τρόπο, στην τέχνη της αντίστιξης, οι τέσσερις μετασχηματισμοί της μελωδικής γραμμής συνιστούν υποσυνείδητους χειρισμούς των πεπερασμένων ομάδων (ομάδα του Κλάιν) Η θεωρία των αριθμών προηγείται και δεν έχει ακόμη καμία ισοδύναμη χρονική δομή. Αυτές οι δομές θα εμφανιστούν αργότερα με τους στοχαστικούς μετασχηματισμούς, τη θεωρία των παιγνίων, την αυτοματική κτλ. Εφεύρεση των μιγαδικών αριθμών (Όιλερ, Γκάους), του τετραδικού συστήματος (Χάμιλτον), ορισμός της συνέχειας (Κοσί) και εφεύρεση των δομών των ομάδων (Γκαλουά, Άμπελ) 1900 μ.Χ. Απαλλαγή από τον τονικό κλοιό. Για πρώτη φορά γίνεται δεκτή η ουδετερότητα του χρωματικού συνόλου (Λοκέν, 1895, Χάουερ, Σένμπεργκ). Μη πεπερασμένοι και πέραν του πεπερασμένου αριθμοί (Κάντορ). Ο Πεάνο εφευρίσκει την αξιωματική των φυσικών αριθμών. Η εκπληκτική θεωρία των μέτρων (Λεμπέκ, Μπορέλ, Χάινε). 1920 μ.Χ. Το σειραϊκό σύστημα του Σένμπεργκ τυποποιεί ριζικά και για πρώτη φορά τις μακροδομές. Καμιά εξέλιξη στη θεωρία των αριθμών. Διακοπή της έρευνας, συζητούνται όμως ακόμη παλιές αντιφάσεις της θεωρίας των συνόλων. (Η μουσική θα καλύψει την καθυστέρησή της τα επόμενα χρόνια) 1930 μ.Χ. Επανεισαγωγή μιας ακριβέστερης διαβάθμισης των υψών με τη χρήση τετάρτων, έκτων του τόνου κτλ. Παρότι, πάντοτε, εντός του πλαισίου του τονικού συστήματος (Βισνεγκράντσκι, Χάμπα, Καρίγιο). 1950 μ.Χ. Δεύτερη ριζική τυποποίηση των μακροδομών με μεταθέσεις, τρόπους με περιορισμένα τρανσπόρτα και μη αντιστρέψιμους ρυθμούς (Μεσιάν). 1953 μ.Χ. Εισαγωγή των συνεχών κλιμάκων υψών και χρόνων (χρήση των πραγματικών αριθμών) στον υπολογισμό των χαρακτηριστικών του ήχου ακόμη και εάν, για λόγους ακρόασης και μουσικής ερμηνείας, οι πραγματικοί αριθμοί προσεγγίζονται από ρητούς αριθμούς. Εδώ εντοπίζεται η προσωπική μου συμβολή στο θεωρητικό όσο και στο μουσικό πεδίο˙ στηρίζεται σε διάφορους μαθηματικούς και σε διάφορες δομές όπως η δομή της ομάδας. Όλα αυτά θα παίξουν αργότερα ρόλο στη μακροσύνθεση και στη μικροσύνθεση. 57 1957 μ.Χ. Νέες μουσικές τυποποιήσεις στο επίπεδο των μακροδομών: στοχαστικές ανελίξεις, αλυσίδες του Μάρκοβ, παρότι χρησιμοποιούνται με διαφορετικούς τρόπους (Χίλερ, Ξενάκης)˙ επίσης χρησιμοποίηση του υπολογιστή (Χίλερ) 1960 μ.Χ. Αξιωματική των μουσικών κλιμάκων χάρη στη «θεωρία των κοσκίνων» και στην εισαγωγή των μιγαδικών αριθμών στη μουσική σύνθεση (αυτό είναι επίσης καρπός των εργασιών μου). 1970 μ.Χ. Νέες προτάσεις για τη μικροδομή των ήχων, χάρη στην εισαγωγή της συνεχούς ασυνέχειας με τη βοήθεια νόμων των πιθανοτήτων (random walk, κινήσεις του Μπράουν). Αυτή η συνεχής ασυνέχεια επεκτείνεται στις μακροδομές δίνοντας έτσι μια νέα αρχιτεκτονική όψη στο μακροσκοπικό επίπεδο, για παράδειγμα στην ενόργανη μουσική (και αυτό είναι επίσης καρπός των εργασιών μου) Πίνακας 2 Ο πίνακας 2 μας δίνει τις βασικές χρονολογικές αντιστοιχίες στην εξέλιξη της μουσικής και των μαθηματικών από τον 6ο αι. π.Χ. μέχρι το1970 μ.Χ. και δημοσιεύτηκε από τον Ξενάκη το 1976 στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου του Musique Architecture.103 Ο Ξενάκης κάνει μια αναδρομή στα πιο σημαντικά σημεία εξέλιξης της μουσικής πρακτικής και των μαθηματικών, δίνοντας ο ίδιος ένα σημαντικό στοιχείο για την υποστήριξη του πιο βασικού στόχου αυτής της διατριβής – την ένταξη του Ξενάκη στην πυθαγόρεια παράδοση: Όπως βλέπουμε στον πίνακα 2, ο Ξενάκης ορίζει ως πρώτο σημαντικό σταθμό στη μουσική την ανακάλυψη της σχέσης ανάμεσα στα μουσικά ύψη και στα μήκη των χορδών, ανακάλυψη που όπως είδαμε αποδίδεται στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Επίσης, και στα μαθηματικά οι πρώτες δύο αναφορές που γίνονται, προέρχονται από την πυθαγόρεια παράδοση. Τα τελευταία τέσσερα σημεία που αφορούν την μουσική εξέλιξη προέρχονται από το έργο του Ξενάκη. Ο ίδιος ο Ξενάκης αναφέρει τα σημεία που ο ίδιος θεωρεί ως πιο σημαντικά στοιχεία της δουλειάς του – μέχρι το 1976 – αλλά ταυτόχρονα τοποθετεί τον εαυτό του πλάι στους Μεσσιάν, Σένμπεργκ, Γ.Σ. Μπαχ και Γκουίντο Ντ’ Αρέτσο στον πίνακα της μουσικής εξέλιξης που όμως αφετηρία του έχει τον Πυθαγόρα δείχνοντας ο ίδιος την ιστορική συνέχεια της δικής του εργασίας σε σχέση με την πυθαγόρεια παράδοση. 103 Iannis Xenakis, Musique Architecture, εκδ. Casterman, Tournai 1976, σελ. 192-196. Ο πίνακας έχει δημοσιευτεί επίσης στο Iannis Xenakis, Art- sciences, Alloys: The thesis defence of Iannis Xenakis before Olivier Messiaen, Michel Ragon, Olivier Revault D’ Allonnes, Michel Serres and Bernard Teyssedre, Pendragon Press, New York 1985, σελ. 99 – 101. Εδώ από Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 193 – 196. 58 3.2.1. Συνειδητή χρήση μαθηματικών διαδικασιών και το πυθαγόρειο πρότυπο Όπως διαπιστώνει ο Ξενάκης, η πρώτη συνειδητή προσπάθεια συσχετισμού της μουσικής με τα μαθηματικά έγινε από τον Πυθαγόρα, η επόμενη όμως συνειδητή προσπάθεια έγινε από τον Ραμώ, σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια αργότερα. 104 Ο Ξενάκης όχι απλά θέλει να προχωρήσει στο συνειδητό συσχετισμό μουσικής-μαθηματικών, αλλά τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιεί προέρχονται από τα σύγχρονα μαθηματικά, φιλοδοξώντας έτσι να καλύψει ο ίδιος το χάσμα μεταξύ της σύγχρονής μουσικής και των μαθηματικών. Έχει γραφεί πως ‘η φιλοδοξία του Ξενάκη να εισάγει τα μαθηματικά στην ίδια τη μουσική, στη διαδικασία της παραγωγής της, αντιστρέφει το πυθαγόρειο πρότυπο. Οι αρχαίοι ανακαλύπτουν τα μαθηματικά στη δεδομένη μουσική, και πολύ φυσιολογικά περνούν από αυτή τη θεώρηση της αρμονίας στη θεώρηση ενός κόσμου, ενός δηλαδή σύμπαντος που συνίσταται στην αρμονική τοποθέτηση των στοιχείων του. Στο σύγχρονο πρότυπο πρόκειται αντίθετα για δημιουργία της μουσικής μέσω των δεδομένων μαθηματικών: όχι για ανακάλυψη αλλά για συνειδητή διείσδυση των μαθηματικών στη μουσική.’105 Στην πραγματικότητα η θέση πως ‘οι αρχαίοι ανακαλύπτουν τα μαθηματικά στη δεδομένη μουσική’ ισχύει μόνο για την ανακάλυψη των τριών πρώτων συμφωνιών από τον Πυθαγόρα, για την οποία είναι φανερό πως τα μαθηματικά ανακαλύπτονται μέσα από τη μουσική. Όμως η πυθαγόρεια παράδοση δεν σταματά εκεί και η συγκεκριμένη ανακάλυψη είναι απλά το έναυσμα για περαιτέρω μελέτη της μουσικής μέσω των μαθηματικών. Η κατασκευή της πυθαγόρειας κλίμακας με τη υπέρθεση συνεχόμενων πέμπτων, η διαίρεση των τετραχόρδων από τον Αρχύτα με τη χρήση των πυθαγόρειων αναλογιών και των αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών μέσων, καθώς και η διαίρεση του τόνου από το Φιλόλαο χρησιμοποιώντας τα ίδια μαθηματικά εργαλεία με τον Αρχύτα, είναι μόνο ελάχιστα παραδείγματα υποστήριξης της θέσης πως οι πυθαγόρειοι είχαν προχωρήσει σε μια συνειδητή μελέτη της μουσικής μέσω των μαθηματικών, είναι δε αυτός ένας από τους κυριότερους λόγους κριτικής τους από τον Αριστόξενο. 104 105 Xenakis Iannis, Musique Architecture, Casterman, Tournai 1976, σελ. 20. Γεράσιμος Σολωμός- Γιώργος Φαρακλάς, Ιάννης Ξενάκης: μια αντιφατική αντιμετώπιση των αντιθέσεων, Μουσικολογία τευχ. 5-6, Νήσος, Αθήνα 1987. 59 Η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε από το Φιλόλαο και τον Αρχύτα μπορεί να παραλληλιστεί με τη δουλειά του Ξενάκη πάνω στην εκτός-χρόνου δομή της μουσικής μια και είναι φανερό πως - και στις δύο περιπτώσεις - πρόθεση όλων είναι η μελέτη πάνω στις δομικές βάσεις της μουσικής. Η διαίρεση των τετραχόρδων από τον Αρχύτα, που αναφέραμε παραπάνω, είναι μια χαρακτηριστική περίπτωση μαθηματικού προσδιορισμού μιας εκτός-χρόνου κατηγορίας, του τονικού ύψους. Ο Ξενάκης κατά την μελέτη της εκτός-χρόνου δομής δίνει βέβαια βαρύτητα σε όλα τα χαρακτηριστικά του ήχου τα οποία θεωρεί ‘εκτός-χρόνου’ και όχι μόνο στο μουσικό ύψος όπως στα παραδείγματα από την πυθαγόρεια παράδοση που αναφέραμε. Όμως, είναι σαφές πως και ο Ξενάκης ξεκινά από το μουσικό ύψος και σε αυτό δίνει την πρωτοκαθεδρία κατά τη μελέτη της εκτός-χρόνου δομής της μουσικής. Είναι χαρακτηριστικό πως η υλοποίηση της δουλειάς του Ξενάκη πάνω στις εκτός-χρόνου δομές, η θεωρία κοσκίνων, χρησιμοποιήθηκε πολύ περισσότερο για τη δημιουργία κοσκίνων από μουσικά ύψη παρά για οποιοδήποτε άλλο χαρακτηριστικό του ήχου.106 Είναι σημαντικό επίσης να τονίσουμε πως, ακόμα και αυτά τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούν έχουν ομοιότητες: Οι αριθμητικοί, γεωμετρικοί και αρμονικοί μέσοι χρησιμοποιούνται και από τον Ξενάκη, όχι βέβαια για διαχωρισμό των τετραχόρδων αλλά στην ταξινόμηση του χρόνου σε συγκεκριμένα έργα του.107 Επίσης, η μελέτη της εκτός-χρόνου δομής της μουσικής από τον Ξενάκη πραγματώνεται στην δουλειά του πάνω στην θεωρία κοσκίνων, η οποία έχει τις καταβολές της στην πυθαγόρεια παράδοση.108 3.2.2. Λόγοι εισαγωγής των μαθηματικών στη σύνθεση από τον Ξενάκη Όταν αναφερόμαστε στον Ξενάκη και τους λόγους εισαγωγής των μαθηματικών στη διαδικασία σύνθεσης, πρέπει να διευκρινίσουμε πως αναφερόμαστε ειδικά στη θεωρία πιθανοτήτων. Τα μαθηματικά φαίνεται πως υπάρχουν εξαρχής στα έργα του Ξενάκη ακόμα και στα πρώιμα έργα του παρόλο που δεν υπάρχουν στο εύρος που υπάρχουν από τις Μεταστάσεις και έπειτα - και σαφώς όχι με την πολυπλοκότητα που χαρακτηρίζει τα μαθηματικά εργαλεία 106 Βλ. κεφ. 5 ‘Η αναζήτηση για μια Παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 107 Βλ. κεφ. 6 ‘Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια παράδοση, το έργο Herma’. 108 Βλ. κεφ. 5 ‘Η αναζήτηση για μια Παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 60 που χρησιμοποιεί από το έργο Πιθοπρακτά και μετά. Μαθηματικά εργαλεία όπως η χρυσή τομή και η ακολουθία Fibonacci εμφανίζονται σχεδόν σε όλα τα πρώιμα του έργα, ενώ στο τελευταίο του έργο πριν τις Μεταστάσεις, τη Θυσία, προμηνύεται η χρήση του μηχανισμού που χρησιμοποιεί στις Αχορρίψεις αλλά και στα ST .109 Στο παρόν κεφάλαιο δεν θα ασχοληθούμε με άλλα μαθηματικά εργαλεία εκτός των προαναφερομένων, δηλαδή τη χρυσή τομή, την ακολουθία Fibonacci και τη θεωρία πιθανοτήτων. Ο λόγος αυτού του περιορισμού είναι πως θεωρώ ότι τα επόμενα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποίησε ο Ξενάκης ήταν απόρροια της επιτυχίας που γνώρισαν τα αρχικά του έργα και προβληματισμών που προέκυψαν στην συνθετική του πορεία όταν είχε ήδη αποφασίσει τη χρήση μαθηματικών διαδικασιών στη μουσική σύνθεση. 1. Η μίμηση της φύσης Ο Ξενάκης - σε αρχικό τουλάχιστον στάδιο - δεν φαίνεται να έχει αυτοσκοπό τη μίμηση της φύσης. Θεωρεί όμως πιο κοντά στον άνθρωπο τα μαθηματικά τα οποία έχουν φυσική εφαρμογή σε πεδία τα οποία είναι παγκόσμια – και επομένως αδιαμφισβήτητα – όπως είναι η βιολογία και η φυσική. Αυτό φαίνεται στη δικαιολόγηση της χρήσης της χρυσής τομής στον πρόλογο του έργου Θυσία110 στην οποία αναφέρει πως αυτή ‘αποτελεί βιολογικό νόμο της ανάπτυξης’ δίνοντας παραδείγματα από το ανθρώπινο σώμα. Πρέπει να τονίσουμε πως παρόλο που η χρυσή τομή εμφανίζεται και σε πολλές άλλες περιπτώσεις στη φύση,111 ο Ξενάκης δεν αναφέρει κανένα τέτοιο παράδειγμα. Πιστεύω πως η αρχική σκέψη του Ξενάκη δεν περιελάμβανε φαινόμενα που εμφανίζονται γενικά στη φύση αλλά σκοπό είχε να περιοριστεί σε αυτά που εμφανίζονταν στο ανθρώπινο σώμα αφού, σύμφωνα με αυτά που αναφέρει στον 109 Περισσότερα για τα πρώιμα έργα του Ξενάκη βλ. Makis Solomos, Xenakis’ Early works: from “Bartokian project” to “Abstraction”, Contemporary Music Review vol. 21 num. 2/3, UK 2002, Μάκης Σολωμός, Τα Αναστενάρια του Ξενάκη, μια παραδειγματική οπή, Μουσικός λόγος τεύχος 4, Κ. Παπαγρηγορίου – Χ. Νάκας 2002 και François-Bernard Mâche, Η Ελληνικότητα του Ξενάκη, Μουσικός Λόγος, τευχ. 4, Κ. Παπαγρηγορίου – Χ Νάκας, 2002. 110 111 Βλ. Αναφορά Ξενάκη αρ. 23. Π.χ. στη σχέση του αριθμού αρσενικών-θυληκών μελισσών σε μια κυψέλη, στη διάταξη της φυλλοταξίας αρκετών φυτών κτλ. Βλ. Ghyka Matila, The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Inc. , New York 1946, σελ. 87 – 110. 61 πρόλογο της Θυσίας, θεωρεί πως μια και ο αριθμός Φ υπάρχει στο ανθρώπινο σώμα και οι μουσικές διάρκειες δημιουργούνται από εκφορτώσεις των μυών του ανθρώπινου σώματος, τότε η χρήση του αριθμού Φ στον καθορισμό των διαρκειών είναι πιο φυσιολογική για το ανθρώπινο σώμα. Με τα επόμενα έργα του ο Ξενάκης πραγματοποιεί το μεγάλο άλμα, χρησιμοποιώντας για πρώτη φορά τη θεωρία πιθανοτήτων για να συνθέσει μουσική. Τα πρώτα μαθηματικά εργαλεία από το λογισμό των πιθανοτήτων που χρησιμοποίησε ο Ξενάκης στις συνθέσεις του από τα Πιθοπρακτά και έπειτα - είναι: 1. Ο νόμος του Poisson 2. Ο νόμος των Μάξγουελ - Μπόλτσμαν για τις κινητικές θεωρίες των αερίων Κατανομή κατά Gauss 3. Νόμοι συνεχών πιθανοτήτων 4. Ο νόμος του Bernoulli για τους μεγάλους αριθμούς 5. Μαρκοβιανές αλυσίδες 6. Τυχαίες διαδρομές (Random Walks) – κίνηση Μπράουν Έτσι, με την εισαγωγή των πιθανοτήτων ο Ξενάκης περνά σε ένα πολύ πιο καθολικό πεδίο, επεκτείνοντας τα ερεθίσματά του σε κανόνες της φύσης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η χρήση του τύπου του Γκάους για τον προσδιορισμό των ταχυτήτων των γκλισάντο112 την οποία ο Ξενάκης παραλληλίζει με την εργασία του Μέντελ και των Μάξγουελ-Μπόλτσμαν113 οι οποίοι μετέφεραν νόμους των πιθανοτήτων στη γενετική και στη φυσική (κινητική θεωρία των αερίων) αντίστοιχα. Έτσι, ενώ το 1953 ο Ξενάκης χρησιμοποιώντας τη χρυσή τομή δεν φέρνει κανένα παράδειγμα από τη φύση, το 1962 παρατηρεί πως οι στοχαστικοί νόμοι που χρησιμοποιεί έχουν εφαρμογή σε αρκετά φυσικά φαινόμενα, φέρνοντας ως παράδειγμα τον ήχο από χαλάζι ενώ χτυπά σε μια σκληρή επιφάνεια ή τους ήχους των τζιτζικιών: Κι άλλοι δρόμοι όμως οδηγούν επίσης στο ίδιο στοχαστικό σταυροδρόμι. Πρώτα απ’ όλα φυσικά συμβάντα όπως τα χτυπήματα 112 Βλ. πρόγραμμα ST. 113 Ομιλία του Ξενάκη με τίτλο ‘Επιστημονική σκέψη και μουσική’ του 1975. Από, Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ.144-145. 62 από το χαλάζι ή από τη βροχή σε σκληρές επιφάνειες ή ακόμη το τραγούδι των τζιτζικιών σε ένα χωράφι το κατακαλόκαιρο. Αυτά τα συνολικά ηχητικά συμβάντα αποτελούνται από χιλιάδες μεμονωμένους ήχους των οποίων το πλήθος δημιουργεί ένα νέο ηχητικό συμβάν σε επίπεδο συνόλου. Αυτό το συνολικό συμβάν είναι διαρθρωμένο και σχηματίζει μια χρονική πλαστική, η οποία ακολουθεί, και αυτή, τους νόμους του τυχαίου, τους στοχαστικούς νόμους. Εάν θέλει κανείς να κατασκευάσει ένα μεγάλο σωρό από στιγμιαίους φθόγγους, όπως τα πιτσικάτι των εγχόρδων, πρέπει να γνωρίζει αυτούς τους μαθηματικούς νόμους που δεν είναι εξάλλου τίποτε περισσότερο ή λιγότερο από μια πυκνή και αυστηρή έκφραση μιας αλυσίδας λογικών διανοημάτων. Αναφορά Ξενάκη αρ. 15 Η εξέλιξη στη σκέψη του Ξενάκη πάνω στο θέμα της μίμησης της φύσης θα συνεχιστεί και τα επόμενα χρόνια. Έτσι, το 1975, αναφερόμενος στο νόμο του Γκάους δηλώνει: Από το θεμελιώδη αυτόν τύπο του Γκάους εξαρτώνται πολλά φαινόμενα στη βιολογία, στην αστρονομία και παντού. Επομένως και στη μουσική.114 Αναφορά Ξενάκη αρ. 16 Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα της έμπνευσης που έδωσε η φύση στον Ξενάκη είναι η αναφορά της Nouritsa Matossian σχετικά με το έργο Terretektorh: ‘Στο Ξενάκη άρεσε να βάζει τον εαυτό του ενάντια στα στοιχεία της φύσης και του άρεσαν ιδιαίτερα οι επικίνδυνες καταιγίδες στη θάλασσα, όπου προσπαθούσε να κρατήσει τη βάρκα του να μην βουλιάξει. Τα βράδια του άρεσε να παρατηρεί τα άστρα με την κόρη του, να της μαθαίνει τα ονόματα των 114 Ομιλία του Ξενάκη με τίτλο ‘Επιστημονική σκέψη και μουσική’ του 1975. Από, Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 133-134. 63 αστερισμών και να ακούνε τους ήχους του δάσους και της θάλασσας γύρω τους. Αυτές οι εμπειρίες ήταν το φυσικό πρότυπο για το έργο Terretektorh’.115 Η αλλαγή στον τρόπο σκέψης του Ξενάκη είναι θεμελιώδης σε διάστημα 20 ετών. Ενώ το 1953, χρησιμοποιώντας τη χρυσή τομή δεν φέρνει κανένα παράδειγμα από την ύπαρξή της στη φύση, το 1975 θεωρεί δεδομένο πως, αν κάτι ισχύει στη φύση (βιολογία, αστρονομία) τότε είναι δεδομένο πως ισχύει και στη μουσική. 2. Ο έλεγχος των μουσικών παραμέτρων Ο αρχικός λόγος εισαγωγής των πιθανοτήτων όμως δεν είναι ουσιαστικά η μίμηση της φύσης αφού, όπως δείξαμε, ο Ξενάκης φαίνεται να κάνει αυτό το συσχετισμό μετά το 1962. Οι ουσιαστικοί λόγοι που ώθησαν τον Ξενάκη να χρησιμοποιήσει τις πιθανότητες αναφέρονται από τον ίδιο στο ιστορικό πλέον άρθρο του ‘Η κρίση της σειραϊκής μουσικής’116: ‘Η γραμμική πολυφωνία αυτοκαταστρέφεται με τη σημερινή της πολυπλοκότητα. Το άκουσμά της στην πραγματικότητα είναι ένας σωρός φθόγγων σε ποικίλες τονικές εκτάσεις. Η τεράστια πολυπλοκότητα εμποδίζει την ακρόαση να παρακολουθήσει τη γεμάτη σύγχυση διαπλοκή των γραμμών και έχει ως μακροσκοπικό αποτέλεσμα ένα άλογο και τυχαίο διασκορπισμό των ήχων σε όλη την έκταση του ηχητικού φάσματος. Συνεπώς υπάρχει αντίφαση μεταξύ του γραμμικού πολυφωνικού συστήματος και του ακούσματος, το οποίο είναι επιφάνεια, μάζα. Τούτη η σύμφυτη στην πολυφωνία αντίφαση θα εξαφανιστεί όταν ανεξαρτητοποιηθούν πλήρως οι ήχοι. Πράγματι, καθώς θα είναι πλέον ενεργοί, αυτό το οποίο θα μετράει θα είναι ο στατιστικός μέσος όρος των μεμονωμένων καταστάσεων μετασχηματισμού των συνιστωσών σε μία δεδομένη στιγμή. Το 115 Matossian Nouritza, Xenakis, Mouflon Puplications, Λευκωσία 2005, σελ. 230. 116 Iannis Xenakis, La crise de la musique sérielle, Gravesaner Blätter 1, 1954. Εδώ από Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 53-57. 64 μακροσκοπικό αποτέλεσμα θα μπορεί επομένως να ελέγχεται με το μέσο όρο των κινήσεων των ν αντικειμένων που θα έχουμε επιλέξει. Προκύπτει η εισαγωγή της έννοιας της πιθανότητας η οποία εξάλλου συνεπάγεται, σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση, τον συνδυαστικό λογισμό. Ορίστε, με λίγα λόγια, η πιθανή υπέρβαση της «γραμμικής κατηγορίας» της μουσικής σκέψης. Αναφορά Ξενάκη αρ. 17 Η εκπληκτική, όπως την χαρακτηρίζει ο Μάκης Σολωμός,117 φράση ‘προκύπτει η εισαγωγή της έννοιας της πιθανότητας’ είναι και η πρώτη αναφορά του Ξενάκη στο τρόπο προσέγγισης των επόμενων έργων του και η γέννηση της «Στοχαστικής Μουσικής». Ο ίδιος αναφέρει: Αυτό το χωρίο χρησιμεύει ως γέφυρα στην εισαγωγή των μαθηματικών στη μουσική. Διότι εάν, χάρη στην πολυπλοκότητα, η αυστηρή αιτιότητα την οποία πρέσβευαν οι νέο-σειραϊστές είχε χαθεί, θα έπρεπε να την αντικαταστήσουμε με μια γενικότερη αιτιότητα, με μια λογική πιθανοτήτων που θα εμπεριείχε ως ιδιαίτερη περίπτωση την αυστηρή σειραϊκή αιτιότητα. Είναι η περίπτωση της στοχαστικής.118 Αναφορά Ξενάκη αρ. 18 Από τις δύο παραπάνω αναφορές προκύπτει η επόμενη αιτία της εισαγωγής των μαθηματικών στη μουσική του Ξενάκη: αυτή του ελέγχου. Όπως διαγιγνώσκει στο άρθρο ‘Η κρίση της σειραϊκής μουσικής’, υπάρχει αντίφαση μεταξύ της τεχνοτροπίας της σειραϊκής μουσικής – που βασίζεται στη γραμμική σκέψη – και του παραγόμενου ηχητικού αποτελέσματος το οποίο εξαιτίας της πολυπλοκότητας των γραμμών, ονομάζεται από τον Ξενάκη ‘ ηχητική μάζα’. Αυτές οι ηχητικές μάζες υπακούουν στους νόμους των πιθανοτήτων και μέσω αυτών των 117 Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 239. 118 Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 72. 65 νόμων ο Ξενάκης μπορεί να τις ελέγξει απευθείας. Ο Ξενάκης παραδέχεται πως ο πρώτος λόγος εισαγωγής των πιθανοτήτων στη μουσική είναι ο έλεγχος: Το 1954, εισήγαγα τη θεωρία πιθανοτήτων στη μουσική σύνθεση σε μια προσπάθεια να ελέγξω τις ηχητικές μάζες κατά την γέννηση και την εξέλιξή τους. Αυτό άνοιξε ένα εντελώς νέο δρόμο στη μουσική, πιο οικουμενικό από την πολυφωνία, τον σειραϊσμό ή, γενικά, τη ‘συγκεκριμένη’ μουσική (musique concrete).119 Αναφορά Ξενάκη αρ. 19 Στην προκειμένη περίπτωση, η χρήση των πιθανοτήτων είναι ουσιαστικά μια αναγκαιότητα για τον Ξενάκη από τη στιγμή που έχει πάρει τη συνειδητή απόφαση να συνθέσει ηχητικές μάζες μια και η χρησιμοποίηση των πιθανοτήτων είναι και ο μοναδικός τρόπος για να ελεγχθούν. Όπως είδαμε και στο κεφάλαιο ‘Απευθείας αναφορές του Ξενάκη στους πυθαγορείους’, η ιδέα του ελέγχου προήλθε από τη μελέτη της πυθαγόρειας διδασκαλίας των μετενσαρκώσεων ως συνέχεια της ιδέας των πυθαγορείων για έλεγχο σε όλες τις εκφάνσεις της ζωής. 3. Το τυχαίο μέσω των μαθηματικών Στα έργα της οικογένειας ST γίνεται πραγματικότητα η πρόθεση του Ξενάκη να δημιουργηθεί ένα σύστημα σύνθεσης όπου κάθε παράμετρος του ήχου θα ελέγχεται με τυχαίο τρόπο. Ο μόνος όμως τρόπος εξασφάλισης του τυχαίου είναι η χρήση πιθανοτήτων, μια και το τυχαίο υπακούει σε συγκεκριμένους νόμους. Ο Ξενάκης επικρίνει τους συνθέτες που υποστηρίζουν πως χρησιμοποιούν το τυχαίο χωρίς τη χρήση πιθανοτήτων χρησιμοποιώντας αυτοσχεδιαστικούς τρόπους: 119 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 255. 66 ….πρέπει να μιλήσουμε για την αρχή του αυτοσχεδιασμού που έγινε μόδα στους νέο-σειραϊστές και η οποία τους δίνει το δικαίωμα, όπως πιστεύουν, να μιλούν για την τύχη, το τυχαίο, το οποίο εισάγουν έτσι στη μουσική. Γράφουν αρχικώς παρτιτούρες στις οποίες ορισμένοι συνδυασμοί ήχων επιλέγονται ελεύθερα από τον ερμηνευτή…. Πρέπει επομένως να καταδειχθούν δύο λογικές αναπηρίες, οι οποίες τους στερούν το δικαίωμα να μιλούν για το τυχαίο: 1. Ο ερμηνευτής είναι ένα ον ισχυρώς καθορισμένο˙ δεν μπορεί λοιπόν κανείς να παραδεχθεί τη θέση του ερμηνευτή - ρουλέτα….. 2. Ο συνθέτης παραιτείται όταν εισάγει περισσότερα πιθανά και ισοδύναμα «κυκλώματα». Στο όνομα του σχήματος προδίδει κανείς το ζήτημα της επιλογής. Εξάλλου δεν υπάρχει καμία ένδειξη τυχαίου στη σκέψη του σύγχρονου συνθέτη ούτε στο αποτέλεσμα της μουσικής που έγραψε στο πεντάγραμμο, εκτός εάν έπαιξε τους ήχους στα ζάρια, πράγμα που είναι παράλογα πρωτόγονο, παιδιάστικο και καθόλου ενδιαφέρον.120 Αναφορά Ξενάκη αρ. 20 Ο Ξενάκης εξετάζει δύο περιπτώσεις κατά τις οποίες υπάρχει ο ισχυρισμός χρήσης του τυχαίου. Η πρώτη περίπτωση είναι αυτή του αυτοσχεδιασμού την οποία ο Ξενάκης απορρίπτει θεωρώντας πως ο αυτοσχεδιασμός είναι ένα εντελώς διαφορετικό θέμα από το τυχαίο. Στον 120 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 38. Η μετάφραση είναι από Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 77. 67 αυτοσχεδιασμό εμπλέκεται ο εκτελεστής, ο οποίος κάνει επιλογές με βάση την προσωπική του εκπαίδευση, κουλτούρα, αισθητική κ.τ.λ. τα οποία όμως δεν έχουν καμία σχέση με το τυχαίο. Η επόμενη περίπτωση που εξετάζει είναι η περίπτωση κατά την οποία ο συνθέτης γράφει διάφορα μέρη και αφήνει στην κρίση του εκτελεστή την ακολουθία με την οποία θα παιχτούν, θεωρώντας τα ισοδύναμα. Εκτός του ότι, όπως προαναφέραμε, και σε αυτή την περίπτωση επεμβαίνουν οι προσωπικές επιλογές του εκτελεστή (ή και του μαέστρου), ο Ξενάκης αναφέρει πως ακόμα και αν μπορεί να εξασφαλιστεί το τυχαίο στην επιλογή της σειράς κάθε μέρους, το περιεχόμενο εξακολουθεί να μην έχει καμιά σχέση με το τυχαίο. Ολοκληρώνοντας δηλώνει: Το τυχαίο είναι πράγμα σπάνιο, μια παγίδα˙ μπορεί κανείς να το κατασκευάσει ως ένα ορισμένο σημείο, πολύ δύσκολα, με τη βοήθεια πολύπλοκων συλλογισμών που συνοψίζονται με μαθηματικούς τύπους˙ μπορεί κανείς να το κατασκευάσει ολίγον αλλά ποτέ να το αυτοσχεδιάσει, να το μιμηθεί διανοητικώς. Παραπέμπω στην επίδειξη της αδυναμίας να μιμηθεί κανείς το τυχαίο που έκανε ο μεγάλος μαθηματικός Εμίλ Μπορέλ, ο οποίος υπήρξε ένας από τους ειδικούς του λογισμού των πιθανοτήτων.121 Αναφορά Ξενάκη αρ. 21 Η μοναδική φορά που ο Ξενάκης αφήνει στους εκτελεστές – συγκεκριμένα στους δύο μαέστρους - μια σχετική ελευθερία επιλογής είναι στα έργα Duel (1959), Stratégie (1962) και Linaia-Agon (1972). Τα έργα αυτά είναι γραμμένα για δύο ορχήστρες και δύο μαέστρους με βάση τη θεωρία παιγνίων. Οι επιλογές των μαέστρων γίνονται στα πλαίσια του παιχνιδιού κατά το οποίο η μια ορχήστρα βγαίνει ‘νικήτρια’ και η άλλη ‘ηττημένη’. Ο Ξενάκης, απαντώντας σε ερώτηση για το αν το έργο Stratégie – και κατά συνέπεια και τα άλλα δύο έργα αυτής της κατηγορίας - θα μπορούσε να θεωρηθεί «αλεατορικό», αναφέρει: 121 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 38-39. Η μετάφραση είναι από Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 78-79. 68 Το έργο Stratégie είναι διαφορετικό ζήτημα, είναι ένα παιχνίδι. Οι δύο μαέστροι και οι δύο ορχήστρες που παίζουν στο παιχνίδι έχουν έξι βασικές κάρτες να παίξουν, από τις οποίες πρέπει να διαλέξουν˙ στο σύνολο υπάρχουν 19 πιθανότητες για τον καθένα. Αλλά η μουσική που παίζεται δεν είναι αυτοσχεδιαζόμενη, είναι ελεγχόμενη από τους κανόνες του παιχνιδιού, από το εδραιωμένο matrix του παιχνιδιού. Μπορούμε να πούμε πως ο έλεγχος που ασκείται από το συνθέτη πηγαίνει μέχρι το ζήτημα της επιλογής, η οποία μπορεί να φαίνεται πως είναι αυτοσχεδιαζόμενη, αλλά ποτέ δεν είναι, επειδή αν ο διευθυντης μιας ορχήστρας διαλέξει μια άσχημη κάρτα, πληρώνει στη μεταγενέστερη εξέλιξη του παιχνιδιού το τίμημα που έχει οριστεί από το συνθέτη. Ακολουθώντας τους νόμους του παιχνιδιού οι διαγωνιζόμενοι δείχνουν τον έλεγχο που ο συνθέτης ασκεί στις επιλογές τους, και αυτό είναι θεμελιώδες επειδή με αυτό τον τρόπο η επιλογή υπάρχει. Είναι ένας συνεχής διάλογος μεταξύ τριών ανθρώπων, των δύο μαέστρων και του συνθέτη. Δεν υπάρχει κατάργηση του ρόλου του συνθέτη όπως στην ‘αλεατορική’ μουσική στην οποία έχουμε είτε μερική είτε ολική κατάργηση, κάτι που είναι παράλογο.122 Αναφορά Ξενάκη αρ. 22 Οι πρώτες θεωρίες του Ξενάκη θα εκφραστούν ολοκληρωμένα στην οικογένεια έργων ST123 τα οποία γράφτηκαν με βάση το πρόγραμμα υπολογιστών ‘Στόχος’. Το πρόγραμμα χρησιμοποιεί τις πιθανότητες για κάθε ένα από τα χαρακτηριστικά του ήχου: 122 Mario Bois, Iannis Xenakis, The man and his music: a conversation with the composer and a description of his works, Pendragon Press, New York 1967, σελ. 12. 123 Με τον όρο ‘οικογένεια έργων ST’ εννοούμε τα έργα ST/4, Morsima - Amorsima, Amorsima - Morsima, ST/10, Atrées και ST/48. Το πρόγραμμα ‘Στόχος’ χρησιμοποιήθηκε επίσης για τη σύνθεση μέρους των έργων Εόντα και Stratégie. 69 − dx 1. Για τις διάρκειες χρησιμοποιείται ο τύπος f ( x) = d .e , όπου d η πυκνότητα. Ο τύπος μας δίνει την πιθανότητα να έχουμε μια συγκεκριμένη διάρκεια για μια, ορισμένη από τον συνθέτη, τιμή πυκνότητας. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι οποιαδήποτε διάρκεια μεγαλύτερη του μηδενός, αν και ο τύπος ευνοεί – δηλαδή, δίνει πολύ μεγαλύτερη πιθανότητα – την εμφάνιση μικρών διαρκειών. 2. Για το ύψος κάθε νότας, προσδιορίζεται ένα αρχικό ύψος και κατόπιν, μέσω του τύπου ( )d = 2  (1 −  )d προσδιορίζονται τα διαστήματα για κάθε επόμενη νότα,  όπου α είναι το μεγαλύτερο δυνατό διάστημα που ορίζεται από το συνθέτη. Επίσης, μέσω μιας τυχαίας μεταβλητής, προσδιορίζεται εάν το διάστημα θα είναι ανιόν ή κατιόν. 3. Οι δυναμικές χωρίζονται σε τέσσερις ζώνες: πιανίσιμο, πιάνο, φόρτε και φορτίσιμο. Από αυτές δημιουργούνται 44, μουσικά διακριτές, σειρές των τριών. Η κάθε μια έχει  1  την ίδια πιθανότητα   να εμφανιστεί σε κάθε σημείο του έργου.  44  4. Οι ταχύτητες των γκλισάντο υπολογίζονται με βάση τον τύπο του Γκάους, δηλαδή v2 − 1 2 .e 2 a , όπου α η λεγόμενη ‘συνολική θερμοκρασία’. f (v ) = a 2 5. Η πυκνότητα του συνολικού έργου καθώς και κάθε ξεχωριστής ηχητικής μάζας μετριέται σε νότες ανά δευτερόλεπτο. Η μέση πυκνότητα του συνολικού έργου ( 0 ) επιλέγεται από το συνθέτη και η πυκνότητα κάθε ξεχωριστής ηχητικής μάζας επιλέγεται με βάση την κατανομή Poisson, δηλαδή P(k ) = 0 −  e , όπου k ! 0 ο αριθμός φθόγγων σε μια προκαθορισμένη χρονική περίοδο. Στην πραγματικότητα, όλο το πρόγραμμα ST είναι ένα εργαλείο ελέγχου. Η κάθε παράμετρος του ήχου ελέγχεται από ένα νόμο πιθανοτήτων, εξασφαλίζοντας έτσι μια ‘φυσική’ μέθοδο σύνθεσης ηχητικών μαζών αλλά και ένα τυχαίο τρόπο επιλογής των παραμέτρων του ήχου. Επίσης, αρκετοί από τους παραπάνω νόμους έχουν εφαρμογή σε άλλες επιστήμες, όπως η γενετική, η φυσική κ.τ.λ. εκπληρώνοντας έτσι όλες τις απαιτήσεις εισαγωγής των μαθηματικών που παρουσιάσαμε. 70 Με βάση τις προηγούμενες αναφορές του Ξενάκη, μπορούμε συνοψίζοντας να πούμε τα εξής: 1. Ο Ξενάκης έχει ως αφετηρία του τις έρευνες των Σειραϊστών.124 Όπως ο ίδιος αναφέρει, στο σειραϊσμό, η συνεχής συσσώρευση μελωδικών γραμμών έχει ως παραγόμενο ηχητικό αποτέλεσμα αυτό που ονομάζει ‘ηχητικές μάζες’. Ο Ξενάκης έχει εξ’ αρχής αποφασίσει πως το ηχητικό αποτέλεσμα των πρώτων του έργων θα αποτελείται από ‘ηχητικές μάζες’ και με βάση αυτή την απόφαση εισαγάγει τις πιθανότητες στη μουσική σύνθεση μια και είναι ο μοναδικός τρόπος ελέγχου των ηχητικών μαζών. 2. Οι ηχητικές μάζες μπορούν να ελέγχονται από νόμους πιθανοτήτων, σε αντιστοιχία με τα φυσικά φαινόμενα που αναφέρει ως παράδειγμα ο Ξενάκης, τα οποία υπακούουν στους ίδιους νόμους. Η προφανής για τον Ξενάκη σύνδεση νόμων της φυσικής, αστρονομίας και βιολογίας με τη μουσική μοιάζει αυθαίρετη. Θα είναι όμως ένα χαρακτηριστικό στο οποίο ο Ξενάκης θα παραμείνει πιστός σε όλη του τη ζωή: αφού ένας μαθηματικός νόμος ισχύει σε κάτι τόσο καθολικό όπως η φυσική ή η βιολογία, τότε είναι προφανές πως ισχύει και στη μουσική. Η σύνδεση μαθηματικών που υπάρχουν στη φύση με τη μουσική δίνει μια πιο οικουμενική όψη στη μουσική του Ξενάκη.125 Η ιδέα του ελέγχου προέρχεται από μια πυθαγόρεια διδασκαλία. 3. Η χρήση μαθηματικών διαδικασιών από τον Ξενάκη γίνεται συνειδητά, σε αντιστοιχία με το πυθαγόρειο πρότυπο, όπως δείξαμε με τα παραδείγματα της διαίρεσης του τετραχόρδου από τον Αρχύτα ή τις διαίρεσης του τόνου από το Φιλόλαο. 4. Ο Ξενάκης στον πίνακα 2 τοποθετεί τον εαυτό του σε ένα κατάλογο ερευνητών/συνθετών οι οποίοι έχουν ως πρώτο τον Πυθαγόρα, θέτοντας ουσιαστικά ο ίδιος τον εαυτό του μέσα στο πλαίσιο της πυθαγόρειας παράδοσης. 124 Χρησιμοποιώ τη λέξη ‘αφετηρία’ γιατί θεωρώ πως τα πρώτα αναγνωρισμένα έργα του Ξενάκη είναι ουσιαστικά μια αντίδραση προς το ρεύμα του σειραϊσμού στο οποίο τοποθετείται αντίθετα. 125 Βλ. κεφ. 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 71 Εκτός από τους νόμους των πιθανοτήτων – που αποτελούν ένα ελάχιστο μέρος των μαθηματικών εργαλείων που χρησιμοποίησε ο Ξενάκης – στα έργα του μπορούμε να ανιχνεύσουμε επίσης τις ακόλουθες μαθηματικές θεωρίες.126 1) Πρακτική αριθμητική. 2) Μαθηματικές αναλογίες. 3) Θεωρία αριθμών. 4) Θεωρία ομάδων. 5) Θεωρία συνόλων. 6) Συνδυαστική ανάλυση. 7) Θεωρία συμμετρίας ομάδων επιπέδου και ομάδων χώρου. 8) Στατιστική και θεωρία σφαλμάτων. 9) Θεωρία παιγνίων. 10) Διανυσματικός λογισμός. 11) Συναρτησιακή ανάλυση. 12) Γεωμετρία, προβολική γεωμετρία και προοπτική. 13) Τοπολογία. 14) Θεωρία ασυνέχειας. 15) Θεωρία μετασχηματισμών. 16) Θεωρία Fractals. 17) Συστημική θεωρία, κυβερνητική και θεωρία πληροφοριών. Στον παραπάνω πίνακα υπάρχει μια δόση υπερβολής μια και κάποιες από τις μαθηματικές θεωρίες είτε χρησιμοποιήθηκαν είτε εξηγήθηκαν ελάχιστα από τον Ξενάκη. Επίσης, απουσιάζουν μαθηματικά εργαλεία που έχουν χρησιμοποιηθεί σε σημαντικό βαθμό όπως είναι τα κυψελοειδή αυτόματα, οι κινήσεις Μπράουν, τα κόσκινα και οι Δεντρώσεις.127 126 Όπως αναφέρονται στο Δημήτρης Καμαρωτός (επιμ.), Ιάννης Ξενάκης, Ένα αφιέρωμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου προς έναν απόφοιτό του, Σύγχρονη Εποχή, Αθήνα 1994 και Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Προσεγγίσεις στη μουσική του Ιάννη Ξενάκη, Μουσικολογία τεύχος 10-11, Νήσος, Αθήνα 1998, σελ. 226 – 240. 127 Βλ. Μάκης Σολωμός, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008, σελ. 170. 72 Για κάθε ένα από τα παραπάνω μαθηματικά εργαλεία υπάρχει και ένας λόγος χρησιμοποίησής του από τον Ξενάκη ο οποίος συνήθως απαντά σε ένα ερώτημα –συνήθως φιλοσοφικού περιεχομένου - που ο ίδιος θέτει. Μετά το μεγάλο βήμα με τη χρήση των πιθανοτήτων το 1954, είναι λογικό πως ο Ξενάκης θα έκανε χρήση διαφόρων μαθηματικών εργαλείων για οποιοδήποτε πρόβλημα θα έθετε στα πλαίσια της μουσικής σύνθεσης. 73 Κεφάλαιο 4: Η Χρυσή τομή, η ακολουθία Fibonacci και η ακολουθία Lucas στο έργο του Ξενάκη Η ακολουθία Fibonacci και η Χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκαν από τον Ξενάκη σε μεγάλο βαθμό στα πρώτα του έργα καθώς και σε μικρότερο βαθμό στη μετέπειτα πορεία του. Παρακάτω θα δούμε τη σχέση μεταξύ αυτών των δύο μαθηματικών εργαλείων, τη σχέση και των δύο με την πυθαγόρεια παράδοση καθώς και τους τρόπους που ο Ξενάκης τις χρησιμοποίησε στα έργα του. 4.1. Η χρυσή τομή στα Στοιχεία του Ευκλείδη Η Χρυσή τομή στα μαθηματικά ορίζεται ως εξής: Αν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ χωριστεί σε δύο μέρη από ένα σημείο Γ και ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς όλο το ευθύγραμμο τμήμα ισούται με το λόγο του μικρότερου τμήματος προς το μεγαλύτερο (   = ), τότε αυτό καλείται χρυσή τομή, η (θετική) λύση128 της οποίας συμβολίζεται   διεθνώς με το γράμμα Φ από το όνομα του γλύπτη Φειδία. Αυτός είναι ο ορισμός που δίνει ο Ευκλείδης στο 6ο βιβλίο των Στοιχείων καθώς στο θεώρημα 3 βρίσκουμε ένα γεωμετρικό τρόπο διαχωρισμού ενός ευθύγραμμου τμήματος με βάση τη χρυσή τομή: 128 Η εξίσωση που προκύπτει είναι της μορφής x 2 = x + 1 η οποία έχει δύο πιθανές λύσεις 1+ 5 2 και 1− 5 2 . Η θετική λύση της εξίσωσης ισούται με Φ = 1.618 και 1/Φ = 0.618. Η λύση 1/Φ είναι αυτή που χρησιμοποιείται στα παραδείγματα παρακάτω. 74 VI,2 Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον.129 Όμως, χρήση του αριθμού Φ υπάρχει ήδη από το 2ο βιβλίο των Στοιχείων στο θεώρημα 11 στην πρόταση: ‘πως μπορεί να γίνει διαχωρισμός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ σε σημείο Γ έτσι ώστε το τετράγωνο που σχηματίζεται με πλευρά το μεγαλύτερο κομμάτι του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ να είναι ίσο με το ορθογώνιο με πλευρές ολόκληρη την ευθεία ΑΒ και το μικρότερο κομμάτι ΒΓ’. Πρακτικά, πρέπει να ισχύει η σχέση ΑΓ.ΑΓ = ΑΒ.ΒΓ κάτι το οποίο οδηγεί στο   = το οποίο φυσικά είναι ο ορισμός της χρυσής τομής.   II,11 Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ130 Η ίδια η έννοια της χρυσής τομής εμφανίζετε στο 4ο βιβλίο του Ευκλείδη, το οποίο έχει σαν θέμα την κατασκευή κανονικών πολυγώνων, και ειδικότερα στο θεώρημα 11 το οποίο δείχνει την κατασκευή ενός κανονικού πεντάγωνου. IV,11 Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι. 129 Richard Fitzpatrick, Euclid’s, Elements of Geometry, Greek text J.L. Heiberg, London 2007, σελ.155 (Μια ευθεία γραμμή λέγεται πως είναι χωρισμένη σε άκρον και μέσο λόγο, όταν η αναλογία ολόκληρης της γραμμής προς το μεγαλύτερο τμήμα ισούται με την αναλογία του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο - μτφ του γράφοντος). 130 Richard Fitzpatrick, Euclid’s, Elements of Geometry, Greek text J.L. Heiberg, London 2007, σελ.62 (Για να κοπεί μια δεδομένη ευθεία γραμμή, έτσι ώστε το ορθογώνιο που περιέχεται από ολόκληρη την ευθεία, και ένα από τα μέρη της, να είναι ίσο με το τετράγωνο της υπόλοιπης ευθείας – μτφ του γράφοντος.). 75 Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι. Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ, ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, [ΓΔ], ΔΕ, ΕΑ. Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν· αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. καὶ βέβηκεν ἐπὶ 76 μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον. Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.131 Στη συνέχεια των Στοιχείων – και αν εξαιρέσουμε τον ορισμό στο 6ο βιβλίο – η χρυσή τομή εμφανίζεται ξανά στο 13ο βιβλίο, στο οποίο ο Ευκλείδης παρουσιάζει μια σειρά αποτελεσμάτων που αφορούν τη χρυσή τομή, ιδιότητες του πενταγώνου, καθώς και την κατασκευή του εικοσάεδρου και του δωδεκάεδρου, στα οποία γίνεται χρήση του πενταγώνου και της χρυσής τομής. Οι αναφορές του Ευκλείδη είναι οι πρώτες γραπτές αναφορές στη Χρυσή τομή, όμως μπορούμε να βρούμε παραδείγματα εμφάνισης του κανονικού πενταγώνου ή του πενταγράμμου και του δωδεκάεδρου πολύ πιο πριν από τον Πυθαγόρα. Ο Baumgartner δίνει παράδειγμα εμφάνισης του πενταγράμμου πάνω σε βάζο στην Αίγυπτο γύρω στο 3000 π.Χ., ενώ αρκετά παραδείγματα μπορούν να βρεθούν στη Μεσοποταμία, στη Βαβυλώνα και την Παλαιστίνη περίπου την ίδια περίοδο.132 131 Richard Fitzpatrick, Euclid’s, Elements of Geometry, Greek text J.L. Heiberg, London 2007, σελ.119-120. 132 Roger Herz-Fischler, A Mathematical History of the Golden Number, Dover Publications, Mineola, New York 1987, σελ. 52-62. 77 4.2. Χρυσή τομή και πυθαγόρειοι Ο βασικός λόγος που αρκετοί μελετητές συνδέουν την χρυσή τομή με τους πυθαγορείους είναι τα σχόλια του Λουκιανού στα οποία αναφέρει πως το κανονικό πεντάγωνο ή πεντάγραμμο ήταν σύμβολο αναγνώρισης των πυθαγορείων. Αυτό ειναι αρκετό για κάποιους μελετητές (sir Thomas L. Heath, Van der Waerden),133 ώστε να θεωρήσουν πως οι πυθαγόρειοι έκαναν χρήση της χρυσής τόμης. Ένα ακόμα στοιχείο που μας δείχνει τη σχέση του κανονικού πενταγώνου με την πυθαγόρεια παράδοση είναι η αναφορά από τον Πρόκλο πως το τέταρτο βιβλίο των Στοιχείων είναι εξ ολοκλήρου πυθαγόρειο.134 Από κάποιους μελετητές (Paul Tannery, B. L.Van Der Waerden) υποστηρίχτηκε πως τα πρώτα τέσσερα βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη έχουν εξ’ ολοκλήρου τις βάσεις τους στην πυθαγόρεια παράδοση. Ο W. Burket θεωρεί ως πυθαγόρεια μόνο τα σημεία που αναφέρονται από τον Πρόκλο μια και ‘δεν θα έχανε την ευκαιρία να αναφέρει τους πυθαγόρειους τους οποίους θεωρεί ως προκάτοχους του θεϊκού Πλάτωνα’.135 Έτσι, τα σημεία που δέχεται ως πυθαγόρεια είναι δύο παραγράφους από το πρώτο βιβλίο και ολόκληρο το τέταρτο. Ο sir Arthur L.Heath χαρακτηρίζει τη χρυσή τομή ως ‘πυθαγόρεια αναλογία’136 αλλά και ολόκληρο το 4ο βιβλίο των στοιχείων ως ‘αναμφίβολα πυθαγόρειο’.137 Σε όλες τις περιπτώσεις είναι φανερό πως η κατασκευή του κανονικού πενταγώνου εντάσσεται στην πυθαγόρεια παράδοση αφού παρουσιάζεται στο τέταρτο βιβλίο των Στοιχείων, για το οποίο όλοι οι μελετητές δέχονται τις πυθαγόρειες επιρροές του.138 Ο Ιάμβλιχος συνδέει επίσης το δωδεκάεδρο με τους πυθαγορείους αναφέροντας την ιστορία του Ίππασου ως του πρώτου από τους πυθαγορείους που αποκάλυψε τον τρόπο κατασκευής του δωδεκάεδρου και της εγγραφής του μέσα σε σφαίρα. 133 Roger Herz-Fischler, ο.π., σελ. 68. 134 Roger Herz-Fischler, ο.π., σελ. 66. 135 Βλ. Walter Burket, Lore and ‘science in Ancient Pythagoeanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard university Press, Cambridge Massachusetts 1977, σελ. 450. 136 Sir Thomas L. Heath, A manual of Greek mathematics, Dover, London 1931 , σελ. 223. 137 Sir Thomas L. Heath, ο.π., σελ. 224. 138 Βλ. Walter Burket, Lore and ‘science in Ancient Pythagoeanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard university Press, Cambridge Massachusetts 1977, σελ. 448 – 452. 78 Ο συνδυασμός των παραπάνω μας οδηγεί στο συμπέρασμα πως οι πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν συνειδητά τη Χρυσή τομή και πιθανότατα ήταν και οι πρώτοι που έδωσαν ένα μαθηματικό τρόπο εφαρμογής της. 79 4.3. Η ακολουθία Fibonacci και η σχέση της με τη χρυσή τομή Η ακολουθία Fibonacci είναι μια σειρά αριθμών οι οποίοι παρουσιάστηκαν από τον Ιταλό μαθηματικό του Μεσαίωνα, Λεονάρντο της Πίζας, ο οποίος έγραφε με το ψευδώνυμο Fibonacci και έζησε περί το 1200 μ.Χ. Ο Fibonacci υποστήριξε πως ανακάλυψε τη συγκεκριμένη σειρά αριθμών παρακολουθώντας το ρυθμό γεννήσεων των κουνελιών του. Η ακολουθία έχει ως γεννήτορες τους αριθμούς 0 και 1 και κάθε επόμενος αριθμός είναι άθροισμα των δύο προηγούμενων. Επομένως έχουμε 1 + 0 = 1, ακολούθως 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 κτλ. Η σειρά μπορεί να συνεχιστεί έπ’ άπειρον και οι πρώτοι δεκαπέντε όροι της είναι: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ….. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η σχέση της συγκεκριμένης ακολουθίας με την πυθαγόρεια παράδοση. Όπως έχει επισημανθεί139, η σχέση που έχουν οι όροι της ακολουθίας μεταξύ τους (x = y + z) προκύπτει εκτελώντας τις πράξεις στη δέκατη πυθαγόρεια αναλογία140: y ( x − z) =  z ( x − y) z( x − z) = y( x − y)  zx − z 2 = yx − y 2  x( y − z ) = y 2 − z 2  ( y − z )( y + z )  ( y − z) x= y+z x= Τίποτα δεν μας εμποδίζει να υποθέσουμε πως ο Fibonacci ‘ανακάλυψε’ τη σειρά που φέρει το όνομά του μέσα από τη μελέτη των πυθαγόρειων αναλογιών και όχι από μια τυχαία παρατήρηση της γονιμότητας των κουνελιών του. 139 Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Inc. , New York 1946, σελ. 5. Σπυρίδης Χ. Χαράλαμπος, «Πυθαγόρειες αναλογικότητες», οι γεννήτορες της αρχαίας Ελληνικής μουσικής, Επετηρίς της Φιλοσοφικής Σχολής, Περίοδος Β΄, τόμος ΛΑ΄, σελ. 215-231. 140 Βλ. Κεφάλαιο 3 ‘Μουσική και μαθηματικά’. 80 Ένα ακόμη στοιχείο που καταδεικνύει τη σχέση της ακολουθίας Fibonacci με την πυθαγόρεια παράδοση είναι η παρατήρηση της σχέσης του γνωστού πυθαγόρειου θεωρήματος με αυτή: Το πυθαγόρειο θεώρημα δηλώνει πως το τετράγωνο της υποτείνουσας κάθε ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του. Μπορούμε να παρατηρήσουμε πως υπάρχει ένας απλός τρόπος για να δείξουμε πως μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο που να υπακούει στο πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιώντας οποιουσδήποτε τέσσερις διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci: Ορίζουμε τους τέσσερις διαδοχικούς όρους της ακολουθίας ως F(n), F(n+1), F(n+2), F(n+3). Η πρώτη κάθετη πλευρά του τριγώνου προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τους δύο μεσαίους όρους δηλ. a = F (n + 1)  F (n + 2) και διπλασιάσουμε το αποτέλεσμα. Η δεύτερη κάθετη πλευρά προκύπτει αν πολλάπλασιάσουμε τους δύο ακραίους όρους δηλ. β = F(n)  F(n+3). Η υποτείνουσα προκύπτει αν προσθέσουμε τα τετράγωνα των δύο μεσαίων 2 2 όρων δηλ. γ = F (n + 1) + F (n + 2) . Για να εξηγήσουμε τα παραπάνω με ένα παράδειγμα, ας υποθέσουμε πως έχουμε τους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci 1, 2, 3 και 5. 23 = 6 6  2 = 12 Η πλευρά α του τετραγώνου μας ισούται με 12. 1 5 = 5 Η πλευρά β του τετραγώνου ισούται με 5. 22 + 32 = 13 Η υποτείνουσα γ του τετραγώνου ισούται με 13. Κατασκευάσαμε έτσι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 5, 12 και 13. Στον πίνακα 3 παρουσιάζονται οι πλευρές των τριγώνων που προκύπτουν χρησιμοποιώντας τους πρώτους δώδεκα όρους της ακολουθίας Fibonacci:141 141 Στον πίνακα εξαιρούμε τον πρώτο όρο της σειράς, το 0, γιατί δεν μπορεί να υπάρξει τρίγωνο με πλευρά 0. 81 α β γ 3 4 3 5 3 5 12 5 13 3 5 8 30 16 34 3 5 8 13 80 39 89 5 5 8 13 21 208 105 233 6 8 13 21 34 546 272 610 7 13 21 34 55 1428 715 1597 8 21 34 55 89 3740 1869 4181 9 34 55 89 144 9790 4869 10946 n F(n) F(n+1) F(n+2) F(n+3) 1 1 1 2 2 1 2 3 2 4 Πίνακας 3 Ένα ακόμη στοιχείο της σχέσης της ακολουθίας Fibonacci με την πυθαγόρεια παράδοση προκύπτει μέσα από τη μελέτη των λόγων των διαδοχικών αριθμών που την απαρτίζουν: 1/1 = 1.000000 1/2 = 0.500000 2/3 = 0.666666 3/5 = 0.600000 5/8 = 0.625000 8/13 = 0.615384 13/21 = 0.619047 21/34 = 0.617647 34/55 = 0.618181 55/89 = 0.617977 89/144 = 0.618055 144/233 = 0.618025 233/377 = 0.618037 Βλέπουμε πως όσο προχωρούν οι λόγοι των διαδοχικών αριθμών που απαρτίζουν την ακολουθία, τείνουν να πλησιάζουν προς τον αριθμό 0.618. 82 Η σχέση της ακολουθίας Fibonacci με τη χρυσή τομή δεν εξαντλείται στη σχέση των διαδοχικών όρων της οι οποίοι τείνουν προς την χρυσή τομή, δηλαδή: lim n → F (n + 1) = F ( n) Μπορούμε επίσης να δούμε πως ισχύουν οι σχέσεις: lim F (n + 2) = 2 F ( n) lim F (n + 3) = 3 F ( n) lim F (n + k ) = k F ( n) n → n→ Άρα ισχύει η γενική σχέση: n → 83 4.4. Η ακολουθία Lucas Η ακολουθία Lucas (ή αριθμοί Lucas) είναι μια σειρά αριθμών στην οποία επίσης κάθε αριθμός της είναι άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών, άρα μοιράζεται την ίδια φιλοσοφία με την ακολουθία Fibonacci. Η σειρά παρουσιάστηκε από το Γάλλο Μαθηματικό, Φρανσουά Λούκας (François Edouard Anatole Lucas 1842-1891) ο οποίος είχε μελετήσει και της ιδιότητες της σειράς Fibonacci. Η ακολουθία Lucas έχει σαν γεννήτορες τους αριθμούς 2 και 1, άρα οι πρώτοι αριθμοί που προκύπτουν είναι: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843 κτλ..... Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η σχέση της ακολουθίας Lucas με την ακολουθία Fibonacci και τη χρυσή τομή – και ως εκ τούτου με την πυθαγόρεια παράδοση. Μπορούμε να δούμε πως, όπως και στην περίπτωση της ακολουθίας Fibonacci, οι διαδοχικοί λόγοι των αριθμών που απαρτίζουν την ακολουθία Lucas προσεγγίζουν τον αριθμό Φ: 2/1 = 2.0000 1/3 = 0.3333 3/4 = 0.7500 4/7 = 0.5714 7/11 = 0.6363 11/18 = 0.6111 18/29 = 0.6206 29/47 = 0.6170 47/76 = 0.6184 76/123 = 0.6178 κτλ. Προκύπτει η γενική σχέση: lim n → L(n + 1) = L( n) 84 Επίσης μπορούμε να δούμε πως αν διαιρέσουμε ένα αριθμό της ακολουθίας Lucas με τον αριθμό που βρίσκεται δύο θέσεις πριν από αυτόν, το αποτέλεσμα που προκύπτει προσεγγίζει το τετράγωνο της χρυσής τομής (0.3819): 2/3 = 0.6666 1/4 = 0.2500 3/7= 0.4285 4/11 = 0.3636 7/18 = 0.3888 11/29 = 0.3793 18/47 = 0.3829 29/76 = 0.3815 47/123 = 0.3821 κτλ. Ισχύει δηλαδή η σχέση: lim n→ L(n + 2) = 2 L ( n) Επίσης μπορούμε να δούμε πως ισχύει η σχέση: lim L(n + 3) = 3 L ( n) lim L( n + k ) = k L( n) n → Αρα ισχύει η γενική σχέση: n → Μπορούμε επίσης να δούμε πως υπάρχει σχέση μεταξύ των αριθμών της ακολουθίας Lucas και της ακολουθίας Fibonacci. Από τη μελέτη του πίνακα των αριθμών των δύο 85 ακολουθιών προκύπτει πως το άθροισμα ενός αριθμού Fibonacci με τον αριθμό που βρίσκεται δύο θέσεις μετά από αυτόν, δίνει ένα αριθμό Lucas: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝐹𝑛 0 1 1 2 3 5 8 13 21 2 1 3 4 7 11 18 29 47 𝐿𝑛 Ισχύει δηλαδή η γενική σχέση: 𝐿𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛+1 Μπορούμε επίσης να βρούμε σχέσεις των αριθμών της ακολουθίας Lucas με αριθμούς της ακολουθίας Fibonacci οι οποίοι απέχουν 2, 3 κτλ. θέσεις από αυτούς. Στην κάθε περίπτωση βλέπουμε πως οι αριθμοί της ακολουθίας Lucas σχετίζονται άμεσα με τη χρυσή τομή και την ακολουθία Fibonacci και ως εκ τούτου και με την Πυθαγόρεια παράδοση. Παρόλο που οι αριθμοί της ακολουθίας Lucas χρησιμοποιούνται στα έργα του Ξενάκη, ο ίδιος ο Ξενάκης δεν έχει κάνει καμιά αναφορά σε αυτή και έτσι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν η χρήση της ακολουθίας Lucas γίνεται συνειδητά ή όχι. Έτσι, από τα παραπάνω μπορούμε να οδηγηθούμε στα εξής συμπεράσματα: 1. Η χρυσή τομή έχει στενή σχέση με την ακολουθία Fibonacci και την ακολουθία Lucas, μια και οι λόγοι των διαδοχικών όρων των δύο ακολουθιών προοδευτικά προσεγγίζουν τη χρυσή τομή. 2. Η ακολουθία Fibonacci και η ακολουθία Lucas σχετίζονται με τη πυθαγόρεια παράδοση μια και η γενική εξίσωση στην οποία υπακούουν οι όροι τους προκύπτει από τη δέκατη πυθαγόρεια αναλογία. 3. Η χρυσή τομή σχετίζεται με τη πυθαγόρεια παράδοση μια και η πρώτη εμφάνισή της είναι στο τέταρτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, για το οποίο το σύνολο των μελετητών συμφωνεί πως αποτελεί μέρος της πυθαγόρειας διδασκαλίας. 86 4.5. Η χρυσή τομή, η ακολουθία Fibonacci και η ακολουθία Lucas στο έργο του Ξενάκη Η χρυσή τομή καθώς και η ακολουθία Fibonacci έπαιξαν σημαντικό ρόλο στα πρώιμα έργα του Ξενάκη. Σε αρκετά από τα πρώτα του έργα βλέπουμε να χρησιμοποιούνται ως μέσα οργάνωσης του ρυθμού κατά κύριο λόγο, αλλά και διαφόρων άλλων παραμέτρων του έργου. Στον πρόλογο του έργου Θυσία του 1953 ο Ξενάκης δικαιολογεί τη χρήση της χρυσής τομής ως εξής: ‘Ο χρυσός αριθμός ή η χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκαν στην αρχιτεκτονική από την Αρχαιότητα. Οι πυραμίδες, ο Παρθενώνας, η Αγία Σοφία, παλάτια της ιταλικής Αναγέννησης όπως και μοντέρνες κατασκευές χαράχτηκαν ακολουθώντας το χρυσό κανόνα. Ο χρυσός κανόνας αποτελεί βιολογικό νόμο της ανάπτυξης. Υπάρχει στις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος, π.χ. η αναλογία του ύψους της κεφαλής και του πλέγματος νεύρων ισούται με το χρυσό αριθμό, οι φάλαγγες των δακτύλων, τα κόκαλα του χεριού και των ποδιών έχουν ως αναλογία το χρυσό αριθμό. Οι μουσικές διάρκειες δημιουργούνται από εκφορτώσεις των μυών που βάζουν σε λειτουργία τα ανθρώπινα μέλη. Είναι προφανές ότι οι κινήσεις τους τείνουν να πραγματοποιούνται σε χρονικά διαστήματα ανάλογα με αυτούς τους αριθμούς. Εξού το πόρισμα: οι διάρκειες που έχουν ως αναλογία το χρυσό αριθμό είναι πιο φυσιολογικές για τις κινήσεις του ανθρώπινου σώματος. Στα μαθηματικά, ο χρυσός αριθμός είναι άρρητος. Στη μουσική δεν είναι δυνατός (εξαίρεση: η ηλεκτρονική μουσική). Ξεκινώντας από τη μονάδα διαρκειών που ένας οποιοσδήποτε μουσικός μπορεί 87 εύκολα να μετρήσει, έφτιαξα τη σειρά’142 Αναφορά Ξενάκη αρ. 23 Όπως ο ίδιος ο Ξενάκης ομολογεί παραπάνω, η ιδέα της χρήσης της χρυσής τομής προέρχεται από την αρχιτεκτονική και το πιθανότερο είναι να τον επηρέασε η επαφή του με τη δουλειά του Le Corbusier. Ο Le Corbusier ανέπτυξε ένα σύστημα αναλογιών, το οποίο ονόμασε modulor και το οποίο είναι βασισμένο στη χρυσή τομή. Ο Ξενάκης υποστήριξε πως η δουλειά του Le Corbusier ήταν βασισμένη πάνω στο γνωστό βιβλίο του Ghyka:143 Ο Le Corbusier ‘ανακάλυψε’ τη χρυσή τομή αφού διάβασε το βιβλίο του Matila Ghyka για αυτή. Το 1920 ο Ghyka δημοσίευσε διάφορα βιβλία για τη σχέση μεταξύ των τεχνών και των μαθηματικών. Ο Le Corbusier διάβασε αυτά τα βιβλία και μετά τα ξέχασε – ή τουλάχιστον αυτό προσποιήθηκε…. Όταν ανάφερα το βιβλίο του Ghyka με ρώτησε: Ποιός είναι αυτός; ….Άλλαξε το όνομα της χρυσής τομής και το ονόμασε modulor.144 Αναφορά Ξενάκη αρ. 24 Το πιο σημαντικό στοιχείο που προκύπτει από την παραπάνω δήλωση είναι η απευθείας σύνδεση του συστήματος αναλογιών του Le Corbusier με τη χρυσή τομή. Θα ήταν ενδιαφέρον να γνωρίζαμε κατά πόσο ο Ξενάκης χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή πριν την συνεργασία του με τον Le Corbusier αλλά κάτι τέτοιο δεν μπορεί να αποδειχτεί. Ο Μάκης Σολωμός πιστεύει πως οι ιδέες που εμφανίζονται στον πρόλογο της Θυσίας – δηλαδή η αντιστοιχία των διαρκειών με τις αναλογίες του σώματος – προέρχονται από το Le Corbusier.145 Η παραπάνω υπόθεση όμως θεωρώ πως είναι αμφίβολη λόγο ενός άλλου σημαντικού στοιχείου: της αναφοράς στο βιβλίο 142 Πρόλογος της παρτιτούρας της Θυσίας. Από Μάκης Σολωμός, Τα Αναστενάρια του Ξενάκη, μια παραδειγματική οπή, Μουσικός λόγος τεύχος 4, Κ. Παπαγρηγορίου – Χ. Νάκας 2002, σελ. 58-81. 143 Ghyka Matila, The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Inc. , New York 1946. 144 Bálint András Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber, London 1996, σελ. 30. 145 Μάκης Σολωμός, ‘Τα Αναστενάρια του Ξενάκη, μια παραδειγματική οπή’, Μουσικός λόγος τεύχος 4, Αθήνα 2002, σελ. 73. 88 του Ghyka. Οι ιδέες που εμφανίζονται στον πρόλογο της Θυσίας είναι πιθανό να προέρχονται από το συγκεκριμένο βιβλίο μια και σχεδόν όλες εμφανίζονται σε αυτό. Η αναφορά στο συγκεκριμένο βιβλίο μας προσφέρει επίσης τη δυνατότητα να υποστηρίξουμε με βεβαιότητα πως ο Ξενάκης γνώριζε τη σύνδεση της ακολουθίας Fibonacci με τη δέκατη αναλογία των πυθαγορείων.146 Ο ίδιος διηγείται πως έκανε αυτοσχέδια πειράματα χρησιμοποιώντας τη χρυσή τομή: ‘Αυτή είναι μια ρυθμική άσκηση βασισμένη πάνω στη χρυσή τομή. Είχα ένα παλιό μαγνητόφωνο που άφηνε ένα μικρό θόρυβο στην κασέτα όταν πατούσες το κουμπί. Όταν το πρόσεξα, το χρησιμοποίησα: μέτρησα το μήκος της ταινίας και σημείωσα συγκεκριμένα σημεία με μολύβι. Πάτησα το κουμπί σε κάθε σημείο και όταν έπαιξα την ταινία οι θόρυβοι ακολουθούσαν ο ένας τον άλλο με βάση τη χρυσή τομή. Με άλλα λόγια, πήρα μια ακριβή ακουστική εικόνα της αναλογίας.’147 Αναφορά Ξενάκη αρ. 25 Σύμφωνα με το Μάκη Σολωμό,148 ο Ξενάκης χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή σε αρκετά από τα πρώτα του έργα αλλά στη συνέχεια την εγκαταλείπει για χάρη πιο περίπλοκων αναφορών. Ο Μάκης Σολωμός εικάζει πως οι λόγοι της εγκατάλειψης της χρυσής τομής είναι ακριβώς η απλοϊκότητα της σε σύγκριση με το συνδυαστικό λογισμό και το λογισμό των πιθανοτήτων, κάτι που φαίνεται να είναι ένας πιθανός λόγος. Η εικασία πως ο Ξενάκης εγκατέλειψε τη χρυσή τομή για να κόψει τους δεσμούς του με τον Le Corbusier μου φαίνεται απίθανη, αφού όπως είδαμε, ο ίδιος δεν θεωρούσε τον Le Corbusier ως αυτόν που είχε την πρωτότυπη ιδέα. Ένας άλλος λόγος είναι η επισήμανση πως πιθανόν ο Ξενάκης να αγνοούσε τη γενικευμένη χρήση της χρυσής τομής από τον Bartok, συμπέρασμα που προκύπτει από τον 146 Όπως έχουμε αναφέρει, η σύνδεση της σειράς Fibonacci με τη δέκατη πυθαγόρεια αναλογία υπάρχει στο βιβλίο του Ghyka, The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Inc. , New York 1946, σελ 5. 147 Bálint András Varga, ο.π., σελ.30. 148 Μάκης Σολωμός, ‘Τα Αναστενάρια του Ξενάκη, μια παραδειγματική οπή’, Μουσικός λόγος τεύχος 4, Αθήνα 2002, σελ. 73. 89 πρόλογο της Θυσίας. Αν ισχύει αυτό, τότε ίσως ο Ξενάκης να εγκατέλειψε τη χρήση της χρυσής τομής όταν ανακάλυψε πως είχε ήδη χρησιμοποιηθεί σε ευρεία έκταση από άλλο συνθέτη. Πάντως, όπως θα δούμε στα επόμενα παραδείγματα, χρήση της ακολουθίας Fibonacci και της χρυσής τομής υπάρχει τουλάχιστον μέχρι το 1985, αν και δεν παρουσιάζονται με τη συχνότητα των πρώτων του έργων. Κατά την άποψή μου δεν υπήρξε κάποιος συγκεκριμένος λόγος εγκατάλειψης της χρυσής τομής και της ακολουθίας Fibonacci. Απλά ο Ξενάκης προχώρησε σε καινούργια μαθηματικά εργαλεία - ας μην ξεχνούμε πως ένα από τα βασικά αιτήματα που έθετε ο ίδιος ήταν αυτό της πρωτοτυπίας. Στα παραδείγματα που ακολουθούν μπορούμε να δούμε τη χρήση της χρυσής τομής, της ακολουθίας Fibonacci και της ακολουθίας Lucas στα πρώτα έργα του Ξενάκη και την εξέλιξη των τρόπων χρησιμοποίησής της από την απλή αντιστοίχηση με ρυθμικά στοιχεία στα πρώιμα του έργα μέχρι τη χρήση της στα γκλισάντι των Μεταστάσεων και τη χρήση τους στην οργάνωση του ρυθμού στην Psappha. 1. Πάτημα γοργό και αυστηρά ισόχρονο Η σύντομη αυτή ρυθμική άσκηση για πιάνο, που χρονολογείται από το 1952, δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά στο περιοδικό Μουσικός Λόγος, τεύχος 4, το 2002. Το πρωτότυπο βρίσκεται στη Μεγάλη Μουσική Βιβλιοθήκη της Ελλάδος Λίλιαν Βουδούρη (δωρεά κ. Ν. Ιωαννίδου). Η έκταση της άσκησης είναι πολύ μικρή και για αυτό τη δημοσιεύουμε ολόκληρη: 90 παράδειγμα αρ. 1, Πάτημα γοργό και αυστηρά Ισόχρονο 91 Όπως βλέπουμε στην παρτιτούρα έχουμε μόνο 4 νότες, δύο στο δεξί χέρι και δύο στο αριστερό: παράδειγμα αρ. 2, τονικά ύψη Πάτημα γοργό και αυστηρά Ισόχρονο Οι νότες εμφανίζονται πάντα με τις ίδιες διάρκειες, στις οποίες ο αριθμός των ογδόων που περιέχουν αντιστοιχεί στους πρώτους όρους της ακολουθίας Fibonacci: Το πρώτο λα 5 όγδοα, το δεύτερο λα 3, το ντο 2 και το φα δίεση 1 όγδοο. 2. Ζυγιά παράδειγμα αρ. 3, Ζυγιά μμ. 1-12 92 Στο έργο Ζυγιά του 1952, ο Ξενάκης οργανώνει εξαρχής τις ρυθμικές αξίες με βάση τους πρώτους όρους της σειράς149 έτσι ώστε τα δέκατα έκτα που περιέχονται σε κάθε μέτρο στο δεξί χέρι του πιάνου είναι (κατ’ αντιστοιχία μέτρου με δέκατα έκτα): 13, 8, 5, 3, 2, 1, 2, 3, 5, 7, 11 (βλ παράδειγμα 3). Το 7 και 11 είναι προφανώς ηθελημένη παρέκκλιση από την ακολουθία Fibonacci, μια και προέρχονται από την ακολουθία Lucas. Το 7 θα χρησιμεύσει αργότερα σαν ostinato. Στα μέτρα 116-165 μπορούμε να διακρίνουμε μια παραλλαγή του προηγούμενου παραδείγματος (Πάτημα γοργό και αυστηρά ισόχρονο): Έχουμε στο πιάνο μόνο τους παρακάτω φθόγγους: παράδειγμα αρ. 4, τονικά ύψη Ζυγιάς μμ. 116-165 149 βλ. François-Bernard Mâche, ‘Η Ελληνικότητα του Ξενάκη’, Μουσικός Λόγος τευχ. 4, Αθήνα 2002, σελ.82- 98. 93 παράδειγμα αρ. 5, Ζυγιά μμ. 115-147 94 Οι νότες στο πιάνο εμφανίζονται πάντα με τις διάρκειες που παρουσιάζονται στο παράδειγμα 4, οι οποίες αντιστοιχούν στους πρώτους τέσσερις όρους της ακολουθίας Fibonacci ως προς τον αριθμό των δεκάτων έκτων που περιέχουν, δηλαδή 5, 3, 2, και 1. Η μόνη διαφορά δηλαδή ως προς το Πάτημα γοργό και αυστηρά ισόχρονο είναι πως στη Ζυγιά τα τονικά ύψη είναι διαφορετικά και η μονάδα μέτρησης των διαρκειών δεν είναι το όγδοο, αλλά το δέκατο έκτο.150 Από το μέτρο 165 μέχρι το μέτρο 184 προστίθενται δύο νέες αξίες με διάρκεια 8 και 13 δέκατα έκτα η κάθε μια, αντιστοιχούν δηλαδή στον 5ο και 6ο όρο της ακολουθίας Fibonacci. Παράδειγμα αρ. 6, τονικά ύψη Ζυγιάς μμ. 165-184 Συνολικά η σειρά των αξιών στα μέτρα 116-184 ως προς τον αριθμό δεκάτων έκτων είναι:151 Δεξί χέρι 2 1 2 1 Αριστερό χέρι 5 3 5 3 5 3 2 1 5 3 3 2 1 3 3 1 2 3 3 3 3 3 5 3 5 5 3 3 5 3 5 3 3 3 5 5 3 5 5 3 1 2 3 3 5 5 3 3 5 2 1 150 2 1 2 1 3 3 3 3 1 2 5 3 5 5 3 Βλ. Μάκης Σολωμός, ‘Ιάννης Ξενάκης, Πάτημα γοργό και αυστηρά ισόχρονο’, Μουσικός Λόγος τευχ. 4, Αθήνα 2002, σελ. 99-101. 151 Σε μερικά σημεία έχω εντοπίσει μικρά τυπογραφικά λάθη στην παρτιτούρα τα οποία έχω διορθώσει. Τα λάθη αυτά τα οποία αφορούν νότες που θα έπρεπε να είναι δεμένες μεταξύ τους αλλά στην παρτιτούρα δεν εμφανίζονται έτσι, είναι πολύ εύκολο να εντοπιστούν αν ακολουθήσει κανείς τη λογική του έργου. Ο πίνακας παρακάτω εμφανίζεται με τις αξίες διορθωμένες. 95 2 1 2 1 2 1 2 1 5 5 1 2 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 1 2 1 2 5 5 2 1 3 1 2 3 3 2 1 3 3 5 5 3 5 3 3 1 2 2 1 2 1 1 2 3 5 5 3 5 5 3 5 5 1 1 1152 5 8 5 3 5 2 1 1 2 2 1 1 2 3 5 8 13 8 5 3 2 1 13 5 3 3 5 8 13 8 5 3 2 1 2 1 5 3 5 3 3 2 1 8 5 3 2 1 2 2 1 3 5 8 13 1 2 13 2 1 2 3 5 5 3 3 5 2 1 8 5 5 5 3 1 2 1 2 3 5 8 3 5 8 1 2 2 1 1 2 1 2 3 5 13 8 5 1 2 3 5 2 1 2 2 1 5 3 8 5 3 3 5 3 5 3 5 3 3 5 8 3 1 2 3 5 2 1 3 Πίνακας 4 152 Στο σημείο αυτό (μέτρο 164) γίνεται μια μικρή παραλλαγή με τον τονισμό του κλάστερ των φθόγγων λα, σι ύφεση, ντο ύφεση που μέχρι εκείνη τη στιγμή παίζουν μόνο με ρυθμική αξία τα 5 δέκατα έκτα. Από το μέτρο 165 η ταχύτητα του έργου είναι πολύ πιο αργή, εισάγονται νέες ρυθμικές αξίες 8 και 13 δεκάτων έκτων και επανεμφανίζεται η χορωδία. 96 Η ακολουθία Fibonacci θα εμφανιστεί ξανά στο τέλος του έργου. Συγκεκριμένα, από το μέτρο 345, ο αριθμός των δεκάτων έκτων που υπάρχουν σε κάθε νότα στη μελωδία του φλάουτου είναι: 13, 8, 5, 3, 2, 1, 2, 3, 5, 9, 7, 1, 2, 3, 5, 1, 2, 3, 5, 1, 2, 3, 5, 1, 7, 13153 Παράδειγμα αρ. 7 , Ζυγιά, μελωδία φλάουτου μμ. 345-359 Από το μέτρο 352 στο αριστερό χέρι του πιάνου οι αξίες προέρχονται και πάλι την ακολουθία Fibonacci με τους ίδιους φθόγγους που αναφέραμε παραπάνω.154 Ο αριθμός δεκάτων έκτων που περιέχει κάθε νότα είναι: 8, 3, 3, 5, 3, 3, 5, 3, 8, 3, 5, 8, 5, 8, 13, 5, 13 Ο James Harley υποστηρίζει πως και η τροπική μελωδία των μέτρων 57-58 είναι επίσης κατασκευασμένη με βάση την ακολουθία Fibonacci:155 153 Παρατηρούμε πως εμφανίζονται ξανά κάποιες παρεκκλίσεις από την αυστηρή εφαρμογή της σειράς. Έτσι, στις αξίες βλέπουμε να έχουν παρεισφρήσει οι αριθμοί 7 και 9 που δεν ανήκουν στη σειρά Fibonacci (ο αριθμός 7 προέρχεται από την ακολουθία Lucas αν και στην προκειμένη περίπτωση σε συνδυασμό με τη χρήση του αριθμού 9, θεωρώ εξαιρετικά αμφίβολο να είχε ο Ξενάκης συνειδητά χρησιμοποιήσει το 7 ως όρο της ακολουθίας Lucas). Όπως αναφέραμε και παραπάνω, το πιο πιθανό είναι να πρόκειται για ηθελημένες παρεκκλίσεις από τον Ξενάκη. 154 Βλ. παράδειγμα 4. 155 Harley James, Xenakis, His life in music, Rougledge, New York 2004, σελ. 5-6. 97 παράδειγμα αρ. 8, Ζυγιά μελωδία μμ. 57-58 Ο τρόπος είναι σίγουρα κατασκευασμένος από τον Ξενάκη και ο J. Harley βασίζει την εκτίμησή του πάνω στο ότι, οι πρώτες βαθμίδες του τρόπου ανεβαίνουν κατά σειρά ένα, δύο και τρία ημιτόνια αντίστοιχα. Παρόλο που είναι πιθανόν να ισχύει αυτή η άποψη – μια και υπάρχει ήδη χρήση της ακολουθίας Fibonacci στο έργο – κανένας δεν μπορεί να ξέρει τι είχε υπόψη του ο ίδιος ο Ξενάκης και αν βασίστηκε στην ακολουθία Fibonacci για την κατασκευή της συγκεκριμένης κλίμακας, ειδικά αφού δεν υπάρχει γραπτή μαρτυρία για αυτό από τον ίδιο τον Ξενάκη. Τα διαστήματα που χρησιμοποιεί – ημιτόνιο, τόνος και τριημιτόνιο – είναι αρκετά συνηθισμένα και το ότι παρουσιάζονται κατά αύξουσα σειρά δεν παραπέμπει εξ’ ορισμού στην ακολουθία Fibonacci. Πιθανή χρήση διαστήματος με 5 ημιτόνια θα έδινε μια πιο ασφαλή απόδειξη χρήσης της ακολουθίας Fibonacci κατά την κατασκευή της τροπικής μελωδίας, κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει. Έτσι, θα θεωρήσουμε πως ο Ξενάκης δεν χρησιμοποίησε την ακολουθία Fibonacci για την κατασκευή του συγκεκριμένου τρόπου. 3. Θυσία Η Θυσία είναι έργο του 1953 και αποτελεί το τρίτο μέρος της ατέλειωτης τριλογίας Αναστενάρια. Το πρώτο μέρος του συνολικού έργου ονομάζεται Πομπή στα καθαρά νερά ενώ το δεύτερο μέρος είναι πιθανότατα οι Μεταστάσεις, παρόλο που ο Ξενάκης τελικά τις παρουσίασε ως ξεχωριστό έργο.156 156 Ο François-Bernard Mâche εκφράζει την άποψη πως οι Μεταστάσεις αποτελούσαν το ενδιάμεσο έργο αλλά ο Μάκης Σολωμός διαφωνεί, αναφέροντας πως αυτό δεν φαίνεται να αποδεικνύεται από τα λεγόμενα του Ξενάκη ή από τα σκίτσα του έργου στα οποία δεν κάνει καμιά αναφορά στα Αναστενάρια. Βλ. και Μάκης Σολωμός, ‘Τα Αναστενάρια…’ Όμως ο Ξενάκης σε συνέντευξή του αναφέρει πως ‘Οι Μεταστάσεις ήταν το τρίτο έργο του 98 Στη Θυσία υπάρχουν μόνο οκτώ τονικά ύψη τα οποία εμφανίζονται πάντα στην ίδια τονική έκταση: παράδειγμα αρ. 9, Θυσία, τονικά ύψη Τα παραπάνω τονικά ύψη συνδυάζονται με οχτώ διάρκειες οι οποίες – παίρνοντας το δέκατο έκτο ως μονάδα μέτρησης – αντιστοιχούν τους οχτώ πρώτους όρους της ακολουθίας Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Οι παραπάνω διάρκειες σε αντιστοιχία με τα τονικά ύψη εμφανίζονται πάντα οι ίδιες στο έργο. Σημείωση: Μπορούμε να διακρίνουμε μια βασική τεχνική στη χρήση της ακολουθίας Fibonacci μέχρι αυτό το σημείο: Τα τονικά ύψη – τα οποία είναι συνήθως περιορισμένα σε αριθμό - αντιστοιχούνται σε όρους της ακολουθίας οι οποίοι πολλαπλασιάζονται με μια βασική αξία που στα πρώτα του έργα ήταν το όγδοο και αργότερα το δέκατο έκτο. Η μοναδική φορά που η ακολουθία χρησιμοποιείται διαφορετικά είναι στα πρώτα μέτρα της Ζυγιάς, όπου ο αριθμός των δεκάτων έκτων που περιέχει κάθε μέτρο είναι όρος της ακολουθίας – τεχνική που ουσιαστικά είναι εξέλιξη της πρώτης. Η ακολουθία δεν φαίνεται να χρησιμοποιείται με άλλο τρόπο στα πρώτα έργα του Ξενάκη εκτός αν θεωρήσουμε ορθή την παρατήρηση του J. Harley157 σχετικά με την κατασκευή τρόπων και τροπικών μελωδιών με βάση την ακολουθία Fibonacci. 4. Μεταστάσεις Στις Μεταστάσεις - το πρώτο αναγνωρισμένο έργο του - ο Ξενάκης εξελίσσει τη χρήση της χρυσής τομής και της ακολουθίας Fibonacci σε σχέση με τα προηγούμενα του έργα. Πέραν τρίπτυχου μετά την Πομπή στα καθαρά νερά και τη Θυσία, αλλά το διαχώρισα από αυτά γιατί ήταν τόσο διαφορετικό και γιατί προχώρησα τόσο πολύ σε αυτό’. βλ. Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996, σελ 73. 157 βλ έργο Ζυγιά. 99 λοιπόν της χρησιμοποίησης τους για την οργάνωση των διαρκειών, στις Μεταστάσεις έχουμε την επέκταση της χρήσης τους στην συνολική οργάνωση του έργου και στους χρωματισμούς. Ο ίδιος ο Ξενάκης αναφέρει πως χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή για την οργάνωση του χρόνου στις Μεταστάσεις158. Το έργο αποτελείται από 346 μέτρα του 1/4 και μπορεί να χωριστεί σε 4 μέρη: Α: 1 – 104, Β: 105 – 202, Γ: 203 – 308, Δ: 309 – 346.159 Παραδείγματα χρήσης της χρυσής τομής μπορούμε να βρούμε σε όλα τα μέρη των μεταστάσεων εκτός από το 2ο μέρος, στο οποίο μπορούμε να δούμε τη μοναδική φορά που ο Ξενάκης χρησιμοποιεί δωδεκαφθογγικές τεχνικές. Το έργο ξεκινά με όλα τα όργανα να παίζουν unisono το μεσαίο σολ (δηλαδή τον πιο χαμηλό φθόγγο του βιολιού). Από το δεύτερο μέτρο όμως το κάθε ένα από τα 46 έγχορδα θα εκτελέσει ένα glissando, ανεξάρτητο από όλα τα υπόλοιπα όργανα – τα βιολιά και οι βιόλες κινούνται προς τα πάνω ενώ τα τσέλα και τα κοντραμπάσα προς τα κάτω - ως προς το σημείο εκκίνησης και τη νότα κατάληξης, καταλήγοντας στο μέτρο 34 (9ος όρος της ακολουθίας Fibonacci) σε ένα γιγαντιαίο cluster.160 Το cluster μένει αναλλοίωτο για 13 μέτρα (7ος όρος της ακολουθίας Fibonacci) - εκτός από ένα crescendo - τα οποία μπορούν να χωριστούν στα πρώτα 8 μέτρα (6ος όρος της ακολουθίας) και στα τελευταία 5 μέτρα (5ος όρος της ακολουθίας) στα οποία στο αρχικό cluster εισχωρούν pizzicati εγχόρδων. Στη συνέχεια έχουμε ένα tremolo με τους ίδιους φθόγγους του cluster το οποίο διαρκεί 8 μέτρα (6ος όρος της ακολουθίας) τα οποία μάλιστα χωρίζονται σε 5+3 (5ος και 4ος όρος της ακολουθίας) μέτρα από ένα χτύπημα στην κασετίνα (wood block). Φτάνουμε έτσι στο μέτρο 55 (10ος όρος της ακολουθίας) όπου το cluster – και μαζί το συνεχές crescendo – διακόπτεται για 3 μέτρα (4ος όρος της ακολουθίας) από χτυπήματα στο τρίγωνο και στο ξυλόφωνο. Καθ’ όλη τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας από τον αρχικό φθόγγο σολ δεν υπάρχουν καθόλου μελωδικά ή ρυθμικά σχήματα αλλά εμφανίζονται μεμονωμένα μουσικά συμβάντα όπως χτυπήματα στην κασετίνα, των οποίων η χρονική συνέχεια καθορίζεται πάλι από την ακολουθία Fibonacci. Η σειρά των χτυπημάτων μετρημένη σε τέταρτα είναι: 158 Bálint András Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber, London 1996, σελ. 72-73. 159 βλ. Άγις Ιωαννίδης, ‘Μεταστάσεις’ του Ιάννη Ξενάκη και οι αφετηρίες μιας νέας γλώσσας στη σύγχρονη μουσική, ομιλία στο πρώτο συνέδριο σύγχρονης Ελληνικής μουσικής «Σόλων Μιχαηλίδης», Λευκωσία 25-27 Απριλίου 2002. 160 Βλ. Παράδειγμα αρ. 10, πρώτη σελίδα των Μεταστάσεων. 100 2, 1, 5, 3, 2, 1, 3/2, 5/2, 5 Παρατηρούμε πως - για λίγο - μετρική μονάδα δεν είναι το τέταρτο αλλά το όγδοο, μια υποδιαίρεση της αξίας που αντιστοιχεί προς τη διαδικασία της σμίκρυνσης και συνοδεύεται από παροδική αύξηση της έντασης. Ακολούθως το tremolo ξαναρχίζει και αυτή τη φορά μπορούμε να διακρίνουμε την ακολουθία Fibonacci στη διάρκεια των εντάσεων. Έχουμε κατά σειρά 1 μέτρο pp, 5 μέτρα fff, 1 μέτρο p, 3 μέτρα fff, 1 μέτρο p, 8 μέτρα fff, έχουμε δηλαδή χρησιμοποίηση των αριθμών της ακολουθίας Fibonacci για των αριθμό του συνολικού αριθμού των μέτρων που διαρκούν οι εντάσεις. Αυτή είναι και η πρώτη φορά που ο Ξενάκης χρησιμοποιεί την ακολουθία για διαμόρφωση των εντάσεων. Εδώ εισάγονται σταδιακά τα χάλκινα πνευστά παίζοντας με διάφορες τεχνικές και τρόπους - όπως γκλισάντι ή flutter tongueδημιουργώντας μια ηχητική μάζα φτιαγμένη από άνισες και μη συγχρονισμένες περιοδικές κινήσεις. Στο τέλος του πρώτου μέρους βλέπουμε να ακολουθείτε η ανάποδη διαδικασία από αυτή στην αρχή του έργου: στα μέτρα 78-85 (8 μέτρα, 6ος όρος της ακολουθίας Fibonacci) υπάρχει ένα cluster με τρέμολο σε όλα τα έγχορδα, ενώ από το μέτρο 86 μέχρι το τέλος του πρώτου μέρους τα όργανα με ένα νέο γλισάντι καταλήγουν σε μια τετράφωνη συγχορδία (ΜΙ, Σολ#, Ρε#, Λα). Εκτεταμένη χρήση της ακολουθίας Fibonacci βρίσκουμε επίσης και στο τέλος του έργου.161 Από το μέτρο 317 μέχρι 345 τα έγχορδα εκτελούν μαζικά glissandi (σε διαφορετική κλίση το κάθε όργανο) αλλάζοντας φορά και δυναμική με βάση αριθμούς μέτρων από τη σειρά. Συγκεκριμένα: Τα μέτρα 317, 325, 330, 333 και 345 αντιπροσωπεύουν σταθερές νότες – σημεία, στα οποία γίνετε αλλαγή δυναμικής και φοράς/κλίσης των γκλισάντο των εγχόρδων. 1. Μ. 317-324 (8 μέτρα, 6ος όρος της ακολουθία Fibonacci) : Η δυναμική ξεκινά από ppp και καταλήγει σε fff με κρεσέντο. Τα κοντραμπάσα, βιολοντσέλα, βιόλες και 2α βιολιά εκτελούν μικτά (ανιόν ή κατιόν) γκλισάντο. Τα 1α βιολιά εκτελούν για 5 μέτρα (5ος όρος της ακολουθίας) ανιόν γκλισάντο και για άλλα 3 (4ος όρος της ακολουθίας) ανιόν γκλισάντο. 161 Βλ. Παράδειγμα αρ. 11, τελευταία σελίδα των Μεταστάσεων. 101 παράδειγμα αρ. 10, Μεταστάσεις μμ. 1-34 102 2. Μ. 325-329 (5 μέτρα, 5ος όρος της ακολουθίας Fibonacci) : Η δυναμική ξεκινά απο fff και καταλήγει σε p με ντιμινουέντο. Σε όλα τα όργανα υπάρχει αλλαγή φοράς του προηγούμενου γκλισάντο ή συνέχιση της ίδιας φοράς με διαφορετική κλίση. 3. Μ. 330 -332 (3 μέτρα, 4ος όρος της ακολουθία Fibonacci) : Η δυναμική ξεκινά από p και καταλήγει σε fff με κρεσέντο. Σε όλα τα όργανα υπάρχει αλλαγή φοράς του προηγούμενου γκλισάντο ή συνέχιση της ίδιας φοράς με διαφορετική κλίση. 4. Μ. 333-345 (13 μέτρα, 7ος όρος της ακολουθίας Fibonacci) : Όλα τα όργανα καταλήγουν στην ίδια νότα (σολ# στο 4ο διάστημα του κλειδιού του φα) και παραμένουν σταθερά. Υπάρχουν όμως αλλαγές στις δυναμικές: 2 μέτρα (3ος όρος της ακολουθίας) από fff σε p, 1 μέτρο (2ος όρος της ακολουθίας) από p σε fff και 9 μέτρα από fff σε ppp (το 9 φυσικά δεν ανήκει στην ακολουθία Fibonacci και πιθανόν να είναι ηθελημένη παρέκκλιση από τον Ξενάκη). 103 Παράδειγμα αρ. 11, Μεταστάσεις μμ. 334-345 104 5. Psappha Το έργο Psappha162 του 1976 για σόλο κρουστά μας δίνει ακόμα ένα παράδειγμα χρήσης της ακολουθίας Fibonacci για την οργάνωση του χρόνου. Η παρτιτούρα του έργου είναι σε μορφή πλέγματος στο οποίο σημειώνονται με τελείες οι ατάκες (attacks) των κρουστών ξεφεύγοντας έτσι από την παραδοσιακή σημειογραφία. Τα όργανα που χρησιμοποιούνται είναι χωρισμένα σε ομάδες163 και δεν καθορίζονται παρά μόνο σε γενικές γραμμές. Το πλέγμα πάνω στο οποίο σημειώνονται οι ατάκες των κρουστών δημιουργεί συνολικά 2396 χρονικές μονάδες. Μπορούμε να διακρίνουμε 6 τμήματα στο έργο τα οποία διακρίνονται από τις διαφορές στο τέμπο και τις διαφορές στις ομάδες οργάνων που χρησιμοποιούνται: Α/Α Διάρκεια Μετρονόμος Ομάδες οργάνων 1 0 – 740  152 ABC 2 740 – 990  272 ABC 3 990 – 1203  110 A1 B2 C3 4 1203 – 1610  110 A B C3 D E 5 1610 – 2175  110 ως  134 A B C3 D E 6 2175 – 2396  152 C3 F Πίνακας 5 Η ακολουθία Fibonacci χρησιμοποιείται στο τελευταίο μέρος του έργου για να καθοριστούν τα σημεία τονισμού του οργάνου C3. Το όργανο καθ’ όλη τη διάρκεια του τελευταίου μέρους παίζει σε κάθε χρονικό σημείο τονίζοντας όμως συγκεκριμένα σημεία. Τα σημεία που τονίζονται είναι: 2176, 2178, 2179, 2181, 2184, 2189, 2192, 2194, 2195, 2196, 2198, 2200, 2202, 2204, 2206, 2208, 2210, 2212, 2214, 2217, 2219, 2224, 2226, 2227, 2228, 2230, 2233, 2236, 2238, 2241, 162 Ψάπφα, το αρχαϊκό όνομα της ποιήτριας Σαπφώς στην οποία είναι αφιερωμένο το έργο. 163 Οι ομάδες οργάνων είναι A1-3, B1-3, C1-3, D1-3, E1 και F1-3. Τα όργανα ταξινομούνται ανάλογα με το υλικό το οποίο είναι κατασκευασμένα (δέρμα, μέταλλο ή ξύλο) και την έκταση τους. Ο Ξενάκης καθορίζει τα γενικά χαρακτηριστικά των οργάνων, αφήνοντας εν μέρει ελεύθερο τον εκτελεστή να κάνει την ακριβή επιλογή τους. 105 2242, 2245, 2246, 2249, 2250, 2252, 2253, 2255, 2257, 2260, 2265, 2273, 2286, 2307, 2341, 2396. Οι διαφορές μεταξύ των τονισμών είναι: 2, 1, 2, 3, 5, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Όπως παρατηρούμε, οι τονισμοί μέχρι το χρονικό σημείο 2255 ακολουθούν τους πρώτους όρους της ακολουθίας Fibonacci σε τυχαία σειρά, ενώ από το 2255 μέχρι το τέλος οι τονισμοί ακολουθούν τους όρους κατά αύξουσα σειρά. Παράδειγμα αρ. 12, Psappha τελευταία σελίδα 106 6. Idmen B Το έργο Idmen B για 6 εκτελεστές κρουστών και μιχτή χορωδία αποτελεί μέρος του έργου Idmen, το οποίο είναι εμπνευσμένο από τη Θεογονία του Ισιόδου, και αποτελείται από δύο μέρη τα οποία χωρίζονται σε τρεις κινήσεις το καθένα. Παρόλο, που τα δύο μέρη μπορούν να εκτελεστούν μόνα τους, είναι σχεδιασμένα έτσι ώστε να αλληλοκαλύπτονται: Α1-Β1-Α2-Β2Α3-Β3. Χρήση της ακολουθίας Fibonacci υπάρχει στο πρώτο μέρος του Idmen B, κατά το οποίο οι 6 εκτελεστές κρουστών χωρίζονται σε δύο ομάδες οι οποίες εκτελούν το βασικό ρυθμικό σχήμα 2-3-3-2-2. Η μουσική κινείται από τη μια ομάδα στην άλλη με διάρκειες που προέρχονται από τους πρώτους όρους της ακολουθίας δηλ. 2, 3, 5 και 8. 4.6. Συμπεράσματα Η χρυσή τομή αποτελεί ένα τεράστιο κεφάλαιο για τις τέχνες και ειδικότερα για τη μουσική. Αρκετοί συνθέτες, όπως ο Μότσαρτ και ο Μπάρτοκ, είχαν χρησιμοποιήσει τη χρυσή τομή στα έργα τους πριν από τον Ξενάκη, είναι άγνωστο όμως αν ο ίδιος το γνώριζε. Από τα στοιχεία που παραθέσαμε είναι φανερή η σχέση της χρυσής τομής με την ακολουθία Fibonacci, καθώς και η σχέση των δύο με την πυθαγόρεια παράδοση. Είναι άγνωστο αν ο ίδιος ο Ξενάκης γνώριζε αυτή τη σύνδεση, αν και όπως αναφέραμε έχουμε σίγουρα την πληροφορία πως ο Ξενάκης γνώριζε τη σχέση της ακολουθίας Fibonacci με τη δέκατη πυθαγόρεια αναλογία. Από τα παραδείγματα βλέπουμε πως η χρυσή τομή και η ακολουθία Fibonacci έπαιξαν σημαντικό ρόλο στα πρώτα έργα του Ξενάκη. Χρήση των δύο αυτών μαθηματικών εργαλείων υπάρχει σε όλη τη διάρκεια της συνθετικής πορείας του Ξενάκη αλλά σε πολύ μικρότερο βαθμό από τα πρώτα του έργα. Αποτελούν δε, ένα σημαντικό παράδειγμα χρήσης των πυθαγόρειων διδασκαλιών μέσα στα έργα του Ξενάκη αλλά και ακόμα ένας συνδετικός κρίκος του έργου του με το πνεύμα και τις διδασκαλίες της Αρχαίας Ελλάδας. 107 Κεφάλαιο 5: Η αναζήτηση για μια ‘παγκόσμια μουσική’ και το πυθαγόρειο πρότυπο Μέρος 5.1.: Το πυθαγόρειο πρότυπο 5.1.1. Εισαγωγή Παρακολουθώντας την πορεία του Ξενάκη μέσα από τα έργα του, μπορούμε να διαπιστώσουμε τη συνεχή αναζήτηση για νέες κατευθύνσεις και την αμφισβήτηση ακόμα και των δικών του μοντέλων σύνθεσης. Θα διαφωνήσω με την άποψη πως αυτό οφείλεται στο ότι μετά τα πρώτα έργα που συνέθετε με την εκάστοτε θεωρία εξαντλούσε την καλλιτεχνική αξία των παραγόμενων έργων. Κατά την άποψή μου, η συνεχής αναζήτηση νέων μαθηματικών μοντέλων είναι η λογική πορεία προς την αναζήτηση του Ξενάκη για μια παγκόσμια μουσική, μια μουσική που θα αντανακλούσε το πνεύμα και τις αναζητήσεις όλων των ανθρώπων και η οποία - κατά τον Ξενάκη - μπορούσε να γίνει πραγματικότητα μόνο μέσα από μαθηματικές διαδικασίες. Η προσπάθεια αυτή μπορεί να παραλληλιστεί με την αναζήτηση των πυθαγορείων για ενοποίηση όλων των πραγμάτων του σύμπαντος μέσω των αριθμών, προσπάθεια που όπως θα δούμε παρακάτω ξεκίνησε μέσα από τη μουσική. Η όλη πορεία της Δυτικοευρωπαϊκής μουσικής κατά τον 20ο αιώνα θέτει ακριβώς το πρόβλημα της μουσικής θεμελίωσης και της ενοποίησης των μουσικών παραμέτρων. Οι σειραϊστές έφτασαν στις δικές τους λύσεις μέσα από την αναγωγή του αριθμού 12 σε κυρίαρχο στοιχείο της μουσικής. Ο Ξενάκης θα απορρίψει εξαρχής τη συγκεκριμένη λύση: ‘γιατί 12 και όχι 13 ή ν φθόγγους;’ αναρωτιέται ήδη από το 1954.164 164 Iannis Xenakis, La crise de la musique sérielle, Gravesaner Blätter 1, 1954. Εδώ από Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 55. 108 Η λύση – κατά τον Ξενάκη - είναι η χρήση μαθηματικών μοντέλων στη μουσική σύνθεση καταφεύγοντας έτσι στο πυθαγόρειο ιδεώδες ‘τα πάντα είναι αριθμός’. Ο αριθμός - και κατά συνέπεια τα μαθηματικά - είναι κάτι που η παγκοσμιότητα του δεν μπορεί να αμφισβητηθεί μια και οι νόμοι που τον διέπουν ισχύουν για όλους, ανεξαρτήτως εθνικότητας, κουλτούρας ή εκπαίδευσης. Ο ίδιος ο Ξενάκης, αναφερόμενος στη μαθηματική λογική σε σχέση με τη μουσική σύνθεση δηλώνει πως τα μαθηματικά είναι ‘ένα εργαλείο αλλά και μια παγκόσμια γλώσσα’. Το όλο θέμα προσομοιάζει με την αναζήτηση των πυθαγορείων για ενοποίηση όλων των στοιχείων που αποτελούν το σύμπαν μέσα από τους αριθμούς, έρευνα που όπως θα δούμε παρακάτω, ξεκίνησε μέσα από μια μουσική παρατήρηση και οδήγησε τελικά σε μια από τις βασικές πυθαγόρειες διδασκαλίες, την πεποίθηση δηλαδή πως ‘τα πάντα είναι αριθμός’. 5.1.2. ‘Τα πάντα είναι αριθμός’, η κυριαρχία του αριθμού στην πυθαγόρεια διδασκαλία Όταν οι πυθαγόρειοι μιλούν για τους αριθμούς, έχουν μια εντελώς διαφορετική αντίληψη από τη σύγχρονη αντίληψη περί του ίδιου θέματος. Για τους πυθαγορείους, ο αριθμός παίρνει μια μεταφυσική διάσταση, βρίσκεται στην καρδιά της διδασκαλίας τους και ‘χρησιμοποιείται’ σε θέματα τα οποία βρίσκονται εντελώς έξω από το πεδίο των αριθμών, όπως η πολιτική, η ηθική και η ψυχολογία. Στην πραγματικότητα για τους Πυθαγορείους ο αριθμός δεν ‘χρησιμοποιείται’: ο αριθμός είναι κάτι ζωντανό, του οποίου ‘η φύση πρέπει να ανακαλυφθεί…είναι μια παγκόσμια αρχή, πραγματική όσο το φως και ο ήχος’.165 Όπως μας πληροφορεί ο Αριστοτέλης: 1. «"Ἐν δὲ τούτοις και πρὸ τούτων οἱ καλούμενοι πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον, καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τἀς τοὺτων ἀρχὰς τῶν ὂντων ἀρχὰς ὠήθησαν εἶναι πἀντων. Ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι, τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις, μᾶλλον ἣ ἐν πυρὶ καὶ γῆ καὶ ὔδατι, ὄτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος 165 Guthrie Kenneth Sylvan, The Pythagorean sourcebook and Library, Phanes Press, Michigan USA 1998, σελ. 21. 109 δικαιοσὺνη, τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχὴ καὶ νοῦς, ἕτερον δὲ καιρὸς, καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως˙ ἒτι δὲ τῶν ἁρμονικῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους, ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνοντο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν, οἱ δ’ ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι, τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὂντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι, καὶ ἀριθμόν˙ καὶ ὃσα εἶχον ὀμολογούμενα δεικνύναι ἔν τε τοῖς ἀριθμοῖς καὶ ταῖς ἁρμονίαις πρὸς τὰ τοῦ οὐρανοῦ πάθη καὶ μέρη καὶ πρὸς τὴν ὅλην διακόσμησιν, ταῦτα συνάγοντες ἐφήρμοττον. κἄν εἴτί που διέλειπε, προσεγλίχοντο τοῦ συνειρομένην πᾶσαν αὐτοῖς εἶναι τὴν πραγματείαν.»166 2. «καὶ οἱ πυθαγόρειοι δ’ ἕνα, τὸν μαθηματικόν (ἀριθμόν), πλὴν οὐ κεχωρισμένον ἀλλ’ ἐκ τούτου τὰς αἰσθητὰς οὐσίας συνεστάναι φασὶν. τὸν γὰρ ὅλον οὐρανὸν κατασκευάζουσιν ἐξ ἀριμθῶν, πλὴν οὐ μοναδικών, αλλὰ τὰς μονάδας ὑπολαμβάνουσιν ἔχειν μέγεθος˙ ὃπως δὲ τὸ πρῶτον ἐν 166 Αριστοτέλης, Μετά τα φυσικά 985b 20 – 986a 5, από Aristotle, The Metaphysics, books i-ix, Harvard University press, London 1989, σελ.30-32 (Την ίδια περίπου εποχή με αυτούς ή και πριν από αυτούς οι λεγόμενοι πυθαγόρειοι καταπιάστηκαν πρώτοι με τα μαθηματικά και όχι μόνο τα ανέπτυξαν αλλά, καθώς αυτά τους έγιναν δεύτερη φύση, θεώρησαν ότι οι αρχές τους είναι αρχές των όντων. Επειδή λοιπόν στα μαθηματικά οι αριθμοί έρχονται από τη φύση τους πρώτοι και επειδή θεωρούσαν ότι στους αριθμούς βλέπουν πολλές ομοιότητες με τα όντα και τα γεγονότα, περισσότερες απ’ ό,τι στη φωτιά, στη γη και στο νερό, ότι ο τάδε αριθμός με τις συγκεκριμένες ιδιότητες είναι η δικαιοσύνη, ο τάδε η ψυχή και ο νους, ο άλλος ο καιρός και ούτω καθ’ εξής, επειδή στους αριθμούς ακόμα έβλεπαν τις ιδιότητες και τις σχέσεις των μουσικών αρμονιών, αφού λοιπόν όλα τα άλλα όντα φαίνονταν να είναι τέλεια απεικόνιση των αριθμών και αφού οι αριθμοί είναι πρωταρχικοί σε ολόκληρη τη φύση, θεώρησαν ότι τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων και ότι ολόκληρος ο ουρανός δεν είναι παρά αρομονία και αριθμός. Όσες λοιπόν αναλογίες μπορούσαν να δείξουν ανάμεσα στους αριθμούς και στις αρμονίες αφ’ ενός, και στις μεταβολές, τα μέρη του ουρανού και τη γενική διάταξη του κόσμου αφ’ ετέρου, τις συγκέντρωσαν και τις ενσωμάτωσαν στο σύστημά τους. Αν πάλι τους έλειπε κάποια αντιστοιχία, προσπαθούσαν με κάθε τρόπο να τη συμπληρώσουν, ώστες ολόκληρη η θεωρία τους να έχει συνοχή – μτφ. από Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 40-43). 110 συνέστη ἔχον μἐγεθος, ἀπορεῖν ἐοίκασιν.»167 Από τα παραπάνω αποσπάσματα βλέπουμε πως ο Αριστοτέλης θεωρεί ότι οι πυθαγόρειοι ταυτίζουν κυριολεκτικά τους αριθμούς με τα υλικά πράγματα, κάνοντας τους κριτική για αυτό. Επίσης από το πρώτο απόσπασμα θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε πως οι πυθαγόρειοι είναι ουσιαστικά οι δημιουργοί των ελληνικών μαθηματικών. Οι G.S. Kirk, J.E. Raven και M. Schofield κάνοντας κριτική στον Αριστοτέλη αναφέρουν: ‘Στην πραγματικότητα, εκείνοι που έβαλαν τα θεμέλια της γεωμετρίας και ήταν υπεύθυνοι για τις περισσότερες από τις σημαντικές προόδους της ως τον 4ο αιώνα ήταν οι Έλληνες της Ιωνίας… Ακόμα λιγότερο αληθοφανής είναι ο ισχυρισμός του Αριστοτέλη ότι η δουλειά τους στα μαθηματικά οδήγησε τους πυθαγορείους στους στοχασμούς τους γύρω από τον αριθμό και την αρμονία… Εκείνο που εκφράζουν οι ιδέες που περιγράφονται είναι η γοητεία των φανταστικών συμβολικών δυνάμεων των αριθμών, όχι κάποια βαθύτερη μαθηματική έρευνα. Εκείνο που κάνει τους πυθαγορείους να ταυτίζουν π.χ. το γάμο με τον αριθμό 5, ως άθροισμα του πρώτου «θηλυκού» και του πρώτου «αρσενικού» αριθμού168 είναι ο στοχασμός γύρω από την απλή αλήθεια ότι 2+3=5’169 Ακόμα μια χαρακτηριστική αναφορά που μας δείχνει την κυριαρχία του αριθμού στη σκέψη των πυθαγορείων μπορούμε να βρούμε στο Θέωνα τον Σμυρναίο: «ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμὸν ἐμπεριέχουσα πᾶσαν φὑσιν ἐντὸς αὑτῆς, ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ κινουμένου τε καὶ ακινήτου ἀγαθοῦ και κακοῦ˙ περὶ ἧς καὶ Ἀ. ἐν τῶι τῆς δεκάδος καὶ Φιλόλαος ἐν 167 Αριστοτέλης, Μετά τα φυσικά 1080b 16, από Diels/Kranz, Die Fragmente der vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989, σελ. 453 (και οι πυθαγόρειοι είναι της γνώμης ότι υπάρχει ένα μοναδικό έίδος αριθμού, ο μαθηματικός, μόνο που δεν είναι χωρισμένος, αλλά από αυτόν, λένε, συνιστώνται οι αισθητές ουσίες. Διότι αυτοί κατασκευάζουν ολόκληρο το σύμπαν από αριθμούς, ωστόσο όχι από αριθμούς που αποτελούνται από μονάδες, αλλά εκλαμβάνουν τις μονάδες ως διαθέτουσες μέγεθος απ’ ό,τι φαίνεται όμως αντιμετωπίζουν πρόβλημα με το πως συστάθηκε το πρώτο ένα ώστε να έχει μέγεθος – μτφ. από Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 48-51). 168 169 Αριστοτέλης, σύμφωνα με τον Αλέξανδρο, εις Μετ. 39, 8. Kirk G. S. – Raven J. E. – Schofield M., Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα 1998, σελ. 345. 111 μτφ. Δημοσθένης Κούρτοβικ, τῶι Περὶ φύσιος πολλὰ διεξίασιν»170 Το θέμα που μας ενδιαφέρει είναι η οικουμενικότητα του αριθμού όπως εκφράζεται από τους πυθαγορείους. Πέραν των όσων ο Αριστοτέλης αναφέρει στην κριτική του, οι πυθαγόρειοι φαίνεται να είδαν μέσα από τα μαθηματικά τον ενωτικό κρίκο για όλα τα στοιχεία της φύσης καθώς και το κλειδί για την κατανόηση του σύμπαντος. Ακόμα και ο Αριστοτέλης ‘αναλύει την πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών, για να υποδηλώσει ότι σκοπός της διδασκαλίας αυτής ήταν να διακηρύξει πως ο κόσμος και ό,τι συμβαίνει μέσα σ’ αυτόν χαρακτηρίζεται από μια απόλυτα κατανοητή τάξη, της οποίας συμβολική έκφραση αποτελούν οι αριθμοί’.171 Τι ήταν όμως αυτό που ώθησε τους πυθαγορείους στην αναζήτηση συνεκτικών δεσμών μέσα από τα μαθηματικά; Από τα κείμενα τα οποία έχουμε, η πιο πιθανή εξήγηση είναι πως το έναυσμα προς αυτή την κατεύθυνση έδωσε η ανακάλυψη που αποδίδεται στον Πυθαγόρα σχετικά με τα σύμφωνα μουσικά διαστήματα και αναφέρεται από τον Ιάμβλιχο. Ο Πυθαγόρας ‘κατά δαιμονική σύμπτωση’ φαίνεται να αντιλήφθηκε πως οι συμφωνίες της ογδόης, πέμπτης και τέταρτης μπορούν να εκφραστούν με τις απλές αναλογίες 2:1, 3:2 και 4:3 αντίστοιχα. Η συγκεκριμένη ανακάλυψη ήταν μεγάλης σημασίας για την πρώτη πυθαγόρεια κοινότητα και είναι πιθανόν να δημιούργησε τη σκέψη πως ‘αφού μπορούν να ανακαλυφθούν αριθμητικές σχέσεις μέσα στον ήχο, για ποιο λόγο να μην υπάρχουν αριθμητικές σχέσεις μεταξύ των πάντων;’ Αυτό – κατά τον Αριστοτέλη - οδήγησε τους πυθαγορείους σε μια ποσοτική ερμηνεία του σύμπαντος θεωρώντας τους αριθμούς τις υλικές και μορφικές αιτίες των πραγμάτων. Ο Αριστοτέλης όμως, όπως είπαμε και πιο πάνω, πιθανότατα κάνει λάθος όταν λέει πως οι πυθαγόρειοι θεωρούσαν τους αριθμούς ως τις υλικές αιτίες των πραγμάτων Ο W.K.C Guthrie 170 Θέων Σμυρναίος (Theon Smyrna ed. Hiller σελ. 106, 7 47 B 5) από Diels/Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989, σελ. 438 (Η δεκάδα λοιπόν αποτελεί το πέρας όλων των αριθμών, εμπεριέχοντας μέσα της κάθε φύση, και του περιττού και του άρτιου, και του κινούμενου και του ακίνητου, και του καλού και του κακού. Για’ αυτήν αναφέρουν πολλά και ο Αρχύτας στο Περί της δεκάδος και ο Φιλόλαος στο Περί φύσεως – μτφ από Προσωκρατικοί 13, Αρχύτας, Οκκέλος, Τίμαιος, Ικέτας, Έκφαντος, Ξενόφιλος, Διοκλής, Εχεκράτης, Πολύμναστος, Φάντων, Αρίων, Πρόρος, Αμύκλας, Κλεινίας, Δάμων και Φιντίας, Σίμων, Μυωνίδης, Ευφράνωρ, Λύκων, Κατάλογος Ιάμβλιχου, Ανώνυμοι Πυθαγόρειοι, Άκουσμα- Σύμβολα, εκ του Αριστόξενου Πυθαγορικών αποφάσεων και Πυθαγορικού βίου, Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 58-59). 171 Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 35-36. 112 πιστεύει πως οι πυθαγόρειοι – σε αντίθεση με τους Μιλήσιους που προσπαθούσαν να εξηγήσουν τα πράγματα με βάση την ύλη τους – προσπάθησαν να καθορίσουν τα πράγματα σε σχέση με τη μορφή τους.172 Μέσα από την κριτική του Αριστοτέλη, μπορούμε να διακρίνουμε δύο διαφορετικά δόγματα των πυθαγορείων για τους αριθμούς: 1. Τα πράγματα είναι αριθμοί οἱ μὲν καλούμενοι πυθαγόρειοι ταἴς μὲν άρχαἴς καὶ τοἴς στοιχείοις ἐκτοπωτέροις χρῶνται τῶν φυσιολόγων (τὸ δ’αἴτιον ὄτι παρέλαβον αὐτὰς οὐκ ἐξ αἰσθητῶν˙ τὰ γὰρ μαθηματικὰ τῶν ὄντων ἄνευ κινήσεώς ἐστιν, ἔξω τῶν περὶ τὴν ἀστρολογίαν), διαλέγονται μέντοι καὶ πραγματεύονται περὶ φύσεως πάντα˙ γεννῶσί τε γὰρ τὸν οὐρανόν, καὶ περὶ τὰ τούτου μέρη καὶ τὰ πάθη καὶ τὰ ἔργα διατηροῦσι τὸ συμβαῖνον. καὶ τὰς ἀρχὰς καὶ τὰ αἴτια εἰς ταῦτα καταναλίσκουσιν, ὡς ὁμολογοῦντες τοἴς ἄλλοις φυσιολόγοις ὄτι τὸ γε ὄν τοῦτ’ ἐστὶν ὅσον αἰσθητὸν ἐστι καὶ περιείληφεν ὁ καλούμενος οὐρανός. τὰς δ’ αἰτίας καὶ τὰ ἀρχάς, ὥσπερ εἴπομεν, ἱκανὰς λέγουσιν ἐπαναβῆναι καὶ ἐπὶ τὰ ἀνωτέρω τῶν ὄντων, καὶ μᾶλλον ἤ τοῖς φύσεως λόγοις ἁρμοττούσας. ἐκ τίνος μέντοι τρόπου κίνησις ἔσται πέρατος καὶ ἀπείρου μόνον ὑποκειμένων καὶ περιττοῦ καὶ ἀρτίου, οὐθὲν λέγουσιν, ἤ πῶς δυνατόν ἄνςυ κινήσεως και μεταβολῆς γένεσιν εἴναι καὶ φθορὰν ἤ τὰ τῶν φερομένων ἔργα κατὰ τὸν οὐρανόν. 173 172 Guthrie W. K. C. , A History of Greek Philosophy vol. I, The earlier presocratics and the Pythagoreans, Cambridge University Press, Cambridge 1971, σελ. 238. 173 Αριστοτέλης, Μετά τα φυσικά 989 b29, από Diels/Kranz, Die Fragmente der vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989, σελ. 456 (Οι αποκαλούμενοι πυθαγόρειοι μεταχειρίζονται αρχές και στοιχεία πιο ασυνήθιστα από των φυσιολόγων (και αυτό συμβαίνει επειδή άντλησαν τις αρχές από όντα που δεν είναι αισθητά, δεδομένου ότι τα μαθηματικά αντικείμενα, εκτός βέβαια από αστρονομικά, στερούνται κινήσεως), παρ’ όλα αυτά διερευνούν και πραγματεύονται όλα τα θέματα που αφορούν τη φύση. Πράγματι, εξηγούν τη γέννηση του ουρανού, παρατηρούν τι συμβαίνει με τα μέρη του, την κατάσταση και τη λειτουργία του και εφαρμόζουν εξαντλητικά τις αρχές και τις 113 ἔτι δὲ πῶς λαβεῖν μὲν εἴναι τὰ τοῦ ἀριθμοῦ πάθη κα]τὸν ἀριθμόν τῶν κατὰ τὸν οὐρανόν ὄντων καὶ γιγνομένων καὶ ἐξ ἀρχῆς καὶ νῶν, ἀριθμὸν δ’ἄλλον μηθένα εἴναι παρὰ τὸν ἀριθμὸν τοῦτον ἐξ οὖ συνέστηνκεον ὁ κόσμος; ὅταν γάρ ἐν τωιδὶ μὲν τῶι μέρει δόξα καὶ <τόλμα, ἐν τωιδὶ δὲ> καιρὸς αὐτοἴς ἦι, μικρὸν δὲ ἄνωθεν ἤ κὰτωθεν ἀδικία καὶ κρίσις ἤ μίξις, ἀπόδειξιν δὲ λέγωσιν ὅτι τούτων ἕν ἔκαστον ἀριθμός ἐστι, συμβαίνει δὲ κατὰ τοῦτον τὸν τόπον ἤδη πλῆθοςεἴναι τῶν συνισταμένων μεγεθῶν διὰ τὸ τὰ πάθη ταῦτα ἀκολουθεἴν τοἴς τόποις ἑκάστοις, οὖτος ὁ αὐτός ἐστιν ἀιρθμὸς ὁ τῶι οὐρανῶι, ὅν δεἴ λαβεἴν ὅτι τούτων ἕκαστόν ἐστιν, ἥ παρὰ τοῦτον ἅλλος;174 αιτίες για να τα εξηγήσουν, σαν να συμφωνούσαν με τους άλλους φυσιολόγους ότι ον είναι ό,τι γίνεται αντιληπτό με τις αισθήσεις και ό,τι περιέχει ο αποκαλούμενος ουρανός. Οι αιτίες όμως και οι αρχές που αναφέρουν είναι, όπως είπαμε, κατάλληλες για να αναχθεί κάποιος στα ανώτερα γένη των όντων και ταιράζουν περισσότερο με μια τέτοια έρευνα παρά στις θεωρίες περί φύσης. Ωστόσο, δεν δευκρινίζουν πως μπορεί να υπάρχει κίνηση αφού τα μόνα πράγματα που υποθέτουν ως βάση είναι το πέρας και το άπειρο, το περιττό και το άρτιο. Επίσης δεν λένε πως, χωρίς κίνηση και μεταβολή, είναι δυνατή η γένεση, η φθορά ή οι λειτουργίες των ουράνιων σωμάτων, μτφ από Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 54-55). 174 Αριστοτέλης, Μετά τα φυσικά 1090 a20, από Diels/Kranz, Die Fragmente der vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989, σελ. 456 (Εξάλλου, πως μπορεί η άποψη ότι οι μετατροπές του αριθμού και ο ίδιος ο αριθμός είναι οι αιτίες για ό,τι υπήρχε και έγινε στην αρχή και για ό,τι υπάρχει και γίνεται τώρα, να συνδυαστεί με την άποψη ότι δεν υπάρχει άλλος αιρθμός, εκτός από αυτόν από τον οποίο έχει συσταθεί ο κόσμος; Διότι, όταν σε ένα συγκεκριμένο τόπο τοποθετούν τη γνώμη, την τόλμη και την ευκαιρία και λίγο πιο πάνω ή πιο κάτω την αδικία, την κρίση και τη μείξη και όταν προβάλλουν ως απόδειξη το ότι το καθένα από αυτά είναι αριθμός και το ότι στον ίδιο τόπο υπάρχει κιόλας ένα πλήθος πραγμάτων που έχουν μέγεθος και αποτελούν σύνθεση αριθμών, επειδή οι ιδιότητες του αριθμού εξαρτώνται από τον εκάστοτε τόπο, τότε αυτός ο αριθμός που βρίσκεται στον ουρανό πρέπει να υποθέσουμε ότι είναι ο ίδιος με αυτόν που, σύμφωνα με την άποψη αυτή, είναι καθεμιά από τις αφηρημένες αυτές έννοιες, ή μήπως είναι άλλος; - μτφ από Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 56-57). 114 2. Τα πράγματα είναι μίμηση αριθμών οἱ μὲν γὰρ πυθαγόρειοι μιμήσει τὰ ὄντα φαςὶν εἴναι τῶν ἀριθμῶν175 Από τα παραπάνω γίνεται σαφές πως οι πυθαγόρειοι έβλεπαν τους αριθμούς με εντελώς διαφορετικό τρόπο από το σημερινό και στην πραγματικότητα, οι αριθμοί αντιπροσώπευαν κοσμικές αρχές και όχι αφαιρέσεις, όπως στην σύγχρονη εποχή. Λόγω του ότι δεν υπήρχαν σύμβολα για να αναπαρασταθούν οι αριθμοί, χρησιμοποιούνταν γεωμετρικές μορφές που αποτελούνταν από μονάδες-σημεία και μέσα από τη μελέτη αυτών των μορφών προσπαθούσαν να κατανοήσουν τις αρχές στις οποίες υπόκεινται. Το πιο γνωστό παράδειγμα αναπαράστασης ενός αριθμού με μονάδες-σημεία είναι η περίφημη τετρακτύς, ο αριθμός δέκα, ο οποίος ήταν ιερός για τους πυθαγορείους: Η τετρακτύς με μονάδες-σημεία ως ισοσκελές τρίγωνο Όπως βλέπουμε, η τετρακτύς αναπαριστάτε ως ένα ισοσκελές τρίγωνο από μονάδεςσημεία και μέσα από τη διάταξή τους μπορούμε να βρούμε τους αριθμούς 1, 2, 3, 4 (1+2+3+4=10) με τους οποίους δημιουργούνται οι βασικές μουσικές συμφωνίες 2:1, 3:2 και 4:3. Πρέπει επίσης να αναφέρουμε πως η μονάδα δεν περιλαμβανόταν ανάμεσα στους αριθμούς αφού οι πυθαγόρειοι θεωρούσαν ως πρώτο αριθμό το δύο.176 Η μονάδα θεωρήθηκε η 175 Αριστοτέλης, Μετά τα φυσικά 987 b10, από Diels/Kranz, Die Fragmente der vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989, σελ. 454 (διότι οι πυθαγόρειοι έλεγαν ότι τα όντα υπάρχουν με τη μίμηση των αριθμών, μτφ από Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 50-53). 176 Sir Thomas L. Heath, A manual of Greek mathematics, Dover, London 1931 , σελ. 38-39 115 αρχή όλων των πραγμάτων - ακόμα και των αριθμών - και αναπαριστά την ενότητα. Η συγκεκριμένη πεποίθηση είναι πιθανόν να προήλθε από το ότι οι αριθμοί απεικονίζονταν ως γεωμετρικά σχήματα αποτελούμενα από σημεία-μονάδες και έτσι η μονάδα θεωρήθηκε ως το αδιαίρετο στοιχείο από το οποίο αποτελούνταν όλα τα υπόλοιπα: Μονάδα → Αριθμοί → Σύμπαν. 5.1.3. Η Αρμονία των Σφαιρών Η πιο σημαντική προσπάθεια που ανέλαβαν οι πυθαγόρειοι για ερμηνεία του κοσμικού συστήματος μέσω των αριθμών γίνεται πραγματικότητα στην υπόθεση περί της αρμονίας των σφαιρών, τη διδασκαλία των πυθαγορείων που εμφανίζεται για πρώτη φορά στην Πολιτεία του Πλάτωνα και στο μύθο του Ηρός, τίτλο που χρησιμοποίησε ο Ξενάκης για ένα από τα πιο γνωστά του έργα (La Légende d’ Eer. 1977). ἐπὶ δὲ τῶν κύκλων αὐτοῦ ἄνωθεν ἐφ’ ἑκάστου βεβηκέναι Σειρῆνα συμπεριφερομένην, φωνὴν μίαν ἱεῖσαν, ἕνα τόνον˙ ἐκ πασῶν δὲ ὀκτὼ οὐσῶν μίαν ἁρμονίαν ξυμφωνεῖν. 177 Το παραπάνω απόσπασμα από την Πολιτεία του Πλάτωνα είναι η πρώτη γραπτή εμφάνιση της υπόθεσης περί της Αρμονίας των Σφαιρών. Στο απόσπασμα αυτό ο Πλάτωνας περιγράφει το μύθο του Ηρός του Αρμένιου, ενός ήρωα που σκοτώθηκε στη μάχη αλλά επανήλθε στη ζωή τη στιγμή που οι συμπολίτες του ετοιμάζονταν να κάψουν το σώμα του. Ανάμεσα στις περιγραφές για αυτά που είδε κατά το διάστημα που η ψυχή του είχε αποχωριστεί από το σώμα του, ήταν και το όραμα των πλανητών178 να περιστρέφονται και σε κάθε ένα από 177 Πλάτωνας, Πολιτεία 617 b5 - c1, από Plato, The Republic ii books vi-x, Harvard University Press, London 1987, σελ. 502 -504 (και πάνω στον καθένα απ’ αυτούς τους κύκλους καθόταν από μια Σειρήνα, που γύριζε μαζί με αυτούς και έψελνε πάντα με την ίδια φωνή και στον ίδιο τόνο, και από τη φωνή των οκτώ σειρήνων, γινόταν μια υπέροχη αρμονική συμφωνία – μτφ από Πλάτων, Πολιτεία 5, Κάκτος, Αθήνα 1992, σελ. 178-179). 178 Οι πλανήτες που ήταν γνωστοί αυτή την περίοδο ήταν (σε σειρά απόστασης από την γη): Ερμής, Αφροδίτη, Άρης, Δίας και Κρόνος. Μαζί με το φεγγάρι (πριν τον Ερμή), τον Ήλιο (πριν τον Δία) και τους Απλανείς (μετά τον Κρόνο) σχημάτιζαν ένα σύνολο οχτώ σωμάτων. Στη σφαίρα των απλανών (σφαίρα των απλανών ονομάζονται τα άστρα τα οποία είναι εκτός του ηλιακού μας συστήματος και - στα μάτια ενός επίγειου παρατηρητή χωρίς όργανα παρατήρησης - φαίνονται ακίνητα) σύμφωνα με τους πυθαγορείους, διαμένει ο πρώτος Θεός. 116 αυτούς να βρίσκεται μια σειρήνα η οποία τραγουδάει ένα τόνο, έτσι που συνολικά να παράγεται μια αρμονία.179 Ο Αριστοτέλης μιλά αναλυτικά για το θέμα κάνοντας μάλιστα κριτική στους πυθαγορείους και απορρίπτοντας την θεωρία ως ψευδή: Φανερὸν δ’ ἐκ τούτων ὅτι καὶ τὸ φάναι γὶνεσθαι φερομένων ἁρμονίαν, ὡς συμφώνων γινομένων τῶν ψόφων, κομψῶς μὲν εἴρηται καὶ περιττῶς ὑπὸ τῶν εἰπόντων, οὐ μὴν οὕτως ἕχει τἀληθές. Δοκεῑ γάρ τισιν ἀναγκαῖον εἷναι τηλικούτων φερομένων σωμάτων γίγνεσθαι ψόφον, ἐπεὶ καὶ τῶν παρ’ ἠμῖν οὔτε τοὺς ὄγκους ἐχόντων ἴσους οὔτε τοιούτῳ τάχει φερομένων˙ ἡλίου δὲ καὶ σελήνης, ἔτι τε τοσούτων τὸ πλῆθος ἄστρων καὶ τὸ μέγεθος φερομένων τῳ τάχει τοιαύτην φορὰν ἀδύνατον μὴ γίγνεσθαι ψόφον ἀμήχανόν τινα τὸ μέγεθος. ὑποθέμενοι δὲ ταῦτα καὶ τὰς ταχυτῆτας ἐκ τῶν ἀποστάσεων ἔχειν τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους, ἐναρμόνιόν φασι γίνεσθαι τὴν φωνὴν φερομένων κύκλῳ τῶν ἄστρων. ἐπεὶ δ’ ἄλογον ἐδόκει τὸ μὴ συνακούειν ἡμᾶς τῆς φωνῆς ταύτης, αἴτιον τούτου φασὶν εἶναι τὸ γιγνομένοις εὐθὺς ὑπάρχειν τὸν ψόφον, ὥστε μὴ διάδηλον εἶναι πρὸς τὴν ἐναντίαν σιγήν˙ πρὸς ἄλληλα γὰρ φωνῆς καὶ σιγῆς εἶναι τὴν διάγνωσιν˙ ὥστε καθάπερ τοῖς χαλκοτύποις διὰ συνήθειαν οὐθὲν δοκεῖ διαφέρειν, καὶ τοῖς ἀνθρώποις ταὐτὸ συμβαίνειν.180 179 Ο όρος Αρμονία χρησιμοποιήθηκε με διάφορες σημασίες. Μέχρι τον Αριστόξενο σήμαινε την δια πασών αλλά και τη διάταξη των φθόγγων έτσι ώστε να σχηματίζεται ένα τέλειο σύνολο. Η τελευταία είναι και η πιο πιθανή ερμηνεία για το συγκεκριμένο απόσπασμα. Οι αρμονίες που υπήρχαν ήταν εφτά: Δωρική, Φρυγική, Λυδική, Μιξολιδική, Αιολική, Ιωνική και Υποφρυγική. 180 Αριστοτέλης, Περί Ουρανού 290 b12 – b29, από Aristotle, On the Heavens, Harvard University Press, London 1986, σελ. 192 – 194 (Από τούτα είναι φανερό πως αυτό που λέγεται, ότι, δηλαδή, με την κίνησή [των άστρων] δημιουργείται αρμονία, επειδή οι ήχοι που παράγουν είναι σύμφωνοι, έχει διατυπωθεί βέβαια γλαφυρά και πρωτότυπα από τους υποστηρικτές του, ωστόσο δεν ανταποκρίνεται στην αλήθεια. Ορισμένοι νομίζουν πως κατ’ ανάγκην παράγεται ήχος με την κίνηση τόσο μεγάλων σωμάτων, αφού τούτο συμβαίνει και με τα σώματα εδω σε μας, που δεν έχουν ούτε τόσο μεγάλους όγκους ούτε κινούνται με τέτοια ταχύτητα. Από τον ήλιο, τη σελήνη και 117 Σύμφωνα με τις απόψεις των πυθαγορείων όπως τις προβάλει ο Αριστοτέλης, η κίνηση των πλανητών γύρω από την κεντρική φωτιά181 προκαλεί η κάθε μια ένα ήχο. Αφού όμως οι πλανήτες είναι διατεταγμένοι σύμφωνα με τις αναλογίες που χρησιμοποιούνται και στη μουσική, ο συνολικός ήχος που παράγεται είναι μια συνεχής αρμονία. Ο ήχος δεν ακούγεται από τους ανθρώπους μια και υπάρχει από τη στιγμή της γέννησής μας και έτσι δεν μπορούμε να αντιπαραβάλουμε εμπειρίες απουσίας του. Ο μοναδικός ο οποίος ισχυριζόταν πως άκουγε την ουράνια αρμονία ήταν – σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο – ο ίδιος ο Πυθαγόρας. Η υπόθεση της αρμονίας των σφαιρών είναι σίγουρα μεταγενέστερη της ανακάλυψης των αριθμητικών αναλογιών που εκφράζουν τις βασικές συμφωνίες και αποτελεί την πιο σημαντική προσπάθεια ερμηνείας του σύμπαντος μέσω των αριθμών. Στις πρώτες αναφορές που έχουμε για την αρμονία των σφαιρών δεν φαίνεται να υπάρχει σύνδεσή της με οποιοδήποτε αστρονομικό σύστημα. Φαίνεται πως η όλη υπόθεση βασίστηκε πάνω σε μια επιστημονική παρατήρηση – την ανακάλυψη των αναλογιών που διέπουν της μουσικές συμφωνίες – και κάποιες βασικές αστρονομικές παρατηρήσεις ή και υποθέσεις.182 Οι πυθαγόρειοι ήταν πιθανότατα οι πρώτοι (στην Ευρώπη) που μελέτησαν τις τροχιές των άστρων και τις μεταξύ τους σχέσεις. Η μελέτη αυτή έγινε μέσα από το πρίσμα της ‘πανταχού παρούσας’ μαθηματικής τάξης, η οποία ήταν αναπόφευκτο να εμφανίζεται και στις κινήσεις των πλανητών. Τα μαθηματικά είναι για ακόμα μια φορά ο συνδετικός κρίκος που θα ενώσει δύο φαινομενικά από τόσα πολλά και μεγάλα άστρα που κινούνται με τέτοια ταχύτητα, αδύνατον αν μην παράγεται ήχος, απερίγραπτος σε ένταση. Ξεκινώντας από τούτα και από το ότι οι ταχύτητές τους, όπως υπολογίζονται από τις αποστάσεις τους έχουν τις αναλογίες μουσικής συγχορδίας, ισχυρίζονται πως ο ήχος παράγεται αρμονικό, καθώς τα άστρα κινούνται κυκλικά. Επειδή όμως φαίνεται παράλογο να μην ακούμε κι εμείς το τραγούδι, λένε πως τούτο οφείλεται στο ότι ο ήχος υπάρχει από τη στιγμή που γεννιόμαστε, οπότε δεν διακρίνεται από την αντίθετή του σιγή, αφού ήχος και σιγή διαγιγνώσκονται σε αντιπαραβολή. Έτσι, όπως όσοι σφυρηλατούν χαλκό δεν θεωρούν πως υπάρχει διαφορά [στους θορύβους] εξαιτίας της συνήθειας, το ίδιο συμβαίνει και στους ανθρώπους γενικότερα – μτφ από Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999, σελ. 72-73). 181 Σχετικά με το αστρονομικό σύστημα των πυθαγορείων και την κεντρική φωτιά βλ. κεφάλαιο 6 ‘Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια παράδοση’. Στην πραγματικότητα ο Αριστοτέλης δεν αναφέρεται ονομαστικά στην κεντρική φωτιά. Οι περισσότεροι μελετητές όμως υποθέτουν πως αναφέρεται στο συγκεκριμένο αστρονομικό σύστημα, μια και στα έργα του δεν κάνει καμιά αναφορά σε κάποιο άλλο πυθαγόρειο αστρονομικό σύστημα. 182 Χρησιμοποιούμε τη λέξη ‘υποθέσεις’ μια και ήταν αδύνατο τον 5 ο αι. π.Χ. να μπορούσαν οι Αρχαίοι Έλληνες να μετρήσουν τις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών ή τις ταχύτητές τους. 118 άσχετες μεταξύ τους επιστήμες όπως είναι η αστρονομία και η μουσική και θα τις μετατρέψει σε ‘αδελφές επιστήμες’: κινδυνεύει, ἕφην, ὡς πρὸς ἀστρονομίαν ὄμματα πέπηγεν, ὤς πρὸς ἐναρμόνιον φορὰν ὦτα παγῆναι, καὶ αὖται ἀλλήλων ἀδελφαί τινες αἱ ἐπιστῆμαι εἴναι, ὡς τε πυθαγόρειοί φασι καὶ ἡμεἵς, ὦ Γλαύκων, ξυγχωροῦμεν 183 Η υπόθεση της Αρμονίας των σφαιρών είναι, όπως είπαμε, μια από τις πιο δημοφιλείς διδασκαλίες των πυθαγορείων και άσκησε επιρροή σε ένα πλήθος ερευνητών που ο κατάλογός τους φτάνει μέχρι τον 19ο μ.Χ. αιώνα.184 Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα του Νικόμαχου, ο οποίος υποστήριξε πως οι ονομασίες των χορδών στη λύρα προήλθαν από τη θέση των αντίστοιχων πλανητών προς τη Γη: Σελήνη Νήτη Αφροδίτη Παρανήτη Ερμής Παραμέση Ήλιος Μέση Άρης Λιχανός (ή Υπερμέση) Δίας Παρυπάτη Κρόνος Υπάτη Πίνακας 6 Η λέξη νέατον (=το πιο χαμηλό) αντιστοιχείται με τη σελήνη που είναι ο πιο κοντινός πλανήτης προς τη Γη ενώ η λέξη Ύπατος (=ο πιο ψηλός) στον Κρόνο που είναι ο πιο απομακρυσμένος πλανήτης από τη Γη. Ο Ήλιος που βρίσκεται στο μέσο των πλανητών παίρνει 183 Πλάτωνας, Πολιτεία 530 D, από Diels/Kranz, Die Fragmente der Vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989, σελ. 432 (‘Φαίνεται πως τα μάτια μας δόθηκαν για την αστρονομία και τα αυτιά για την αίσθηση της αρμονίας (μουσική), και πως οι δυο επιστήμες είναι αδελφές όπως παραδέχονται οι πυθαγόρειοι’ μτφ του γράφοντος). 184 Βλ. υποκεφ. 1.1. ‘ Προσδιορισμός του όρου πυθαγόρεια παράδοση’. 119 την αντίστοιχη ονομασία και οι υπόλοιπες ονομασίες έρχονται σε αντιστοιχία με τις προηγούμενες: Παρανήτη (δίπλα από τη Νήτη), Παραμέση (δίπλα από τη Μέση), Υπερμέση (μετά τη Μέση) και Παρυπάτη (δίπλα από την Υπάτη).185 Ένα ακόμα παράδειγμα είναι ο πίνακας του Πτολεμαίου και η αντιστοίχηση ενός πλήρους συστήματος (που ονομάζει ‘κοσμικό σύστημα’) με τους πλανήτες αλλά και η παράθεση αριθμητικών αντιστοιχιών: Φθόγγοι εστώτες Αριθμοί Σφαίρες Νήτη Υπερβολαίων 32 Κρόνος Νήτη Διεζευγμένων 24 Δίας Νήτη Συνημμένων 21 Άρης Παραμέση 18 Ήλιος Μέση 16 Αφροδίτη Υπάτη Μέσων 12 Ερμή Υπάτη Υπάτων 9 Σελήνη Προσλαμβανόμενος 8 Φωτιά, Αέρας, Νερό, Γη Πίνακας 7 Το παραπάνω σύστημα είναι βασισμένο πάνω στους λόγους των πρώτων συμφωνιών αλλά και στις πυθαγόρειες αναλογίες. Συγκεκριμένα, στο σύστημα εντοπίζονται οι ακόλουθες συμφωνίες: Δια τεσσάρων: 12:9, 16:12, 24:18, 32:24 Δια πέντε: 12:8, 18:12, 24:16 Δια πασών: 16:8, 18:9, 24:12, 32:16 Δις Δια πασών: 32:8 185 βλ. Μιχαηλίδης Σόλωνας, Εγκυκλοπαίδεια της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα 1999, σελ. 55 και Mathiesen J. Thomas, Apollo’s Lyre: Greek Music and Music Theory in Antiquity and the Middle Ages, Publication of the centre for history of music, University of Nebraska Press, Lincoln and London 1999, σελ. 396-397. 120 Επίσης στο ίδιο σύστημα εντοπίζονται οι ακόλουθες πυθαγόρειες αναλογίες: Αριθμητικές: 8:12:16 , 8:16:24 , 12:18:24 , 12:24:36 , 16:24:32 Γεωμετρικές: 8:16:32 , 9:12:16 , 9:18:36 , 12:16:21 1/3 , 16:24:36 , 18:24:32 Αρμονικές: 8:12:24 , 9:12:24 , 12:16:24, 12:18:36 , 18:24:36 Τέτοια παραδείγματα μπορούμε να βρούμε σε ένα πλήθος συγγραφέων186 μια και η αρμονία των Σφαιρών είναι, όπως έχουμε πει, η πιο διαδεδομένη διδασκαλία των πυθαγορείων. Πολλές φορές, βέβαια, αρκετοί συγγραφείς ξεφεύγουν από το πεδίο της μουσικής και της αστρονομίας και μπαίνουν στη σφαίρα της θρησκείας και της μεταφυσικής187. Κοινός, όμως, τόπος όλων και συνδετικός κρίκος είναι πάντα ο αριθμός, τα μαθηματικά. 186 Κατάλογος συγγραφέων που αναφέρονται στην αρμονία των σφαιρών υπάρχει στο κεφ. ‘Προσδιορισμός του όρου «Πυθαγόρεια Παράδοση»’. 187 Για περισσότερες πληροφορίες και πλήθος παραδειγμάτων βλ. Godwin Joscelyn, The Harmony of the spheres: the Pythagorean tradition in Music, Inner tradition international, United States 1993. 121 Μέρος 5.2. Η αναζήτηση για μια ‘παγκόσμια μουσική’ από τον Ιάννη Ξενάκη 5.2.1. Εισαγωγή Η αναζήτηση για μια ‘παγκόσμια μουσική’ αποτελεί ένα από τους πιο φιλόδοξους στόχους που έθεσε ο Ξενάκης. Με τον όρο ‘παγκόσμια μουσική’ εννοούμε μια μουσική η οποία να μπορεί να ακουστεί από όλους τους ανθρώπους στη γη ανεξαρτήτως εθνικότητας, κουλτούρας ή εκπαίδευσης. Για να πετύχει αυτό το στόχο ο Ξενάκης χρειαζόταν να καταφύγει σε νόμους οι οποίοι ισχύουν παγκόσμια και στους οποίους να υπόκεινται όλοι οι ακροατές της μουσικής του. Υπό αυτό το πρίσμα, ο Ξενάκης θα καταφύγει στα μαθηματικά, μιας και οι νόμοι οι οποίοι τα διέπουν ισχύουν για όλους. Επίσης, όπως θα δούμε παρακάτω, ο Ξενάκης θα οδηγηθεί σε μουσικολογικές παρατηρήσεις σχετικά με τα βασικά δομικά στοιχεία της μουσικής για να μπορέσει να κατανοήσει ποια από αυτά εμφανίζονται σε παγκόσμια κλίμακα και τους λόγους για τους οποίους συμβαίνει αυτό, μέχρι τελικά να οδηγηθεί στην προσπάθεια ενοποίησης των μουσικών παραμέτρων μέσα από τα μαθηματικά. Στη συνέχεια θα δούμε τέσσερα από τα λογικά - και ίσως αναπόφευκτα -στάδια της μουσικής σκέψης του Ξενάκη τα οποία προοδευτικά οδηγούν – όπως πίστευε ο ίδιος - στη δημιουργία μουσικών έργων με οικουμενική όψη. Το πρώτο είναι η εισαγωγή των μαθηματικών – και ειδικότερα των πιθανοτήτων – στην ίδια τη διαδικασία της σύνθεσης. Στο πρώτο αυτό στάδιο πιστεύω πως η χρησιμοποίηση των μαθηματικών δεν έχει ακόμα την κατεύθυνση της αναζήτησης σύνθεσης έργων παγκόσμιας μουσικής αλλά έχει ως βασικό στόχο – ακολουθώντας το πυθαγόρειο πρότυπο – τον έλεγχο πάνω στο μουσικό υλικό.188 Το δεύτερο στάδιο είναι η χρήση της θεωρίας ομάδων, με ουσιαστικό σκοπό τη θεμελίωση της μουσικής μέσα από μαθηματικό πρίσμα. Το τρίτο στάδιο, και ίσως το πιο σημαντικό, είναι ο διαχωρισμός των μουσικών δομών σε εντός-χρόνου, χρονικές και εκτός-χρόνου, καθώς και η αναζήτηση των στοιχείων εκτός-χρόνου τα οποία εμφανίζονται παγκόσμια. Το τέταρτο, και τελευταίο, στάδιο είναι η κατάληξη της όλης προσπάθειας του Ξενάκη, η θεωρία κοσκίνων, θεωρία που παρουσιάζεται κατά τη δεκαετία του ’60 αλλά χρησιμοποιείται πολύ περισσότερο μετά το 1977, 188 Βλ, κεφάλαιο 3 Μουσική και Μαθηματικά. 122 όταν ο Ξενάκης θα έχει αφήσει κατά μέρος τις περισσότερες από τις μαθηματικές θεωρίες που χρησιμοποίησε κατά τις δύο πρώτες δεκαετίες της συνθετικής του δραστηριότητας. Μετά το 1962 οι αναζητήσεις του Ξενάκη ξεφεύγουν από τη στοχαστική, ακολουθώντας νέα μονοπάτια, παραμένοντας όμως πιστός στην έμπνευση μέσω των μαθηματικών. Έτσι χρησιμοποιεί για πρώτη φορά τη θεωρία Ομάδων την οποία θα εφαρμόσει στα έργα Άκρατα, Νόμο Άλφα και Νόμο Γάμμα. Η θεωρία Ομάδων αναπτύχθηκε και παρουσιάστηκε ως η θεωρία που θα επέτρεπε τη θεμελίωση των μαθηματικών και με αυτό ακριβώς το σκεπτικό μεταφέρεται από τον Ξενάκη στη μουσική. Η αναζήτηση μιας αξιωματικής που θα ενοποιεί όλες τις μουσικές παραμέτρους και θα θεμελιώνει την επιστήμη της μουσικής είναι ίσως η μεγαλύτερη πρόκληση που ανέλαβε να πραγματοποιήσει ο Ξενάκης μέσα από το έργο του. Η αναζήτηση αυτή του Ξενάκη έρχεται ως απάντηση – αν και δεν εκφράζεται ποτέ από τον ίδιο - στους σειραϊκούς συνθέτες που έφτασαν στην ενοποίηση των μουσικών παραμέτρων μέσα από απόλυτη κυριαρχία του αριθμού 12.189 Ο Ξενάκης θα εκφράσει την αντίθεσή του σε αυτή τη λύση πριν ακόμα ασχοληθεί με το θέμα της ενοποίησης των μουσικών παραμέτρων: Η (πάσης φύσεως) σειρά προέρχεται από μια γραμμική «κατηγορία» της σκέψης. Αποτελεί αλληλοδιαδοχή πεπερασμένου πλήθους αντικειμένων. Έχουμε αντικείμενα και έχουμε πεπερασμένο πλήθος επειδή υπήρξε το συγκερασμένο πιάνο με δώδεκα φθόγγους (εντός της οκτάβας). Στην ηλεκτρονική, θα ήταν παράλογο να σκέφτεται κανείς μόνο με κβάντα συχνοτήτων. Γιατί 12 και όχι 13 ή ν φθόγγους;190 Αναφορά Ξενάκη αρ. 26 Έχοντας απορρίψει τη λύση των σειραϊστών ο Ξενάκης θα προχωρήσει στις δικές του αναζητήσεις. Ήδη, από το 1966 ο Ξενάκης υποδεικνύει την ανάγκη για ‘έλεγχο και αξιωματική θεμελίωση των εκτός-χρόνου δομών όλων των μουσικών του πλανήτη μας’.191 Θεωρεί μάλιστα πως αυτός είναι ‘ο μοναδικός δρόμος που θα επιτρέψει ‘τη σωτηρία της σύγχρονης μουσικής’. 189 βλ. Δημήτρης Αθανασιάδης, Σύγχρονη μουσική, η ολοκλήρωση του σειραϊσμού στο έργο του P. Boulez, έκδοση Μακεδονικού ωδείου, Θεσσαλονίκη 1994. 190 Iannis Xenakis, La crise de la musique sérielle, Gravesaner Blätter 1, 1954. Εδώ από Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 55. 191 βλ. υποκεφάλαιο 5.2.4. 123 Ουσιαστικά, αρχικό αίτημα του Ξενάκη είναι η μελέτη όλων των μουσικών του πλανήτη και η απομόνωση αυτών των στοιχείων που συναντώνται σε διαφορετικούς μουσικούς πολιτισμούς. Η μελέτη της εκτός-χρόνου δομής αυτών των μουσικών, υποστηρίζει ο Ξενάκης, θα δώσει τεράστια ώθηση στην επιστήμη της μουσικής: Πιστεύω πως η μουσική σήμερα πρέπει να ξεπεράσει τον εαυτό της μέσω της έρευνας της εκτός-χρόνου κατηγορίας, η οποία έχει ατροφήσει και εξουσιάζεται από τη χρονική κατηγορία. Επιπλέον αυτή η μέθοδος μπορεί να ενώσει την έκφραση των θεμελιωδών δομών όλων των Ασιατικών, Αφρικανικών και Ευρωπαϊκών μουσικών. Έχει ένα σημαντικό πλεονέκτημα: τον αυτοματισμό – οπόταν δοκιμές και μοντέλα όλων των ειδών μπορούν να μπουν στους υπολογιστές, κάτι το οποίο θα δώσει μεγάλη βοήθεια στην πρόοδο της μουσικής επιστήμης.192 Αναφορά Ξενάκη αρ. 27 Η μελέτη της εκτός-χρόνου δομής της μουσικής, η θεωρία κοσκίνων και η θεωρία ομάδων είναι οι τρεις άξονες στους οποίους θα κινηθεί ο Ξενάκης για να φτάσει στην ενοποίηση των μουσικών παραμέτρων. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, η θεωρία κοσκίνων είναι ουσιαστικά η πρακτική μεταφορά της μελέτης της εκτός-χρόνου δομής της μουσικής μέσα από αξιωματικές μεθόδους και η θεωρία αυτή είναι στενά συνδεδεμένη με την πυθαγόρεια παράδοση.193 Επίσης, ο Ξενάκης εκφράζει την πεποίθησή του πως η αξιωματικοποίηση είναι η πιο σωστή κατεύθυνση για την επιστήμη της μουσικής: Στην πραγματικότητα η διαμόρφωση και η αξιωματικοποίηση αποτελούν έναν διαδικαστικό οδηγό, που ταιριάζει καλύτερα στη σύγχρονη σκέψη. Επιτρέπουν, για αρχή, την τοποθέτηση της ηχητικής τέχνης σε ένα πιο καθολικό πλάνο. Ακόμα μια φορά μπορεί να εξεταστεί στο ίδιο επίπεδο με τα αστέρια, τους αριθμούς, και τον πλούτο του ανθρώπινου 192 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 200. 193 Βλ. κεφ. ‘Ο διαχωρισμός σε εντός και εκτός-χρόνου δομές από τον Ξενάκη’ και ‘Θεωρία κοσκίνων’. 124 εγκεφάλου, όπως ήταν στις μεγάλες περιόδους των αρχαίων πολιτισμών. Οι κινήσεις των ήχων που προκαλούν κινήσεις σε μας σε συμφωνία με αυτούς "δίνουν μια κοινή ευχαρίστηση για εκείνους που δεν ξέρουν πώς να διαλογιστούν και για εκείνους που ξέρουν, μια αιτιολογημένη χαρά μέσω της μίμησης της θείας αρμονίας που πραγματοποιούνται στις φθαρτές μετακινήσεις " (Πλάτωνας, Τίμαιος).194 Αναφορά Ξενάκη αρ. 28 5.2.2. Η εισαγωγή των μαθηματικών Για το θέμα αυτό έχουμε ήδη μιλήσει αναλυτικά στο κεφάλαιο 3 (Μουσική και Μαθηματικά), έτσι εδώ θα υπενθυμίσουμε απλά τα βασικά στοιχεία και συμπεράσματα: Ένα από τα βασικά στοιχεία είναι η διαπίστωση πως η μελέτη της μουσικής μέσω των μαθηματικών από τους πυθαγορείους γίνεται συνειδητά. Η ανακάλυψη των αριθμητικών αναλογιών που ορίζουν τα πρώτα σύμφωνα διαστήματα είναι απλά το έναυσμα για περαιτέρω μελέτη της μουσικής μέσα από το πρίσμα των μαθηματικών και η οποία θα οδηγήσει στην πιο γνωστή πυθαγόρεια διδασκαλία ‘τα πάντα είναι αριθμός’, όπως είδαμε και πιο πάνω. Ο Ξενάκης χρησιμοποίησε μαθηματικά εργαλεία όπως η χρυσή τομή και η ακολουθία Fibonacci από τα πρώιμα έργα του όπως η Ζυγιά(1952) και τα Αναστενάρια(1952-1953.)195 Το αποφασιστικό βήμα όμως, γίνεται με την εισαγωγή των πιθανοτήτων στη διαδικασία της σύνθεσης. Το σημαντικό σημείο στη χρήση των πιθανοτήτων που δείχνει την κατεύθυνση του Ξενάκη προς μια παγκόσμια όψη της μουσικής του, είναι η χρήση παραδειγμάτων της ύπαρξης των πιθανοτήτων στη φύση. Ο Ξενάκης παρομοιάζει μεμονωμένα ηχητικά συμβάντα, όπως τα πιτσικάτι των εγχόρδων, με το θόρυβο από χαλάζι ή το τραγούδι των τζιτζικιών τονίζοντας το συνδετικό κρίκο των συγκεκριμένων παραδειγμάτων που δεν είναι άλλος από τους στοχαστικούς νόμους, παραπέμποντας έτσι απευθείας στο πυθαγόρειο πρότυπο ‘τα πάντα είναι αριθμός’. Με το ίδιο πνεύμα ο Ξενάκης παραλληλίζει τη χρήση του τύπου του Γκάους για τον προσδιορισμό των ταχυτήτων των γκλισάντο με την εργασία του Μέντελ και των Μάξγουελ194 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 178-179. 195 Βλ, κεφάλαιο 4. 125 Μπόλτσμαν οι οποίοι μετέφεραν νόμους των πιθανοτήτων στη γενετική και στη φυσική (κινητική θεωρία των αερίων) αντίστοιχα. Μάλιστα, προχωρώντας ένα ακόμα βήμα πιο πέρα, το 1975 δηλώνει πως αφού από το νόμο του Γκάους εξαρτώνται φαινόμενα της βιολογίας και της φυσικής τότε το ίδιο ισχύει και για τα μουσικά φαινόμενα,196 θεωρώντας έτσι ως δεδομένο πως τα μαθηματικά που ισχύουν στη φύση μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη μουσική σύνθεση. Η μεταφορά νόμων της φυσικής ή της αστρονομίας στη μουσική μοιάζει αυθαίρετη, αλλά για ακόμα μια φορά ο Ξενάκης συγκλίνει απόλυτα με το πυθαγόρειο πρότυπο της ενοποίησης όλων των στοιχείων του σύμπαντος –συμπεριλαμβανομένων των μουσικών παραμέτρων - μέσω των μαθηματικών. 5.2.3. Θεωρία ομάδων Η πρώτη προσπάθεια του Ξενάκη για ενοποίηση των μουσικών παραμέτρων ξεκινά με τη χρήση της θεωρίας ομάδων η οποία χρησιμοποιήθηκε από τον Ξενάκη στα Άκρατα, στο Νόμο Άλφα, στο Νόμο Γάμα και στην Ανακτόρια. Ως ομάδα ορίζεται από τα μαθηματικά ένα σύνολο αντικειμένων Α με μια δυαδική λειτουργία χ (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός κτλ.) έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες: 1. Η λειτουργία χ ενώνει δύο αντικείμενα του Α έτσι ώστε να παράγεται ένα τρίτο, το οποίο πρέπει να ανήκει και αυτό στο σύνολο Α. 2. Για κάθε αντικείμενο α, β, γ του Α με λειτουργία χ ισχύει ( )  =  (  ) 3. Στο Α υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο ψ για το οποίο ισχύει  =  και  =  4. Κάθε στοιχείο του Α έχει ένα αντίθετο στοιχείο που μπορεί και αυτό να βρεθεί στο σύνολο Α. Έτσι, σε συνδυασμό με την πρόταση 3, για κάθε στοιχείο α πρέπει να υπάρχει ένα στοιχείο  −1 για τα οποία να ισχύει  −1 =  και  −1 =  196 Ομιλία του Ξενάκη με τίτλο ‘Επιστημονική σκέψη και μουσική’ του 1975. Από, Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 133-134, Βλ. Κεφάλαιο 3 ‘Μουσική και Μαθηματικά’. 126 Η θεωρία ομάδων διατυπώθηκε για πρώτη φορά από το Γάλλο μαθηματικό Εβαρίστ Γκαλουά (1811-1832) και, όπως έχουμε πει, παρουσιάστηκε ως η θεωρία που θα επέτρεπε τη θεμελίωση των μαθηματικών. Με το ίδιο σκεπτικό μεταφέρεται από τον Ξενάκη στη μουσική: Σήμερα μπορούμε να βεβαιώσουμε πως με τους είκοσι πέντε αιώνες μουσικής εξέλιξης καταλήγουμε σε μια καθολική διατύπωση όσον αφορά την πρόσληψη των τονικών υψών που είναι η ακόλουθη: Το σύνολο των μελωδικών διαστημάτων είναι εφοδιασμένο με μια δομή ομάδας με την πρόσθεση ως νόμο σύνθεσης. Αυτή η δομή είναι, φυσικά, ανεξάρτητη από τη διαστηματική μονάδα που μπορεί να είναι ένα ημιτόνιο (δωδέκατη ρίζα του 2), το κόμμα (81/80) ή οποιοδήποτε άλλο μοναδιαίο διάστημα. Είναι καθολική, διότι η διατακτική δομή ισχύει στις παραδοσιακές μουσικές της Ιαπωνίας, των Ινδιών, της Αφρικής κ. α. Αυτή η δομή δεν ανήκει αποκλειστικά στα τονικά ύψη αλλά ανήκει επίσης και στις διάρκειες, στις εντάσεις, στις πυκνότητες και σε άλλους χαρακτήρες των ήχων ή της μουσικής όπως, για παράδειγμα, στο βαθμό τάξης ή αταξίας. Αυτό που είναι ενδιαφέρον επομένως είναι η βαθιά ταυτότητα της δομής πολλών χαρακτήρων του ήχου.197 Αναφορά Ξενάκη αρ. 29 Στο παραπάνω απόσπασμα ο Ξενάκης αναφέρει ένα πρώτο στοιχείο που ισχύει σε καθολικό επίπεδο στη μουσική το οποίο είναι η δομή ομάδας που υπάρχει σε αρκετά χαρακτηριστικά του ήχου. Ο Ξενάκης αναφέρει ως παράδειγμα τα τονικά ύψη σημειώνοντας πως αυτό ισχύει και για τις διάρκειες, τις εντάσεις κτλ. Επίσης, ο Ξενάκης τονίζει πως η δομή ομάδας είναι δομή του ανθρώπινου εγκεφάλου η οποία υπάρχει από πολύ παλιά, φέρνοντας ως παράδειγμα την Ευκλείδειο Γεωμετρία, η οποία όπως λέει, βασίζεται πάνω στην οργάνωση ομάδας.198 197 Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 87-88. 198 Ομιλία του Ξενάκη με τίτλο ‘Επιστημονική σκέψη και μουσική’ του 1975. Από, Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 122-125 και 144-146. 127 Η χρησιμοποίηση της θεωρίας ομάδων είναι ένα απόλυτα λογικό βήμα αν σκεφτούμε πως ο Ξενάκης είχε ήδη χρησιμοποιήσει τη στοχαστική και τη θεωρία συνόλων. H θεωρία ομάδων εξασφαλίζει την οργάνωση του ήχου σε ανώτερο επίπεδο, γιατί, ενώ το σύνολο είναι μια συγκέντρωση στοιχείων, η ομάδα είναι ένα σύνολο μαζί με μια δυαδική λειτουργία η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις που θέσαμε παραπάνω για κάθε μέλος του συνόλου. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της θεωρίας ομάδων από τον Ξενάκη είναι το έργο Νόμος Άλφα για σόλο βιολοντσέλο γραμμένο τα έτη 1965-66. Στο συγκεκριμένο έργο, το οποίο έχει χαρακτηριστεί ως το ‘πιο φιλόδοξο έργο του Ξενάκη σε ό,τι αφορά την τυποποίηση’,199 τρία εκτός-χρόνου χαρακτηριστικά του ήχου – η ένταση, η πυκνότητα και η διάρκεια – οργανώνονται με βάση τις μεταβολές ενός κύβου. Να αναφέρουμε επίσης πως στο συγκεκριμένο έργο γίνεται για πρώτη φορά χρήση της θεωρίας κοσκίνων.200 Ο Νόμος Άλφα αποτελείται συνολικά από 24 τμήματα και έχει αναλυθεί σε εκτεταμένο βαθμό από τον ίδιο τον Ξενάκη – είναι μάλιστα το έργο που έχει αναλυθεί με μεγαλύτερη λεπτομέρεια από οποιοδήποτε άλλο έργο του από τον ίδιο – και αυτό οδήγησε ένα μεγάλο αριθμό αναλυτών και μουσικολόγων να ασχοληθούν με το συγκεκριμένο έργο, με πιο λεπτομερή ανάλυση αυτή του Μάκη Σολωμού.201 Εδώ δεν θα προχωρήσουμε σε περαιτέρω ανάλυση μια και το στοιχείο που μας ενδιαφέρει είναι η πορεία του Ξενάκη προς το διαχωρισμό των μουσικών παραμέτρων σε ‘εντός-’ και ‘εκτός- χρόνου’ καθώς και η χρησιμοποίηση των κοσκίνων που έχουν άμεση σχέση με την πυθαγόρεια παράδοση. Η χρήση της θεωρίας ομάδων αποτελεί την πρώτη προσπάθεια του Ξενάκη να οργανώσει τα χαρακτηριστικά του ήχου όπως οι διάρκειες, οι εντάσεις, οι πυκνότητες κτλ., μέσα από μια μαθηματική - και άρα αφηρημένη – λειτουργία. Η προσπάθεια αυτή θα αναπτυχθεί περεταίρω μέσα από τη μελέτη αυτών που ο Ξενάκης ονόμασε ‘εντός και εκτός χρόνου’ δομές και την ανάπτυξη της θεωρίας κοσκίνων. 199 Βλ. Μάκης Σολωμός, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008, σελ.223. 200 Βλ. παρακάτω σχετικό κεφάλαιο. Η παρουσίαση της θεωρίας κοσκίνων έγινε το 1967. 201 Μάκης Σολωμός, A propos des premières œuvres (1953-69) de I. Xenakis. Pour une approche historique de l’ émergence du phenomena du son, διδακτορική διατριβή, Université de Paris IV, Παρίσι 1993, σελ. 407-510. 128 5.2.4. Ο διαχωρισμός σε Εντός και Εκτός-Χρόνου Ο Ξενάκης λοιπόν, παίρνοντας μια πυθαγόρεια μέθοδο του πρώτου μ.X αιώνα,202 έρχεται το 1967 να την εισαγάγει στη μουσική ως μια μέθοδο με την οποία μπορούν να βρεθούν όλες οι δυνατές κλίμακες. Η ανάγκη που ωθεί τον Ξενάκη να αναζητήσει μια μέθοδο που να του δίνει τη δυνατότητα να κατασκευάσει όλες τις κλίμακες είναι σαφής: ‘Η κλίμακα είναι ένα ουσιώδες πράγμα, το οποίο οι περισσότεροι σύγχρονοι μουσικοί δεν λογαριάζουν. Το παίρνουν σαν δεδομένο, αλλά στο παρελθόν καθώς και σε άλλους πολιτισμούς, όπως η Ασία και η Αφρική οι κλίμακες διαφοροποιούνται. Όταν έχεις επιλέξει την κλίμακα, είναι σαν να παράγεις ήδη το στυλ σου. Για παράδειγμα, μια κλίμακα που εκτείνεται στην οκτάβα δηλώνει από μια άποψη επανάληψη: ότι κάνεις σε μια σειρά είναι το ίδιο σε μια χαμηλότερη σειρά. Θα μπορούσες να το εμπλουτίσεις αυτό φτιάχνοντας μια μηοκτατονική σκάλα. Έχω παρατηρήσει ότι αν μεταγράψεις τη μουσική της Κίνας, της Ιαπωνίας, ή της Ινδίας, αμέσως μοιάζει με Δυτική μουσική. Η Δυτική σημειογραφία είναι μια ανακριβής σημειογραφία, υπάρχει μια έλλειψη πληροφοριών που οφείλεται σε πολύ μικρές διαφορές στο κούρδισμα των κλιμάκων. Έτσι προσπάθησα να δημιουργήσω ένα είδος θεωρίας που θα μπορούσε να παράγει κάθε είδους κλίμακα .’203 Αναφορά Ξενάκη αρ. 30 Για να κάνει πράξη τα παραπάνω ο Ξενάκης προχωρεί σε μια σειρά από λογικά βήματα. Ξεκινώντας αρχικά από τη θεωρία ομάδων204 θα ανακαλύψει την ανάγκη για ένα διαχωρισμό 202 Βλ. παρακάτω υποκεφάλαιο για τη θεωρία κοσκίνων και το κόσκινο του Ερατοσθένη. 203 Ιάννης Ξενάκης, συζήτηση με τον Morton Feldman από διαδύκτιο http://www.nieuwe-muziek.nl/ianmor1.htm. 204 βλ. παραπάνω. 129 των παραμέτρων του ήχου. Οι μουσικές συνιστώσες κάθε παραμέτρου της μουσικής, όπως υποστηρίζει ο Ξενάκης, μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες, τις οποίες ονομάζει εκτόςχρόνου, χρονική και εντός-χρόνου. Όπως ο ίδιος τις προσδιορίζει: ‘….για να γίνει αυτό, προτείνω να κάνουμε ένα διαχωρισμό στις μουσικές κατηγορίες εκτός-χρόνου, εντός-χρόνου και χρονική. Μια δοθείσα κλίμακα από τονικά ύψη, π.χ., είναι εκτός-χρόνου αφού κανένας οριζόντιος ή κάθετος συνδυασμός των στοιχείων της δεν μπορεί να την αλλάξει. Το γεγονός αυτό κάθ’ αυτό, δηλαδή η ύπαρξή του, ανήκει στη χρονική κατηγορία. Τέλος, μια μελωδία ή μια συγχορδία πάνω σε μια δοθείσα κλίμακα παράγεται από το συσχετισμό της εκτός-χρόνου κατηγορίας με τη χρονική κατηγορία. Και οι δύο είναι πραγματοποιήσεις εντός-χρόνου των εκτός-χρόνου κατασκευών.’205 Αναφορά Ξενάκη αρ. 31 Η εκτός-χρόνου δομή έχει χαρακτηριστεί ως ‘ο ακρογωνιαίος λίθος της μουσικής σκέψης του Ξενάκη’206. Ο Ξενάκης δίνει ακόμα ένα ορισμό της εκτός-χρόνου κατηγορίας: ‘...αυτό που αφήνεται να εννοηθεί χωρίς να αλλάζει με το πριν ή με το μετά είναι εκτός-χρόνου. Οι παραδοσιακοί τρόποι είναι εν μέρη εκτόςχρόνου, οι λογικές σχέσεις ή πράξεις που επιβάλλονται σε τάξεις ήχων, διαστημάτων, χαρακτήρων κ.λ.π. είναι επίσης εκτός-χρόνου. Μόλις ο λόγος περιέχει το ‘πριν’ και το ‘μετά’ είναι εντός-χρόνου. Η σειραϊκή διάταξη είναι εντός-χρόνου, μια παραδοσιακή μελωδία επίσης. Κάθε μουσική, στην εκτός-χρόνου φύση της, μπορεί να δοθεί ακαριαίως, επίπεδη. Η εντός-χρόνου φύση της είναι η σχέση της εκτός-χρόνου φύσης της με το χρόνο. Ως ηχητική πραγματικότητα δεν υπάρχει 205 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 183. 206 Γιώργος Ζερβός, Iannis Xenakis, lew compositeurs de l’ Ecole de Vienne et le concept des structures hors- temps,στο Iannis Xenakis, Gerard Grisey. La métaphore lumineuse, L’ Harmattan, Παρίσι 2003, σελ. 213-224. 130 καθαρή εκτός-χρόνου μουσική, υπάρχει καθαρή εντός-χρόνου μουσική, είναι ο ρυθμός στην καθαρή του μορφή’.207 Αναφορά Ξενάκη αρ. 32 Στην πραγματικότητα ο διαχωρισμός της εντός-χρόνου και εκτός-χρόνου φύσης της μουσικής δεν προσδιορίζεται ακριβώς. Στον πιο πάνω ορισμό μπορούμε να διακρίνουμε αρκετές αντιφάσεις και η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο φύσεων είναι συχνά ασαφής. Ο ίδιος ο Ξενάκης έρχεται να δώσει ένα ακόμα ορισμό που φαίνεται να είναι αντίθετος με τους παραπάνω: ‘Μια σημαντική υποκατηγορία που αφορά τα μουσικά συστήματα συνίσταται στις εκτός-χρόνου και εντός-χρόνου δομές. Για παράδειγμα, η διατεταγμένη δομή από ύψη είναι εκτός-χρόνου. Η κλίμακα, π.χ., η μείζονα κλίμακα είναι πάλι εκτός-χρόνου. Αλλά μια μελωδική γραμμή βασισμένη πάνω στη μείζονα κλίμακα είναι εντόςχρόνου…’208 Αναφορά Ξενάκη αρ. 33 Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζονται διάφορα μουσικά στοιχεία τα οποία ο Ξενάκης έχει κατατάξει είτε στην εντός είτε στην εκτός-χρόνου κατηγορία: 207 Ξενάκης Ιάννης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 86. Το πρωτότυπο είναι από το άρθρο του Ξενάκη, ‘Ο δρόμος της έρευνας και της ερώτησης’, Vanguard Recording Society, New York 1967. 208 Sward Rosalie la Grow, An examination of the mathematical systems used in selected compositions of Milton Babbitt and Iannis Xenakis, Doctoral Dissertation. Evanston: North-western University, 1981, σελ. 293. Η συγγραφέας αναφέρει πως το παραπάνω απόσπασμα είναι από την αλληλογραφία της με τον Ξενάκη το Φεβρουάριο του 1968. 131 Εκτός-χρόνου Εντός-χρόνου Κλίμακες Φόρμες Δομή Αρμονία Αντίστιξη Τρόποι Σειραϊκή διάταξη Μελωδίες Συγχορδίες Πίνακας 9 Αν δούμε προσεχτικά κάποια στοιχεία από τις παραπάνω αναφορές και τα παραδείγματα του πίνακα 9, μπορούμε να διακρίνουμε κάποιες αντιφάσεις: 1. Οι κλίμακες κατατάσσονται στην εκτός-χρόνου κατηγορία ενώ η σειραϊκή διάταξη στην εντός-χρόνου κατηγορία. Η σειραϊκή διάταξη η οποία είναι ‘μια διατεταγμένη δομή από τονικά ύψη’ και άρα πληρεί την προϋπόθεση που θέτει ο Ξενάκης στην αναφορά 33 για τις εκτός-χρόνου δομές, τοποθετείται στην εντός-χρόνου κατηγορία. Στην πραγματικότητα η μόνη διαφορά της σειραϊκής διάταξης από μια μείζονα κλίμακα είναι πως η σειρά είναι διατεταγμένη κάθε φορά από το συνθέτη, ενώ η μείζονα κλίμακα είναι διατεταγμένη εξ’ ορισμού. Επίσης, μια ακόμα διαφορά είναι πως οι νότες της σειράς εμφανίζονται πάντα με τη συγκεκριμένη διάταξη μέσα στο έργο, ενώ στη μείζονα κλίμακα οι νότες που την αποτελούν μπορούν να χρησιμοποιηθούν με οποιαδήποτε σειρά μέσα σε ένα έργο. Πιθανόν αυτή να είναι και η κρίσιμη διαφορά που κάνει τον Ξενάκη να θεωρήσει πως η σειραϊκή διάταξη και η κλίμακα πρέπει να ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες παρόλο που μπορούμε να παρατηρήσουμε πως κατά πρώτον, η συγκεκριμένη διαφορά δεν προκύπτει από τους ορισμούς που δίνει ο Ξενάκης και, κατά δεύτερον, αυτό ισχύει σε ένα πολύ μικρό μέρος της δωδεκαφθογγικής μουσικής. Ένα ακόμα σημείο που χρήζει έρευνας είναι η δήλωση του Ξενάκη πως ‘από τις τέσσερις μορφές της σειράς μόνο η αναστροφή της αρχικής σειράς σχετίζεται με μια εκτός-χρόνου 132 δομή’.209 Ο Ξενάκης το λέει αυτό προφανώς λόγο της αναστροφής των αρχικών διαστημάτων αλλά, όπως παρατηρεί και ο Γιώργος Ζερβός, με την ίδια λογική θα μπορούσε και η καρκινική μορφή να θεωρηθεί ως εκτός-χρόνου δομή.210 2. Στην ανάλυση των εκτός-χρόνου δομών της αρχαίας μουσικής,211 ο Ξενάκης αναφέρει και τους τρόπους σε αυτή την κατηγορία, παρόλο που αναγνωρίζει πως ένα χαρακτηριστικό τους είναι οι ‘καταληκτικές, μελωδικές φόρμουλες’.212 Μια μελωδική φόρμουλα είναι φυσικό πως περιέχει και κάποιου είδους ρυθμική φόρμουλα η οποία φυσικά ανήκει στην εντός-χρόνου κατηγορία. Ο Ξενάκης έχει ήδη αναγνωρίσει πως μια μελωδία είναι εντός-χρόνου ενώ ο ίδιος σε διαφορετική συνέντευξη έρχεται σε σύγκρουση με τον εαυτό του για το θέμα των τρόπων: Ανακάλυψα επίσης πως η κλίμακα και ο τρόπος είναι δύο διαφορετικά πράγματα. Η κλίμακα συσχετίζει την απόσταση μεταξύ των φθόγγων: είναι μια δομή εκτός-χρόνου. Οι τρόποι περιλαμβάνουν την εκτός-χρόνου δομή της κλίμακας αλλά επίσης και εντός-χρόνου δομές όπως ποσοστά από νότες ή μελωδικά μοντέλα.213 Αναφορά Ξενάκη αρ. 34 Είναι σαφές πως ουσιαστικά οι τρόποι δεν μπορούν να καταταχτούν με ακρίβεια σε καμία από τις δύο κατηγορίες μια και ανήκουν και στις δύο. Όπως ο ίδιος ο Ξενάκης παρατηρεί, ένας τρόπος περιέχει την εκτός-χρόνου δομή της κλίμακας – δηλαδή τη διατεταγμένη σειρά από 209 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 193. 210 Γιώργος Ζερβός, Iannis Xenakis, lew compositeurs de l’ Ecole de Vienne et le concept des structures hors- temps,στο Iannis Xenakis, Gerard Grisey. La métaphore lumineuse, L’ Harmattan, Παρίσι 2003, σελ. 213-224. 211 Βλ. σχετικό κεφάλαιο παρακάτω. 212 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 184. 213 Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996, σελ 33. 133 τονικά ύψη – αλλά ταυτόχρονα και μελωδικές φόρμουλες οι οποίες είναι εντός-χρόνου οπόταν σωστά στην αναφορά 32 δηλώνει πως οι παραδοσιακοί τρόποι είναι εν μέρει εκτός-χρόνου. Η Nouritza Matossian,214 προσπαθεί να εκφράσει διαφορετικά τη σκέψη του Ξενάκη: 1. Εκτός-χρόνου: τρία χαρακτηριστικά του ήχου μπορούν να διαχωριστούν από την ύπαρξή τους μέσα στο χρόνο: ύψος, ένταση και διάρκεια. Αυτό, όπως πρεσβεύει ο Ξενάκης μπορεί να είναι το πρώτο στάδιο οποιασδήποτε σύνθεσης. Ο συνθέτης μπορεί να αποφασίσει για τα συγκεκριμένα στοιχεία του ήχου, βάση μιας εκτός-χρόνου άλγεβρας. 2. Χρονική διαδοχή: κάθε ηχητικό γεγονός απέχει από το επόμενο κατά μια συγκεκριμένη χρονική απόσταση (χρονικό διάστημα), δημιουργώντας ένα σετ από χρονικά διαστήματα τα οποία μπορούν να υπολογιστούν βάση μιας χρονικής άλγεβρας. 3. Εντός-χρόνου: όταν τα δύο παραπάνω στοιχεία συνδυαστούν, δημιουργούν ουσιαστικά το έργο αφού έχουμε πλέον τα χαρακτηριστικά κάθε ήχου αλλά και τη χρονική διαδοχή τους.215 216 Πιστεύω πως η παραπάνω παρουσίαση εκφράζει καλύτερα τον τρόπο σκέψης του Ξενάκη. Αυτό φαίνεται στην ανάλυση της μεθόδου σύνθεσης συμβολικής μουσικής217 στην οποία οδηγεί κατά τον ίδιο η έρευνα γύρω από την εκτός-χρόνου φύση της μουσικής: ‘Η έρευνα στην εκτός-χρόνου φύση της μουσική, οδηγεί στις λογικές αρχιτεκτονικές και στο λογισμό, στη «συμβολική μουσική». Η τυποποίηση και η αξιωματικοποίηση είναι οι δυναμικές γραμμές που πρέπει να ακολουθηθούν’.218 Αναφορά Ξενάκη αρ. 35 214 Nouritza Matossian, Iannis Xenakis , Fayard/Fonadation Sacem, 1981, σελ. 151. 215 βλ. Κεφ. 6, ‘Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια παράδοση, ανάλυση έργου Herma (Έρμα)’. 216 Παρατηρούμε πως απουσιάζει εντελώς το στοιχείο του ηχοχρώματος, που είναι βασικό σε οποιοδήποτε μουσική σύνθεση. 217 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 155-173. 218 Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 87. 134 Στην ουσία, η συμβολική μουσική είναι το πρώτο βήμα προς την κατεύθυνση της θεωρίας κοσκίνων. Στα έργα συμβολικής μουσικής ο Ξενάκης θέτει ως πρωτεύον το ζήτημα της επιλογής ανάμεσα στα τονικά ύψη έτσι ώστε να προκύψει ένας πιο ενδιαφέρων ήχος σε σχέση με τη δωδεκαφθογγική μουσική. Η Rosalie La Grow Sward219 βασιζόμενη στα γραπτά του Ξενάκη, έχει προτείνει μια τριμερή διαίρεση των δομών της μουσικής με κριτήρια: 1. Αν τα στοιχεία υπό εξέταση είναι διατεταγμένα ή όχι. 2. Αν τα στοιχεία υπό εξέταση πραγματώνονται μέσα στο χρόνο, έχουν δηλαδή διάρκεια. Μια τέτοια διαίρεση οδηγεί σε τρεις νέες κατηγορίες που η συγγραφέας αναρωτιέται κατά πόσο αντιστοιχούν στις τρεις κατηγορίες που ο Ξενάκης αναφέρει: 1. Πρώτη κατηγορία: Τα στοιχεία της δεν είναι διατεταγμένα και δεν πραγματώνονται μέσα στο χρόνο. Σε αυτή τη κατηγορία μπαίνουν τα κόσκινα. 2. Δεύτερη κατηγορία: Τα στοιχεία της είναι διατεταγμένα αλλά δεν πραγματώνονται μέσα στο χρόνο. Σε αυτή τη κατηγορία μπαίνει οποιαδήποτε κλίμακα, η δωδεκαφθογγική σειρά κτλ. 3. Τρίτη κατηγορία: Στην κατηγορία αυτή μπαίνει οποιαδήποτε σύνθεση η οποία πραγματώνεται μέσα στο χρόνο. Στην πραγματικότητα ακόμα και αυτή η κατηγοριοποίηση, παρόλο που λύνει κάποια από τα ‘λάθη’ της θεωρίας του Ξενάκη, οδηγεί σε κάποια άλλα. Είναι σαφές πως δεν μπορεί να γίνει αυστηρός διαχωρισμός, αφού κάποια στοιχεία της μουσικής μπορεί να ανήκουν σε δύο διαφορετικές κατηγορίες. Επίσης, είναι αμφίβολο αν ο ίδιος ο Ξενάκης είχε κάτι τέτοιο υπόψη του όταν μιλά για το ίδιο θέμα. Παρ’ όλες τις αντιφάσεις μεταξύ της θεωρίας και των παραδειγμάτων που αναφέρει ο Ξενάκης στο διαχωρισμό των δομών της μουσικής, είναι σαφής η πρόθεσή του να δείξει πως μπορεί ο συνθέτης να απεμπλακεί από το κυρίαρχο συγκερασμένο σύστημα, έχοντας τη δυνατότητα μέσω της μαθηματικής λογικής να χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε μουσική κλίμακα. Ο Ξενάκης, όπως πολύ σωστά επισημαίνουν οι Jean-Yves και Dominique Bosseur, με το διαχωρισμό που επιχειρεί να κάνει ‘αγωνίζεται να επανατοποθετήσει τη δημιουργική πράξη σε 219 Rosalie la Grow Sward, "An examination of the mathematical systems used in selected compositions of Milton Babbitt and Iannis Xenakis." Doctoral Dissertation. Evanston: North-western University, 1981, σελ. 293 – 300. 135 μια μαθηματικο-λογική ζώνη στην οποία βρίσκονταν ήδη ο Θαλής, ο Αναξίμανδρος και οι πυθαγόρειοι.’220 Η μαθηματική μουσικής που χρησιμοποίησε ο Ξενάκης είναι η θεωρία κοσκίνων, η πυθαγόρεια εφεύρεση του Ερατοσθένη. Σημειώνουμε εδώ πως, παρόλο που μέχρι τώρα έχουμε μιλήσει για εφαρμογή της θεωρίας κοσκίνων σε σχέση με την κατασκευή οποιασδήποτε κλίμακας, σε σχέση δηλαδή με το ύψος, όπως θα δούμε παρακάτω, η θεωρία κοσκίνων χρησιμοποιήθηκε από τον Ξενάκη και σε σχέση με τις διάρκειες αλλά σε πολύ πιο περιορισμένο βαθμό από ότι τα κόσκινα μουσικών υψών. Στην πραγματικότητα η θεωρία κοσκίνων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία κλιμάκων οποιασδήποτε μουσικής παραμέτρου η οποία έχει διατακτική δομή. Το ζήτημα των κλιμάκων εμπίπτει λοιπόν στην εκτός-χρόνου δομή της μουσικής, ένα ζήτημα που ο Ξενάκης θεωρεί θεμελιώδες για την επιβίωση της σύγχρονης μουσικής η οποία έχει φτάσει – κατά τον ίδιο - σε αδιέξοδο:221 Μπορώ να συνοψίσω όμως τη σκέψη μου ως εξής: 1. Η εκτός-χρόνου δομή είναι ο κοινός παρονομαστής όλων των μουσικών τόπων. 2. Η αρχαία μουσική, όπως την περιγράφει ο Αριστόξενος, ενέχει μια εκτός-χρόνου δομή ως είδος συνδυαστικής των τριών γενών των τετραχόρδων (διατονικού, αρμονικού222 και εναρμόνιου) τα οποία βασίζονται σε μια συγκερασμένη κλίμακα με βήμα το δωδεκατημόριο του τόνου. 3. Η σύγχρονη μουσική, ακόμη και η πιο προχωρημένη, δεν περιέχει παρά μόνο μια φτωχή εκτός-χρόνου δομή, καμωμένη αποκλειστικά από μιαν άμορφη χρωματική ημιτονοειδή κλίμακα που έχει βγει από το αρχαίο τετράχορδο, το διάτονοσύντονο. 220 Jean-Yves et Dominique Bosseur, En-temps et hors-temps, στο Regards sur Iannis Xenakis, , preface de Maurice Fleuret, Editions Stock 1981, σελ. 89-92. 221 Ο Ξενάκης στην επόμενη αναφορά μιλά σαφώς για αδιέξοδο στη σύγχρονη μουσική αλλά και αναφέρει την εκτός-χρόνου δομή ως τον μόνο τρόπο που μπορεί να τη σώσει. 222 Λανθασμένα αναφέρεται το χρωματικό τετράχορδο ως ‘αρμονικό’. 136 4. Μια βαθύτερη σύγκριση δείχνει πως η σύγχρονη μουσική έχασε την πολυπλοκότητα των εκτός-χρόνου δομών προς χάριν των χρονικών δομών. Εξού και παρά τους χρωματισμούς που μπορεί η στοχαστική να της προσφέρει, η σύγχρονη μουσική έφτασε σε αδιέξοδο. 5. Ο μόνος τρόπος δε να σωθεί είναι να αναθεωρήσει την εκτόςχρόνου δομή της και να την κάνει ακόμη πιο αποτελεσματική. 6. Γι’ αυτό είναι ανάγκη να προβεί σε έλεγχο και σε αξιωματική θεμελίωση των εκτός-χρόνου δομών όλων των μουσικών του πλανήτη μας (πλάγια μουσικολογία). 7. Αφού συντελεστεί έστω και μερικώς μια τέτοια αξιωματική θα πρέπει να ιδρυθεί μια τεχνική, συνισταμένη από τη θεωρητική λογική και τα μαθηματικά, και να πραγματοποιηθεί μια αφηρημένη ανασύσταση όλων των εκτός-χρόνου δομών, όλων των μουσικών του παρελθόντος ή του παρόντος, αρχαίων μεσαιωνικών, ασιατικών, αφρικανικών.... 8. Αυτή όμως η ολοσχερής θεώρηση ανοίγει αυτόματα σχεδόν, νέες οδούς όπου οι αρχαίες, σύγχρονες και μελλοντικές εκτόςχρόνου δομές συνάπτονται και εμφανίζονται σαν επιμέρους περιπτώσεις μιας δυνατότητας σημαντικά πλούσιας και γενικής η οποία είναι και μηχανική (υπολογίσιμη δια των ηλεκτρονικών εγκεφάλων). Αυτό το δρόμο πήρα χάρη σε μια θεωρία των κοσκίνων που χρησιμοποιεί τους κανόνες της θεωρητικής λογικής και τη θεωρία των ισοτιμιών με τις κλάσεις υπολειμμάτων της ισοτιμίας μέτρου ζ. 223 Αναφορά Ξενάκη αρ. 36 223 Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ. 109-110. 137 Ο Ξενάκης, όπως φαίνεται από το παραπάνω απόσπασμα, ανάγει σε κεντρικό ζήτημα για την επιβίωση της σύγχρονης μουσικής την ενδυνάμωση των εκτός-χρόνου δομών της. 5.2.4.1. Εκτός-Χρόνου Δομή της αρχαίας μουσικής όπως παρουσιάζεται από τον Ξενάκη στο άρθρο «Προς μια μετα –Μουσική» Τα επόμενα δύο κεφάλαια ασχολούνται με την περιγραφή των εκτός-χρόνου δομών της Αρχαίας Ελληνικής και της Βυζαντινής μουσικής. Οι δύο περιγραφές εξυπηρετούν ως παραδείγματα μέσα από τα οποία ο Ξενάκης θέλει να δείξει το πως δύο μουσικά συστήματα τα οποία χρησιμοποιούν μεθόδους μέτρησης των διαστημάτων, οι οποίοι είναι διαφορετικοί από το συγκερασμένο σύστημα, μπορούν να ενταχθούν σε μια γενική θεωρία. Στο άρθρο «Προς μια μεταμουσική» ο Ξενάκης κάνει μια γενική περιγραφή της εκτόςχρόνου δομής της αρχαίας Ελληνικής μουσικής βασιζόμενος, όπως αναφέρει, αποκλειστικά στη μελέτη του Αριστόξενου Αρμονικά στοιχεία, χωρίς να λαμβάνει ιδιαίτερα υπόψη την αντίθετη άποψη, αυτή της πυθαγόρειας σχολής. Η επιμονή του Ξενάκη στα αριστοξενικά διαστήματα οφείλεται κατά την άποψή μου σε δύο λόγους. Ο πρώτος είναι πως αφού η πραγματεία του Αριστόξενου για τη μουσική είναι η αρχαιότερη που σώζεται, μπορούμε εύκολα να υποθέσουμε πως ο Αριστόξενος εξέφραζε την πραγματική μουσική που υπήρχε στην αρχαία Ελλάδα, ενώ οι πυθαγόρειοι περιγράφουν ένα ιδανικό σύστημα το οποίο δεν υπάρχει στην πραγματική μουσική ζωή.224 Είναι λοιπόν πιθανόν ο Ξενάκης να αποφεύγει οποίο δεν φαίνεται να την περιγραφή ενός συστήματος το χρησιμοποιήθηκε ποτέ ευρέως. Ο δεύτερος λόγος - και ίσως πιο σημαντικός - είναι πως ο Αριστοξενικός τρόπος διαίρεσης των διαστημάτων είναι πολύ πιο απλός και πολύ πιο κατανοητός σε έναν μουσικό από ό,τι ο πυθαγόρειος. Επίσης ο τρόπος αυτός είναι πολύ πιο κοντά στη σύγχρονη μουσική σκέψη μια και συνηθίζουμε να βλέπουμε τις νότες 224 Αναφέρουμε ξανά την άποψη του Andrew Barker που επισημαίνει πως ο Πλάτωνας δεν περιγράφει ένα υπάρχον μουσικό σύστημα (όπως έχουμε δείξει, ο Πλάτωνας αναφέρεται στο πυθαγόρειο σύστημα, βλ. κεφ. 1.2. ‘Η πυθαγόρεια παράδοση στο έργο του Πλάτωνα’) αλλά προσπαθεί να ανακαλύψει μέσω της μουσικής μια βαθύτερη μαθηματική τάξη. Παρόλο που η ιδέα αυτή δεν εκφράζεται από τον Ξενάκη, με δεδομένο πως ο Πλάτωνας είναι ο συγγραφέας που έχει μελετήσει περισσότερο, είναι πιθανόν να είχε υπόψη του αυτή την τοποθέτηση και αυτός να είναι ένας λόγος που αποφεύγει τη περιγραφή του πυθαγόρειου μουσικού συστήματος. 138 σαν σημεία πάνω σε μια ευθεία – κάτι που αντιστοιχεί με τον αριστοξενικό τρόπο – παρά σαν λόγους χορδών που είναι η πυθαγόρεια αντίληψη. Ο Ξενάκης χωρίζει την ανάλυση του σε κατηγορίες, ακολουθώντας ακριβώς το πρότυπο του Αριστόξενου, παρουσιάζοντας μόνο τις τέσσερις από τις εφτά που αναφέρονται στα Αρμονικά στοιχεία και κάνοντας απλή αναφορά στις υπόλοιπες.225 Οι κατηγορίες που αναλύει ο Ξενάκης είναι: 1. Ο τόνος και οι υποδιαιρέσεις του. 2. Τετράχορδα. 3. Συστήματα. 4. Τρόποι. Οι εφτά κατηγορίες που αναφέρει ο Αριστόξενος είναι:226 1. Γένη. 2. Διαστήματα. 3. Φθόγγοι. 4. Συστήματα. 5. Τρόποι. 6. Μεταβολές. 7. Μελοποιία. Στην ανάλυση της πρώτης κατηγορίας ο Ξενάκης αναφέρει πως ο τόνος ορίζεται ως η διαφορά της πέμπτης από την τέταρτη και πως διαιρείται σε μισά τα οποία αποκαλούνται ημιτόνια, σε τρίτα τα οποία αποκαλούνται χρωματικές διέσεις και σε τέταρτα τα οποία αποκαλούνται εναρμόνιες διέσεις καθώς και ότι δεν χρησιμοποιείται κανένα διάστημα 225 Για τις τρεις τελευταίες κατηγορίες δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες στο σωζόμενο μέρος από τα Αρμονικά του Αριστόξενου και αυτός είναι ένας πιθανός λόγος που ο Ξενάκης δεν τις αναλύει. 226 Barbara C. Andre, The Persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought, Ph. D. diss, University of North Carolina at Chapel Hil, 1980, σελ.134-135. 139 μικρότερο του τέταρτου του τόνου.227 Ακολουθεί λοιπόν προσθετικό τρόπο διαίρεσης του τόνου όπως αυτός παρουσιάζεται από τον Αριστόξενο χωρίς μάλιστα να κάνει καμιά αναφορά στην ύπαρξη διαφορετικού τρόπου διαχωρισμού του τόνου και ειδικότερα στο μαθηματικό – γεωμετρικό τρόπο της πυθαγόρειας σχολής. Η ανάλυση που ακολουθεί για τις επόμενες κατηγορίες χρησιμοποιεί τον ίδιο τρόπο γραφής. Στη δεύτερη κατηγορία, τα τετράχορδα αναλύονται χρησιμοποιώντας Αριστοξενικά μόρια,228 ενώ οι ανάλυση στις επόμενες δύο κατηγορίες δεν είναι τόσο λεπτομερής. Έτσι ολοκληρώνει την παρουσίαση της εκτός-χρόνου δομής που υπήρχε στην Αρχαία Ελληνική μουσική, χρησιμοποιώντας όπως είπαμε αποκλειστικά το σύστημα του Αριστόξενου. Ακολούθως, για πρώτη φορά στο συγκεκριμένο άρθρο, αναφέρει πως στην Αρχαία Ελλάδα υπήρχαν δύο συστήματα , προσδιορίζοντας πως το δεύτερο είναι το πυθαγόρειο. Η σύγκριση που κάνει φαίνεται να δείχνει πως ο ίδιος θεωρεί πιο κατάλληλο το αριστοξενικό σύστημα: ‘Όμως η απόλυτη (φυσική) αξία του διαστήματος δια – τεσσάρων μένει απροσδιόριστη όταν οι πυθαγόρειοι την προσδιορίζουν με την αναλογία ¾ των μηκών μιας χορδής. Πιστεύω πως αυτό είναι ένα δείγμα της σοφίας του Αριστόξενου: η αναλογία ¾ μπορούσε να είναι στην πραγματικότητα ένας μέσος όρος’.229 Αναφορά Ξενάκη αρ. 37 227 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 183-184. 228 Ένας τόνος χωρίζεται σε 12 αριστοξενικά μόρια – άρα η οχτάβα χωρίζεται σε 72 μόρια - που είναι ίσα μεταξύ τους. 229 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 184. 140 Είναι πιθανόν ο Ξενάκης να αγνοούσε την ‘απόδειξη’ του Αριστόξενου πως η τέταρτη ισούται με δυόμισι τόνους και για αυτό δεν κάνει καμιά αναφορά. 230 Στη συνέχεια εκφράζει την άποψη πως τα δύο συστήματα είναι ισοδύναμα : ‘Κατά την διάρκεια των αιώνων, οι δύο γλώσσες – η αριθμητική (που λειτουργεί με την πρόσθεση) και η γεωμετρική (που παράγεται από τις σχέσεις των μηκών της χορδής και λειτουργεί με τον πολλαπλασιασμό) – πάντοτε αναμειγνύονταν και διαδίδονταν έτσι ώστε να δημιουργούν μεγάλη σύγχυση στον υπολογισμό των διαστημάτων και των συνηχήσεων και συνεπώς στις θεωρίες. Στην πραγματικότητα είναι και οι δύο εκφράσεις της δομής ομάδας, έχοντας όμως ανόμοιες διαδικασίες έτσι είναι ισοδύναμες’. 231 Αναφορά Ξενάκη αρ. 38 Το παράδοξο είναι πως ο Ξενάκης κάνει ανάλυση της εκτός-χρόνου δομής της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής – βασιζόμενος αποκλειστικά στον Αριστόξενο – για να μπορέσει να εισαγάγει ο ίδιος τη θεωρία κοσκίνων – μια πυθαγόρεια εφεύρεση – η οποία σκοπό έχει την ενδυνάμωση των εκτός-χρόνου δομών της σύγχρονης μουσικής. 230 Η ‘απόδειξη’ του Αριστόξενου έχει ένα σημαντικό σφάλμα, αφού ο Αριστόξενος υποστηρίζει πως ένα από τα διαστήματα που χρησιμοποιεί κατά την απόδειξη είναι μια καθαρή πέμπτη, βασιζόμενος στην ακοή. Στην πραγματικότητα το εν λόγω διάστημα μαθηματικά προσδιοριζόμενο, ισούται με 262144/177147 το οποίο είναι μικρότερο από 3/2. Για πλήρη ανάπτυξη της αποδείξεως του Αριστόξενου καθώς και των σφαλμάτων που περιέχει βλ. Barbara C. Andre, The Persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought, Ph. D. diss, University of North Carolina at Chapel Hil, 1980, σελ.136-139. 231 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 184. 141 5.2.4.2. Εκτός-χρόνου δομή της βυζαντινής μουσικής Κατά την ανάλυση της εκτός-χρόνου δομής της Βυζαντινής μουσικής ο Ξενάκης κάνει για πρώτη φορά χρήση του πυθαγόρειου τρόπου κατασκευής διαστημάτων μια και όπως ο ίδιος αναφέρει: ‘Η βυζαντινή μουσική είναι ένα αμάλγαμα των δύο μεθόδων υπολογισμού, του πυθαγόρειου και του αριστοξενικού, του πολλαπλασιαστικού και του προσθετικού’232 Αναφορά Ξενάκη αρ. 39 Στην ανάλυσή του χρησιμοποιεί τον ίδιο τρόπο με την ανάλυση της εκτός-χρόνου δομής της αρχαίας μουσικής, χωρίζοντας την σε τρεις τάξεις: 1. Οι τόνοι και οι υποδιαιρέσεις τους. 2. Τετράχορδα. 3. Κλίμακες. Το νέο στοιχείο σε σχέση με τα προηγούμενα είναι η προσπάθεια παραλληλισμού των πυθαγόρειων διαστημάτων με τα αριστοξενικά. Αναφέρει χαρακτηριστικά: ‘Η τέταρτη εκφράζεται ως η αναλογία 3/4 του μονόχορδου, ή από 30 συγκερασμένα μόρια (72 στην οχτάβα). Περιέχει τριών ειδών τόνους: μείζονα (9/8 ή 12 μόρια), ελάσσονα (10/9 ή 10 μόρια) και ελάχιστο (16/15 ή 8 μόρια).233 Αναφορά Ξενάκη αρ. 40 Στην πραγματικότητα έχουμε παραπάνω ένα κατά προσέγγιση υπολογισμό των διαστημάτων αφού: 232 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 198. 233 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 198. 142 9/8 = 12, 2346 αριστοξενικά μόρια234 10/9 = 10, 9442 αριστοξενικά μόρια 16/15 = 6, 7038 αριστοξενικά μόρια Είναι πιθανόν τα παραπάνω σφάλματα να οφείλονται σε τυπογραφικά λάθη αφού στο χειρόγραφο προσχέδιο του άρθρου η μετατροπή των βυζαντινών τόνων σε αριστοξενικά μόρια, είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα, αν και εξακολουθεί να είναι κατά προσέγγιση. Συγκεκριμένα: 9/8 = 12 μόρια 10/9 = 11 μόρια 16/15 = 7 μόρια235 Στη συνέχεια ο Ξενάκης αναφέρει το ρόλο της φυσικής διατονικής κλίμακας, αναφέροντας τις βαθμίδες της σε πυθαγόρεια και σε αριστοξενικά διαστήματα. Αναλυτικά: 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2236, 27/16, 15/8, 2 σε πυθαγόρειες αναλογίες237 0, 12, 22, 30, 42, 54, 64, 72 ή 0, 12, 23, 30, 42, 54, 65, 72 σε αριστοξενικά μόρια Ακόμα ένα παράδοξο μπορούμε να δούμε στην ανάλυση της πρώτης τάξης δηλ. του τόνου και τις υποδιαιρέσεις του. Παρόλο που ο Ξενάκης αναφέρει πως η οργάνωση είναι όπως 234 Η μαθηματική σχέση για να μετατρέψουμε ένα οποιοδήποτε διάστημα σε αριστοξενικά μόρια είναι: 72log 2 ( f 1 ). Βλ. Μωυσιάδης - Χ.Χ. Σπυρίδης, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά στην επιστήμη της Μουσικής, Ζήτη, f2 Θεσσαλονίκη 1994, σελ. 35 -57. 235 Το χειρόγραφο προσχέδιο του άρθρου βρίσκεται στο αρχείο Ξενάκη, Ecrits 1/6, στην Εθνική Γαλλική Βιβλιοθήκη. 236 Στην τελευταία έκδοση του Formalized Music υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος, αφού το διάστημα της πέμπτης (3/2) δεν αναφέρεται. Το λάθος υπάρχει μόνο στην έκδοση του Formalized Music, αφού στο προσχέδιο του άρθρου τα διαστήματα αναγράφονται από τον Ξενάκη όπως τα παρουσιάζουμε παραπάνω. 237 Υπάρχει μια μικρή απόκλιση στην τρίτη και έβδομη βαθμίδα από τις - καθορισμένες από την Πατριαρχική Επιτροπή του 1881- βαθμίδες της Βυζαντινής μουσικής που είναι 100/81 και 50/27 αντίστοιχα. 143 στον Αριστόξενο, η παράθεση των διαστημάτων γίνεται μόνο με τον πυθαγόρειο τρόπο, δηλ. με αριθμητικούς λόγους. Έτσι αναφέρονται οι τρεις τόνοι 9/8, 10/9, 16/15 και μια σειρά άλλων διαστημάτων που χρησιμοποιούνται στη Βυζαντινή μουσική: 7/6, 6/5, 15/14, 256/243, 135/128, 81/80. Αναφέρει μάλιστα πως η πολυπλοκότητα των διαστημάτων οφείλεται στη μείξη των δύο τρόπων υπολογισμού των διαστημάτων.238 Παρόλο που στην ανάλυση της πρώτης τάξης ο Ξενάκης χρησιμοποιεί μόνο τον πυθαγόρειο τρόπο, στην ανάλυση της δεύτερης τάξης - στην ανάλυση των τετραχόρδων επιχειρεί να εκφράσει τα παραπάνω διαστήματα με αριστοξενικά μόρια υποπίπτοντας έτσι σε αρκετά σφάλματα μια και, με αυστηρά μαθηματική προσέγγιση, κάτι τέτοιο μόνο προσεγγιστικά μπορεί να γίνει. Έτσι, πέραν της κατά προσέγγιση μεταφοράς των πυθαγόρειων διαστημάτων σε αριστοξενικά μπορούμε να ανακαλύψουμε διάφορα λάθη και αντιφάσεις τα οποία οφείλονται ακριβώς στον κατά προσέγγιση υπολογισμό. Έτσι, στην ανάλυση των χρωματικών τετραχόρδων τα διαστήματα 16/15 και 15/14 εξισώνονται, αφού και τα δύο φαίνονται να ισούνται με 7 μόρια. Στην πραγματικότητα 16/15 = 6, 7038 μόρια και 15/14 = 7, 1665 μόρια. Επίσης, το διάστημα 256/243 στην ανάλυση των χρωματικών τετραχόρδων ισούται με 5 μόρια (πραγματική τιμή 5, 4134 μόρια) ενώ στην ανάλυση των εναρμόνιων τετραχόρδων με 6. Βλέπουμε πως για μερικά διαστήματα μερικές φορές δίνονται δύο διαφορετικές τιμές σε αριστοξενικά μόρια, έτσι ώστε οι τελικές μαθηματικές τιμές να είναι σωστές. Στον επόμενο πίνακα φαίνονται αναλυτικά οι διαφορές με τις πραγματικές τιμές στην μεταφορά των πυθαγόρειων διαστημάτων σε αριστοξενικά μόρια από τον Ξενάκη: Πυθαγόρεια διαστήματα Πραγματική τιμή σε μόρια Τιμή που δίνει ο Ξενάκης 9/8 12, 2346 12 10/9 10, 9442 10 16/15 6, 7038 8ή7 15/14 7, 1665 7 256/243 5, 4134 5ή6 Πίνακας 10 238 Iannis Xenakis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 196. 144 5.2.4.3. Συμπεράσματα Η επιμονή του Ξενάκη στα αριστοξενικά διαστήματα οφείλεται κατά την άποψή μου σε δύο λόγους. Έχω ήδη αναφέρει τον πρώτο, την άποψη δηλαδή πως ο Αριστόξενος εξέφραζε την πραγματική μουσική που υπήρχε στην αρχαία Ελλάδα. Ο δεύτερος και ίσως ο πιο σημαντικός, είναι πως ο αριστοξενικός τρόπος είναι πολύ πιο απλός και πολύ πιο κατανοητός σε ένα μουσικό από ό,τι ο πυθαγόρειος. Επίσης ο τρόπος αυτός είναι πολύ πιο κοντά στη σύγχρονη μουσική σκέψη μια και συνηθίζουμε να βλέπουμε τις νότες σαν σημεία πάνω σε μια ευθεία – κάτι που αντιστοιχεί με τον αριστοξενικό τρόπο – παρά σαν λόγους χορδών που είναι η πυθαγόρεια αντίληψη. Η θεωρία κοσκίνων όπως θα δούμε παρακάτω, βλέπει τα μουσικά διαστήματα με τον αριστοξενικό τρόπο, σαν σημεία σε μια ευθεία γραμμή. Η θεωρία κοσκίνων, χρησιμοποιήθηκε από τους πυθαγορείους για την εύρεση των πρώτων αριθμών και η μεταφορά της στη μουσική είναι μια μεγάλης σημασίας συνεισφορά στη μουσική από τον Ξενάκη.239 239 Ο ίδιος ο Ξενάκης θεωρεί αυτή τη μεταφορά μια από τις τέσσερις πιο σημαντικές συνεισφορές του στη μουσική μέχρι το 1976. Βλ. πίνακα σχέσης Μουσικής-Μαθηματικών, κεφ. 3 ‘Μουσική και Μαθηματικά’. 145 5.3. Μουσικά στοιχεία που μπορεί να ισχύουν παγκόσμια Συνεχίζοντας την αναζήτηση για τη δημιουργία μιας παγκόσμιας μουσικής, ο Ξενάκης προσπαθεί να ανακαλύψει μουσικά στοιχεία εκτός-χρόνου τα οποία είναι κοινά σε μουσικές δομές παγκοσμίως. Η σημασία αυτής της αναζήτησης είναι προφανής: Η ανακάλυψη στοιχείων τα οποία είναι κοινά σε διαφορετικούς μουσικούς πολιτισμούς – ο οποίοι συχνά δεν έχουν καμιά επαφή μεταξύ τους – δείχνει πως ο ανθρώπινος εγκέφαλος προσλαμβάνει θετικά συγκεκριμένα μουσικά στοιχεία ανεξάρτητα από την εθνικότητα, την κουλτούρα ή την εκπαίδευση του. Το θέμα αυτό είναι φανερό πως ενδιέφερε εξαιρετικά τον Ξενάκη. 1. Το τετράχορδο Ένα από τα πιο βασικά παραδείγματα που παρουσιάζει ο Ξενάκης σχετικά με τα μουσικά στοιχεία τα οποία μπορούν να βρεθούν σε διαφορετικούς πολιτισμούς είναι αυτό της καθαρής τέταρτης, το τετράχορδο. Η καθαρή τέταρτη, όπως παρατηρεί ο Ξενάκης, είναι ένα διάστημα το οποίο έχει την πρωτοκαθεδρία σε πολλούς μουσικούς πολιτισμούς στη Γη. Αν ανεβούμε μια σκάλα και κοιτάξουμε την ιστορία από ένα ορισμένο ύψος, θα δούμε πολλά πράγματα που έχουν συμβεί. Για να μπορέσουμε να δούμε καθαρότερα, είναι απαραίτητο να εξαφανίσουμε ακριβώς αυτές τις κοινωνικό-πολιτιστικές αποκτήσεις. Όταν γίνει αυτό, θα μπορέσουμε επιτέλους να βρούμε ποια πράγματα είναι ανεξάρτητα, ποια είναι επίκτητα ή μόνιμα, δηλαδή αυτά που είναι σταθερά στο χρόνο και στο χώρο επίσης. Και είναι για αυτό που ξαφνικά βρίσκουμε μια ‘προσωπικότητα’ που φαίνεται να είναι παγκόσμια στην περίπτωση της κλίμακας και που αλλάζει ελάχιστα σε όλο τον κόσμο. Αυτή η ‘προσωπικότητα’ είναι το διάστημα της τέταρτης. Λες και πρόκειται για τύχη, ο Αριστόξενος ξεκινά τη μουσική του θεωρία με αυτό: μιλά για την καθαρή τέταρτη. Παρόλα αυτά, δεν προσδιορίζει μαθηματικά το διάστημα, επειδή δεν αναζητά τις αιτίες όπως ένας πυθαγόρειος παρόλο που γνωρίζει μαθηματικά και τον πυθαγορισμό. Αλλά θεωρεί την καθαρή τέταρτη ως το πιο 146 σημαντικό διάστημα και ξεκινά την πραγματεία του με αυτό. Επίσης, μπορούμε να συναντήσουμε το διάστημα της καθαρής τέταρτης σε όλες τις κουλτούρες του κόσμου. Στο επόμενο επίπεδο μπορούμε να πούμε πως αντιστοιχεί σε ένα είδος «μουσικού αμετάβλητου.240 Αναφορά Ξενάκη αρ. 41 Η συγκεκριμένη αναφορά δεν θα είναι και η μοναδική του Ξενάκη πάνω στο διάστημα της καθαρής τέταρτης. Ήδη πολύ πριν ασχοληθεί με την έρευνα γύρω από τα στοιχεία της μουσικής που θεωρεί οικουμενικά, το διάστημα της καθαρής τέταρτης τον απασχολεί ως ένα στοιχείο της Ελληνικής δημοτικής μουσικής, το οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στη σύγχρονη μουσική δημιουργία. Στο άρθρο ‘Προβλήματα Ελληνικής μουσικής σύνθεσης’ κάνει αναφορά στις πολυφωνίες της ποντιακής λύρας με παράλληλες καθαρές τέταρτες, ένα στοιχείο που όπως έχει δείξει ο Μάκης Σολωμός241 θα χρησιμοποιήσει στο έργο Ζυγιά: Παράδειγμα 14, Ζυγιά, μ. 318-319 Εκτεταμένη χρήση του διαστήματος της καθαρής τέταρτης γίνεται και στο έργο Ορέστεια, στο πρώτο μέρος του οποίου ο ανδρικός χορός τραγουδά σε παράλληλες τέταρτες: 240 Xenakis Iannis, Art- sciences, Alloys: The thesis defence of Iannis Xenakis before Olivier Messiaen, Michel Ragon, Olivier Revault D’ Allonnes, Michel Serres and Bernard Teyssedre, Pendragon Press, New York 1985. 241 Σολωμός Μάκης, «Τα πρώιμα έργα του Ξενάκη, από το ‘Μπαρτοκικό’ σχέδιο στην αφαίρεση», Τα Μουσικά αρ. 5, Αθήνα 2000, σελ. 44-54. 147 Παράδειγμα 15, Ορέστεια, μέρος 1 Αγαμέμνoνας μμ. 102-107 Παράδειγμα 16, Ορέστεια, μέρος 1 Αγαμέμνoνας μμ. 112-134 148 Ο Ξενάκης θα αναφερθεί ξανά στο συγκεκριμένο διάστημα στην πρώτη συνέντευξη με τον Varga σε σχέση με τα πρώτα μέτρα του έργου Serment-Όρκος (παράδειγμα 17). Αυτή τη φορά συνδέει το διάστημα της καθαρής τέταρτης με τη σκάλα pelog της Ιάβας. Θέλω να σας πω κάτι που ήταν πολύ σημαντικό για την εξέλιξή μου: μελέτησα τη μουσική της Ιάβας και ειδικά εκείνη την κλίμακα που τη λένε pelog και που βασίζεται σε μια πολύ δυνατή συναρμογή ανάμεσα σε δύο διαστήματα τέταρτης. Η καθαρή τέταρτη έχει παγκόσμιο αντίκρισμα – στην Ινδία, την Αφρική, την Ευρώπη, την Κίνα, την Ιαπωνία. Κανείς δεν ξέρει γιατί. Δεν πιστεύω την εξήγηση που είναι βασισμένη πάνω στην αριθμητική προσέγγιση, την αρμονική ανάλυση η οποία αντιστοιχεί το διάστημα σε μια πολύ απλή αριθμητική αναλογία.242 Στο κάτω κάτω, η οχτάβα αντιστοιχεί σε μια απλούστερη αριθμητική αναλογία και θα έπρεπε να είναι ακόμα πιο οικουμενική αλλά δεν είναι. Προέκυψε πολύ αργότερα. Στην pelog οι δύο τέταρτες είναι τοποθετημένες με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να δημιουργούν κεντρικές νότες…. Αυτή η δυναμική μελωδική δομή είναι ο πυρήνας της μουσικής της Ιάβας και, κατά κάποιο τρόπο, της μουσικής του Μπαλί. Έχω συνδέσει τη pelog με την Αρχαία Ευρωπαϊκή παράδοση του τετραχόρδου – με τον Αριστόξενο και τον Ευκλείδη που και οι δύο θεωρούσαν την καθαρή τέταρτη το πιο σημαντικό συστατικό της σκάλας’.243 Αναφορά Ξενάκη αρ. 42 242 Ο Ξενάκης αναφέρεται στην αναλογία 4:3 με την οποία εκφράζεται η καθαρή τέταρτη και - όπως έχουμε δείξει - ανακαλύφθηκε από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. 243 Varga Balint Andras, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber , London 1996, σελ. 144-145. 149 Παράδειγμα 17, Serment- Όρκος μ. 1-2 2. Ο Ρυθμός Το διάστημα της καθαρής τέταρτης δεν είναι το μοναδικό στοιχείο που αναγνωρίζει ο Ξενάκης ως παγκόσμιο. Παρουσιάζει επίσης το θέμα του ρυθμού και την τεράστια διαφοροποίηση των τελευταίων έργων του Ξενάκη σε σχέση με τα αρχικά του έργα πάνω στο συγκεκριμένο θέμα. Η απλοποίηση του ρυθμού στα έργα που γράφτηκαν από τα τέλη της δεκαετίας του ’70 και αργότερα, όπως είναι το Jonchaies (1977) ή το Thalleïn (1984) προήλθε – όπως δηλώνει ο ίδιος ο Ξενάκης – μέσα από τη μελέτη και χρήση ρυθμικών σχημάτων από διάφορες χώρες αναφέροντας ενδεικτικά τους ρυθμούς που χρησιμοποιούνται στην Ελλάδα, τη Βουλγαρία, τη Ρουμανία καθώς και ρυθμούς από την Ινδία και την Αφρική. Το γεγονός πως στο Jonchaies γίνεται χρήση και της σκάλας pelog – και κατά συνέπεια η μελωδική δομή βασίζεται πάνω στο διάστημα της καθαρής τέταρτης – δείχνει πως και τα δύο είναι προϊόντα της ίδιας σκέψης. Ο Ξενάκης το 1989 σε ερώτηση σχετικά με την απλοποίηση του ρυθμού στα τελευταία του έργα απαντά: Πρώτα από όλα, προέρχομαι από ένα μέρος όπου αυτοί οι ρυθμοί- και μου αρέσει να τους αποκαλώ μπαρτοκικούς ρυθμούς – είναι εγγενείς. Ανήκουν στην παράδοση της Ελλάδας αλλά και της 150 Βουλγαρίας, όχι τόσο πολύ της Ρουμανίας. Έχω μεγαλώσει με αυτούς. Έχω μελετήσει και τους ινδικούς ρυθμούς, που με γοητεύουν: βασίζονται σε πολύ απλά στοιχεία, αλλά είναι εξαιρετικά σύνθετοι… Πριν από πολλά χρόνια, είχα μελετήσει τη μουσική της Ινδίας για κρουστά – όχι για να τη μιμηθώ, αλλά για να καταλάβω τον κανόνα που τη διέπει, δηλαδή τις μεταθέσεις ρυθμού που παράγουν ένα πολυεπίπεδο σύστημα, ακόμα και με ένα μόνο όργανο. Για παράδειγμα, στη Psapha οι τονισμοί παράγουν διάφορα επίπεδα ρυθμικών σχημάτων, το ένα επάνω στο άλλο. Τρίτον, έχω μελετήσει και αφρικανικούς ρυθμούς, οι οποίοι κι αυτοί μοιάζουν σύνθετοι, αλλά στην πραγματικότητα βασίζονται σε ισόχρονα ρυθμικά σχήματα. 244 Αναφορά Ξενάκη αρ. 43 Ο Ξενάκης παραπάνω ομολογεί ότι επηρεάστηκε από τη μελέτη ρυθμών της παγκόσμιας παράδοσης σε σημείο ώστε στα τελευταία του έργα χρησιμοποιεί για πρώτη φορά ρυθμικό παλμό στα έργα του, ένα σταθερό δηλαδή ρυθμό ο οποίος γίνεται εύκολα αντιληπτός.245 Βασιζόμενοι στα παραπάνω μπορούμε να ισχυριστούμε πως η σταδιακή εγκατάλειψη των μαθηματικών μοντέλων στη σύνθεση από τον Ξενάκη οφείλεται κυρίως στη μελέτη των εκτός-χρόνων δομών διαφόρων μουσικών πολιτισμών και την σταδιακή ενσωμάτωση αυτών των στοιχείων μέσα στα δικά του έργα. Πρέπει βέβαια να τονίσουμε πως δεν υπάρχει ποτέ πλήρης εγκατάλειψη των μαθηματικών μοντέλων αλλά μείωση και, κυρίως, διαφοροποίηση της χρήσης τους. Μετά το 1975, ο Ξενάκης θα ασχοληθεί κυρίως με την υλοποίηση των παραπάνω αναζητήσεων, μέσα από ένα πυθαγόρειο μαθηματικό μοντέλο, τη θεωρία κοσκίνων. 244 Varga Balint Andras, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber , London 1996, σελ. 146-147. 245 Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα των έργων Thalein και Idmen A. 151 5.4. Θεωρία κοσκίνων 5.4.1. Το «κόσκινο» του Ερατοσθένη Η θεωρία κοσκίνων είναι εφεύρεση του Ερατοσθένη και παρουσιάστηκε από το Νικόμαχο στο έργο του Εισαγωγή Αριθμητική.246 Με τη μέθοδο που ο Ερατοσθένης ονόμασε «κόσκινο» μπορούσαν να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί247 μέχρι το σημείο που αυτός που χρησιμοποιεί τη μέθοδο επιθυμούσε. Η μέθοδος αυτή έχει ως εξής:248 Παίρνουμε όλους τους περιττούς αριθμούς ξεκινώντας από το τρία249: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35...... (η σειρά μπορεί να συνεχιστεί έπ’ άπειρον) Διαγράφουμε από αυτή όλα τα πολλαπλάσια του 3, τα οποία – αφού διαιρούνται με το τρία - δεν είναι πρώτοι αριθμοί, οπόταν έχουμε: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35…… Κάνουμε το ίδιο με τον επόμενο αριθμό της σειράς, το 5, οπόταν έχουμε: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35…… 246 Νικόμαχος, Εισαγωγή Αριθμητική, i. 13. 2-4. 247 Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί οι οποίοι δεν διαιρούνται παρά μόνο με τον εαυτό τους και την μονάδα χωρίς να αφήνουν υπόλοιπο. Ο Ευκλείδης απέδειξε πως είναι άπειροι. 248 Όπως παρουσιάζεται στον Ivon Thomas (translator), Greek Mathematics vol. I, from Thales to Euclid, Harvard University Press, London 1967, σελ. 101-102. 249 Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε από τον αριθμό δύο και να έχουμε σε σειρά όλους τους αριθμούς και όχι μόνο τους περιττούς. Το δύο είναι πρώτος αριθμός και όλα τα πολλαπλάσιά τους – δηλαδή όλοι οι ζυγοί αριθμοί – δεν μπορεί να είναι πρώτοι εξ’ ορισμού. Εδώ παρουσιάζουμε το παράδειγμα όπως παρατίθεται από το Νικόμαχο. 152 Η ίδια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί συνέχεια για όλους τους επόμενους αριθμούς αφήνοντας τελικά μόνο αυτούς που είναι πρώτοι. Ο Νικόμαχος στην ‘Εισαγωγή Αριθμητική’ συνεχίζει με τους επόμενους αριθμούς, αλλά στο παράδειγμά μας δεν χρειάζεται να συνεχίσουμε μια και οι εναπομείναντες αριθμοί είναι όλοι πρώτοι. Η μέθοδος αυτή εντάσσεται στα μαθηματικά της πυθαγόρειας παράδοσης μια και η παρουσίασή της γίνεται από ένα νεο-πυθαγόρειο συγγραφέα, το Νικόμαχο, σε ένα έργο στο οποίο όλοι οι μελετητές συμφωνούν πως είναι παρουσίαση της πυθαγόρειας θεωρίας για τους αριθμούς. Ο Ivory Thomas250 και ο Sir Thomas L. Heath251 παρουσιάζουν τη μέθοδο του Ερατοσθένη στα πλαίσια της παρουσίασης της πυθαγόρειας αριθμητικής. Βάση, λοιπόν, των παραπάνω, θα θεωρήσουμε πως το κόσκινο του Ερατοσθένη ανήκει στην πυθαγόρεια παράδοση και κατά συνέπεια, οποιαδήποτε χρήση του – όπως η μεταφορά του στη μουσική από τον Ξενάκη – σχετίζεται και αυτή με την πυθαγόρεια παράδοση. 5.4.2. Η θεωρία κοσκίνων του Ξενάκη Όπως μας πληροφορεί ο Christophen Ariza252 οι πρώτες εξερευνήσεις του Ξενάκη γύρω από τη θεωρία κοσκίνων, βρίσκονται στις σημειώσεις του από το καλοκαίρι του 1963, όταν ο Άαρον Κόπλαντ κάλεσε τον Ξενάκη να διδάξει στο Μουσικό Κέντρο Berkshire. Περαιτέρω εξέλιξη της θεωρίας υπήρξε κατά τη διάρκεια της παραμονής του Ξενάκη στο Βερολίνο από το τέλος του 1963 μέχρι την Άνοιξη του 1964. Η θεωρία κοσκίνων παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο άρθρο La voie de la recherché et de la question253 το 1965. Ο Ξενάκης παρουσίασε επίσης τα κόσκινα στο άρθρο Vers une 250 Ivon Thomas (translator), ο.π. , σελ. 101-102. 251 Sir Thomas L. Heath, A manual of Greek mathematics, Dover, London 1931 , σελ. 61-64 και 343-344 252 Christophen Ariza, The Xenakis Sieve as Object: A new model and a complete implementation, Computer Music Journal, Massachusetts Institue of Technology, 2005, σελ. 40-60. 253 Ιάννης Ξενάκης, La voie de la recherché et de la question, Preuver 177, σελ. 33-36, 1965. Το άρθρο αναδημοσιεύτηκε στο Ιάννης Ξενάκης, Kéleütha, L’ Arche, Παρίσι 1992, καθώς και στο Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, Ψυχογιός, Αθήνα 2001 με τον τίτλο Ο δρόμος της Έρευνας και της Ερώτησης. 153 philosophie de la musique254 Επίσης, παρουσίαση της Θεωρίας Κοσκίνων εμφανίζεται στο άρθρο του Vers une Metamusique255 το 1967 και στο άρθρο Redécouvrir le Temps256. Δύο τελευταία άρθρα εμφανίζονται στο βιβλίο Formalized Music με τους τίτλους Sieves και Sieves:a user’s Guide.257 Ένα κόσκινο είναι ουσιαστικά μια επιλογή ανάμεσα στα διαθέσιμα σημεία ενός άξονα ορισμένων διαστάσεων και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή οποιασδήποτε κλίμακας, χωρίς όμως να δίνει διατεταγμένα τα συστατικά της, παρόλο που και αυτό είναι δυνατόν. Το αποτέλεσμα που δίνεται είναι μια εκτός-χρόνου κατασκευή, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη διαδικασία της σύνθεσης. Είναι σημαντικό να τονίσουμε πως για να μπορέσει να εφαρμοστεί η θεωρία κοσκίνων σε οποιοδήποτε χαρακτηριστικό του ήχου πρέπει αυτό να έχει μια διατεταγμένη δομή. Αν οποιοδήποτε χαρακτηριστικό του ήχου έχει διατεταγμένη δομή τότε μπορεί να αναπαρασταθεί με μια ευθεία γραμμή και η θεωρία κοσκίνων βοηθά στην επιλογή και οργάνωση σημείων πάνω σε αυτή τη γραμμή.258 Ιάννης Ξενάκης, Vers une philosophie de la Musique, Gravesaner Blätter, 1966. Το ίδιο άρθρο αναδημοσιεύτηκε 254 στο Revue d’ Esthétique το 1968 και στα βιβλία του Ξενάκη Musique Arhcitecture (1976) και Formalized Music (1992) με τον τίτλο Towards to a Philosophy of Music. Ιάννης Ξενάκης, Vers une métamusic, La Nef, 1967. Το άρθρο αναδημοσιεύτηκε στο Musique Arhcitecture 255 (1976) και Formalized Music (1992) με τον τίτλο Towards to a Metamusic. 256 Ιάννης Ξενάκης, Sur le Temps, Redécouvrir le Temps, Πανεπιστήμιο των Βρυξελλών, 1988. Το άρθρο παρουσιάστηκε στο περιοδικό Perspectives of New Music με τον τίτλο Concerning Time και στο Formalized Music με τον τίτλο Concerning Time, Space and Music. 257 Τα δύο άρθρα υπάρχουν στο βιβλίο του Ξενάκη Formalized Music κεφ. 11 και 12. Στο δεύτερο άρθρο περιέχεται ένα πρόγραμμα στη γλώσσα προγραμματισμού C το οποίο εξυπηρετεί στην κατασκευή και ανάλυση των κοσκίνων. Στην έκδοση που υπάρχει στο Formalized Music, το πρόγραμμα περιέχει διάφορα τυπογραφικά λάθη και δεν μπορεί να λειτουργήσει. Σωστή έκδοση του προγράμματος υπάρχει στη διατριβή του Ronald Squibbs. "An analytical approach to recent music of Iannis Xenakis." Doctoral Dissertation. Yale University, 1996, σελ. 291 – 303. 258 Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996, σελ 93. 154 Η θεωρία κοσκίνων είναι πολύ γενική και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε χαρακτηριστικό του ήχου με διατεταγμένη δομή όπως ένταση, πυκνότητα, ταχύτητες, βαθμίδες τάξης ή αταξίας κτλ. 259 Αναφορά Ξενάκη αρ. 44 Στην πιο απλή μορφή του ένα κόσκινο συμβολίζεται από ένα ζεύγος αριθμών (m, n) όπου το m δηλώνει τον αριθμό βημάτων260 στον άξονα και το n το αρχικό σημείο. π.χ. (3, 0) ή 3 0 = {0, 3, 6, 9, 12…..} (4, 2) ή 4 2 = {2, 6, 10, 14, 18…..} Δανειζόμενοι από τη θεωρία συνόλων τις έννοιες της ένωσης (  ), της τομής (  ) και της άρνησης (-) μπορούμε να κατασκευάσουμε πιο πολύπλοκες δομές: π.χ. (3, 0)  (4, 0) = { 0, 3, 4, 6, 8, 9, 12…} (3, 1)  (4, 1) = {1, 4, 5, 7, 9, 10, 13…} Και τα δύο παραπάνω κόσκινα έχουν τις ίδιες διαφορές μεταξύ των στοιχείων τους: (3, 1, 2, 2, 1, 3) Το δεύτερο κόσκινο είναι μια μεταβολή του πρώτου. Επίσης βλέπουμε πως οι διαφορές είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Αυτό είναι χαρακτηριστικό των κοσκίνων που προέρχονται από δύο ή περισσότερα modules. Όπως είπαμε, τη παραπάνω τεχνική μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή οποιασδήποτε κλίμακας: 259 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 199. 260 Με τη λέξη βήματα εννοούμε την εκάστοτε μονάδα την οποία επιλέγει ο συνθέτης. Τονίζουμε εδώ πως η μονάδα για χρήση των κοσκίνων στη μουσική μπορεί να είναι οποιοδήποτε διάστημα, όπως το συγκερασμένο ημιτόνιο, το τέταρτο του τόνου, ο επόγδοος τόνος, το αριστοξενικό μόριο κτλ. 155 Ας υποθέσουμε πως έχουμε τη χρωματική κλίμακα, αρχίζοντας από τη νότα Ντο και συμβολίζουμε κάθε νότα με ένα αριθμό αρχίζοντας από το 0. Έχουμε: Ντο Ντο# Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ντο 11 12 Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω συμβολισμό και τη θεωρία κοσκίνων μπορούμε να αναπαραστήσουμε κάθε κλίμακα. Για παράδειγμα, το κόσκινο που μας δίνει τη χρωματική κλίμακα είναι: (1, 0) Αυτό σημαίνει πως παίρνουμε κάθε νότα αρχίζοντας από τη νότα που φέρει τον αριθμό μηδέν και παίρνουμε έτσι όλες τις νότες. Τη χρωματική κλίμακα μπορούμε επίσης να την εκφράσουμε με το κόσκινο (2, 0)  (2, 1)261 Το παραπάνω κόσκινο αναλύεται: (2, 0) = Ντο Ντο# Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι 0 (2, 1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ντο Ντο# Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ντο Ντο 11 12 Με αυτό τον τρόπο έχουμε όλες τις νότες της χρωματικής κλίμακας. 261 Κάθε ένα από τα δύο modules παράγει τις δύο μεταθέσεις της ολοτονικής κλίμακας. Η πρόσθεση τους παράγει τη χρωματική κλίμακα. 156 Το κόσκινο που μας δίνει την ντο μείζονα είναι262: (3 2  4 0 )  ( 3 1  4 1 )  (3 2  4 2 )  ( 3 0 43 ) Το παραπάνω κόσκινο αναλύεται ως εξής: 3 Ρε = 2 Ρε# Μι Φα Ντο Ντο# Ρε 4 0= Φα# Σολ Σολ# Λα Ρε# Μι Φα Φα# Λα# Σι Ντο Ντο# Ρε Σολ Σολ# Λα Λα# Σι Ντο Κρατάμε τις κοινές νότες που είναι οι Ντο και Μι. 3 1= Ντο# Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι Ντο Ντο# 41 = Ντο# Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι Ντο Ντο# Κρατάμε τις κοινές νότες που είναι οι Φα και Λα. 32 = Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι Ντο Ντο# Ρε ( 42 = Ρε Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Λα# Σι Ντο Ντο# Ρε Σι Ντο Κρατάμε τις κοινές νότες που είναι η Ρε. 3 0 Ντο Ντο# Ρε = Ρε# 4 3= Μι Ρε# Μι Φα Φα# Σολ Φα Φα# Σολ Σολ# Λα Σολ# Λα Λα# Σι Λα# Ντο Ντο# Ρε Ρε# Κρατάμε τις κοινές νότες που είναι οι Σολ και Σι. Άρα έχουμε (Ντο, Μι)  (Φα, Λα)  (Ρε)  (Σολ, Σι) = Ντο, Ρε, Μι, Φα, Σολ, Λα, Σι, (Ντο) = Ντο Μείζονα Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε άλλη μείζονα κλίμακα με μια μεταβολή του αρχικού κόσκινου. Ο Ξενάκης φέρει ως παράδειγμα το κόσκινο της Ντο# μείζονας: (3 262 0  4 1 )  ( 3 2  4 2 )  (3 0  4 3 )  ( 3 1  4 0 ) 263 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 196. Η φόρμουλα αναφέρεται λανθασμένα ως φόρμουλα για τη μείζονα κλίμακα. Η γενική φόρμουλα για τη μείζονα κλίμακα παρουσιάζεται στη σελ. 197. 157 Η γενική φόρμουλα για οποιαδήποτε μείζονα κλίμακα είναι: (3 n+ 2  4 n )  ( 3 n +1  4 n +1 )  (3 n+2  4 n+2 )  ( 3 n  4 n +3 ) Ο Ξενάκης ονόμασε την αλλαγή του αρχικού σημείου σε ένα κόσκινο μεταβολή, όρο τον οποίο φαίνεται να δανείζεται μέσα από τη μελέτη της αρχαίας Ελληνικής και της Βυζαντινής μουσικής.264 Η μεταβολές των κοσκίνων, όπως θα δούμε και παρακάτω, είναι μια βασική τεχνική της χρήσης τους. Στα παραπάνω παραδείγματα χρησιμοποιήθηκε ως μονάδα μέτρησης το συγκερασμένο ημιτόνιο. Η θεωρία κοσκίνων όμως μπορεί να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε διάστημα ως μονάδα μέτρησης. Ο Ξενάκης φέρνει ως παραδείγματα το ένα τέταρτο του τόνου, το αριστοξενικό μόριο ή το κόμμα του Διδύμου.265 Έτσι, αν π.χ. χρησιμοποιήσουμε ως μονάδα το τέταρτο του τόνου, τότε η γενική φόρμουλα για τις μείζονες κλίμακες είναι: (8 n  3 n +1 )  (8 n + 2  3 n + 2 )  (8 n + 4  3 n +1 )  (8 n + 6  3 n ) Πρέπει να τονιστεί πως, παρόλο που με τη θεωρία κοσκίνων μπορεί να αναλυθεί οποιαδήποτε υπάρχουσα κλίμακα, σκοπός είναι η δημιουργία καινούργιων δομών. Ο Ξενάκης αναφέρει τη χρήση κοσκίνων στα παρακάτω έργα: 1. Akrata (1964-65)266 2. Νόμος Άλφα (1966)267 3. Psappha (1975)268 263 Να επισημάνουμε πως σε ένα modulo (m, n) , όταν m  n τότε για την τιμή του n αφαιρούμε από το n το m. Αν δηλαδή έχουμε ένα modulo (3, 3) αυτό μπορεί επίσης να αναγραφεί ως (3, 0). Το modulo (3, 4) μπορεί να αναγραφεί ως (3, 1) κτλ. 264 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 190. 265 Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 198. 266 Xenakis Iannis, Vers une philosophie de la Musique, Gravesaner Blätter, 1966. 267 Xenakis Iannis, Vers une philosophie de la Musique, Gravesaner Blätter, 1966. 268 Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996, σελ 164. 158 4. Jonchaies (1977)269 5. Pléïades (1978)270 6. Aïs (1979)271 7. Komboï (1981)272 Διάφοροι ερευνητές του έργου του Ξενάκη έχουν αναφέρει τη χρήση κοσκίνων σε αρκετά άλλα έργα: 1. Εόντα (1963)273 2. Anaktoria (1969)274 3. Persephassa (1969)275 4. Theraps (1976)276 5. Khoai (1976)277 6. Kottos (1977)278 7. Akanthos (1977)279 8. Palimsest (1979)280 9. Anemoessa (1979)281 10. Embellie (1981)282 269 Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996, σελ. 180. 270 Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996, σελ. 165. 271 Emmerson Simon, Xenakis talks to Simon Emmerson, Music and Musicians, 1976. 272 Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996, σελ. 71. 273 Barthel-Calvet A., Le Rythme dans l’ Oeuvre et la Pensée de Iannis Xenakis, Διδακτορική διατριβή, L’ Ecole dew Hautes Etudes en Sciences Sociales, 2000. 274 Σολωμός Μάκης, Iannis Xenakis (Echos du XXe siècle), Mercuès: P.O. Editions, Παρίσι 1996. 275 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 64. 276 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 99. 277 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 102. 278 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ.100. 279 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 105. 280 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ 123. 281 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 125. 282 Σολωμός Μάκης, Iannis Xenakis (Echos du XXe siècle), Mercuès: P.O. Editions, Παρίσι 1996. 159 11. Mists (1981)283 12. Pour la Paix (1981)284 13. Serment-Orkos (1981)285 14. Nekuïa (1981)286 15. Pour Maurice (1982)287 16. Tetras (1983)288 17. Shaar (1983)289 18. Naama (1984)290 19. A.r. – Hommage à Maurice Ravel (1987)291 20. Tetora (1990)292 21. Paille in the Wind (1992)293 Όπως αναφέραμε και πιο πάνω, μονάδα μέτρησης στα κόσκινα μπορεί να είναι οποιοδήποτε διάστημα, δεν είναι δηλαδή δεδομένο πως μονάδα μέτρησης είναι το συγκερασμένο ημιτόνιο. Αυτό φαίνεται από το πρώτο έργο στο οποίο ο Ξενάκης θέτει σε εφαρμογή τη θεωρία κοσκίνων, το Νόμος Άλφα,294 στο οποίο μονάδα μέτρησης είναι το ένα 283 Squibbs Ronald, An Analytical approach to the music of Iannis Xenakis: Studies of recent works, Διδακτορική διατριβή, Yale University 1996. 284 Σολωμός Μάκης, Iannis Xenakis (Echos du XXe siècle), Mercuès: P.O. Editions, Παρίσι 1996. 285 Σολωμός Μάκης, Iannis Xenakis (Echos du XXe siècle), Mercuès: P.O. Editions, Παρίσι 1996. 286 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 139. 287 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 143. 288 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 146. 289 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 154. 290 Harley James, Xenakis, His life in music, Routledge, New York 2004, σελ. 158. 291 Squibbs Ronald, An Analytical approach to the music of Iannis Xenakis: Studies of recent works, Διδακτορική διατριβή, Yale University 1996. 292 Jones Evans, Residue-Class Sets in the music of Iannis Xenakis: An analytical Algorithm and a general intervallic Expression, Persectives of New Music, vol. 39, no.2. 293 Σολωμός Μάκης, Iannis Xenakis (Echos du XXe siècle), Mercuès: P.O. Editions, Παρίσι 1996. 294 Ο James Harley αναφέρει πως είναι πιθανόν ο Ξενάκης να χρησιμοποίησε σειρές από διαστήματα ή διάρκειες στο έργο Akrata και υπάρχει και η αναφορά για χρήση σειρών από διαστήματα στο έργο Εόντα, αλλά δηλώνει πως η θεωρία κοσκίνων αναπτύχθηκε και παρουσιάστηκε πλήρος στο έργο Νόμος Άλφα. 160 τέταρτο του τόνου. Ο Ξενάκης στο συγκεκριμένο έργο δημιουργεί κόσκινα από modules που προέρχονται από τους πρώτους αριθμούς μικρότερους του 18 (5, 7, 11, 13, 17) καθώς και μεταβολές αυτών των κοσκίνων. Το βασικό κόσκινο προέρχεται από τα modules 11 και 13. Χρήση κοσκίνου με μονάδα το τέταρτο του τόνου βλέπουμε επίσης στο έργο Theraps του 1976 για σόλο κοντραμπάσο. Το έργο χρησιμοποιεί γκλισάντι και αρμονικούς ως βασικά δομικά υλικά του και βασίζεται πάνω σε ένα μοναδικό κόσκινο. Μονάδα είναι όπως είπαμε το τέταρτο του τόνου και ο Ξενάκης χρησιμοποιεί βήματα του ενός, δύο και τριών τετάρτων του τόνου σε ένα μη-περιοδικό και αρκετά πολύπλοκο κόσκινο: Παράδειγμα αρ. 18, Το κόσκινο στο έργο Theraps Παρουσίαση ρυθμικών κοσκίνων γίνεται για πρώτη φορά στο έργο Persephassa to 1961. Η παρουσία ρυθμικών κοσκίνων δημιουργεί σημεία ρυθμικής μίμησης. Στο συγκεκριμένο έργο λαμβάνεται ως ρυμική μονάδα (σε αντιστοιχία με τις διαστηματικές μονάδες στα κόσκινα από μουσικά ύψη) το δέκατο έκτο και από αυτό δημιουργούνται δύο κόσκινα τα οποία παρουσιάζονται σε κάποια σημεία του έργου και από τους 6 εκτελεστές, δημιουργώντας μια πολύπλοκη ρυθμική αντίστιξη.295 Στα μέτρα 222-226 παρουσιάζονται και τα δύο ρυθμικά κόσκινα (τα οποία παρουσιάζονται συνολικά στο έργο ακόμα 4 φορές) τα οποία προκύπτουν από τους αριθμούς 1, 2, 3: 295 Κόσκινο 1: 1-1-2-2-1-3-2-1-2-2-2-1-1-2-1-3-1-1-1-2 Κόσκινο 2: 1-1-1-3-1-2-1-1-2-2-2-1-2-3-1-2-2-1-1-2 Βλ. Παράδειγμα 16. 161 Παράδειγμα αρ. 19, Persephassa μμ. 222-224 Στο έργο Psappha του 1975, τα ρυθμικά κόσκινα είναι αρκετά πιο πολύπλοκα, με τον Ξενάκη να κάνει χρήση πολλαπλάσιων της αρχικής μονάδας μέχρι και x8. Η μονάδα των κοσκίνων στο συγκεκριμένο έργο είναι η ρυθμική μονάδα του ίδιου του έργου.296 Στο παράδειγμα αρ. 20 βλέπουμε την αρχή του Psappha στην οποία παρουσιάζονται τα πρώτα κόσκινα του έργου σε περιόδους των 40 παλμών. Παράδειγμα αρ. 20, Psappha 1-140 296 Όπως είπαμε και στο κεφ. Η χρυσή τομή και η σειρά Fibonacci στο έργο του Ξενάκη, στο έργο Psappha δεν χρησιμοποιείται καθόλου η παραδοσιακή σημειογραφία. Ο Ξενάκης χρησιμοποιεί πλάισια στα οποία κάθε κουτάκι αντιστοιχεί σε μια ρυθμική μονάδα και το κάθε ρυθμικό χτύπημα σημείωνεται με τελείες πάνω στο πλέγμα. 162 Ένα βασικό κόσκινο, το οποίο χρησιμοποιήθηκε σε αρκετά έργα του Ξενάκη, είναι το κόσκινο που εμφανίζεται στο έργο Jonchaies του 1977. Το συγκεκριμένο κόσκινο βασίζεται στο διάστημα της καθαρής τέταρτης για το οποίο ο Ξενάκης κάνει αναφορά σε σχέση με τη σκάλα πέλογκ.297 Το κόσκινο έχει ως περίοδο τα 17 ημιτόνια Παράδειγμα αρ. 21, κόσκινο του έργου Jonchaies Ο Ξενάκης θα χρησιμοποιήσει το συγκεκριμένο κόσκινο και σε άλλα έργα του, όπως για παράδειγμα στο έργο Pléïades, στο έργο Palimpsest (βλ. παράδειγμα αρ. 22) – στο οποίο το κόσκινο εμφανίζεται ένα ημιτόνιο πιο χαμηλά από ότι στο έργο Jonchaies – το έργο Anemoessa. Το κοσκινο επίσης εμφανίζεται με παραλλαγές στο έργο Aïs, καθώς και στο έργο Serment. 297 Βλ. Αναφορά Ξενάκη αρ. 42. 163 Παράδειγμα αρ. 22, Palimpsest μμ. 89-91 Στο έργο Nekuïa, το βασικό κόσκινο είναι παρόμοιο με το κόσκινο του έργου Όρκος, αλλά το εύρος του καλύπτει όλη την έκταση της ορχήστρας. Το 2ο κόσκινο που χρησιμοποιείται στο Nekuïa έχει διαφορετική διαστηματική διάρθρωση: Παράδειγμα αρ. 23, κόσκινα του έργου Nekuïa 164 Παράδειγμα αρ. 24, Nekuïa μμ. 50-54 Το κόσκινο που χρησιμοποιείται στο έργο Komboï είναι διαφορετικό από τα προηγούμενα κόσκινα. Δεν υπάρχει διάστημα καθαρής τέταρτης μέσα και το μεγαλύτερο διάστημα που χρησιμοποιείται είναι αυτό του τριημιτόνιου. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η επανάληψη της διαδοχής τριών τόνων (2, 2, 2) μέσα στο συγκεκριμένο κόσκινο. Παράδειγμα αρ. 25, κόσκινο του έργου Komboï Ο Ξενάκης θα συνεχίσει να πειραματίζεται με τα κόσκινα, τις μεταβολές τους, καθώς και τον τρόπο κατασκευής τους σχεδόν μέχρι το τέλος της συνθετικής του καριέρας. Ειδικότερα, η έννοια της μεταβολής – παρμένη από την αρχαία Ελληνική και τη Βυζαντινή μουσική – είναι ένα σημαντικό στοιχείο σε αρκετά κόσκινα που εμφανίζονται στα έργα του, όπως στο έργο Shaar (1983)298, Krinoïdi (1991)299 και Troorkh (1991).300 298 Βλ. Παράδειγμα αρ.26. 299 Βλ. Παράδειγμα αρ 27. 300 Βλ. Παράδειγμα αρ. 28. 165 Παράδειγμα αρ. 26, Shaar, σύγκριση των δύο κοσκίνων του έργου Παράδειγμα αρ. 27, Krinoïdi, μεταβολές των κοσκίνων Παράδειγμα αρ. 28, Troorkh, μεταβολές των κοσκίνων Τα κόσκινα αποτελούν ένα ισχυρότατο εργαλείο για τη δημιουργία κλιμάκων τη σημασία του οποίου έχει τονίσει ο Ξενάκης σε αρκετές αναφορές του. Δίνουν όπως είδαμε τη δυνατότητα δημιουργίας κλιμάκων όλων των στοιχείων της μουσικής που έχουν διατακτική δομή, όπως είναι το τονικό ύψος, η διάρκεια, η ένταση, η πυκνότητα κτλ. Ο συνθέτης μπορεί να δημιουργήσει 166 από το πιο απλό μέχρι το πιο πολύπλοκο κόσκινο και να πειραματιστεί με την εσωτερική δομή κάθε χαρακτηριστικού του ήχου. Ο Ξενάκης με τη χρήση της θεωρίας κοσκίνων δημιουργεί ένα δικό του σύστημα σύνθεσης αλλά και προσαρμόζει μια πυθαγόρεια θεωρία στις ανάγκες της σύγχρονης μουσικής γραφής. Στο ζήτημα της ενοποίησης των μουσικών παραμέτρων και της αναγωγής του αριθμού 12 σε κυρίαρχο στοιχείο από τους δωδεκαφθογγιστές, ο Ξενάκης απαντά με μια θεωρία η οποία είναι πολύ πιο αφαιρετική και ευέλικτη και μπορεί να αποτελέσει οδηγό της συνθετικής διαδικασίας. Την πολυπλοκότητα των κοσκίνων της δεκαετίας του 1960 διαδέχεται η τάση για απλοποίηση των κοσκίνων από το 1978 και μετά. Τα κόσκινα του Ξενάκη αυτής της περιόδου έχουν πιο αρχαϊκό ύφος το οποίο κάποιες φορές έχει τάση προς την τονικότητα.301 Παρόλο όμως που τα κόσκινα είναι σαφώς πιο ευέλικτα και με πολύ περισσότερες δυνατότητες δημιουργίας τονικών δομών από τη δωδεκαφθογγική σειρά, πάσχουν από το ίδιο πρόβλημα: η απουσία ιεράρχησης των φθόγγων ενός κοσκίνου δεν μπορεί να οδηγήσει στη χρήση τους ως ‘κλίμακες’ με την παραδοσιακή έννοια του όρου. Τα σύνολα από τονικά ύψη, έστω και αν περιέχουν μέσα τους τα στοιχεία της περιοδικότητας αλλά και της μαθηματικής θεμελίωσης, χρειάζονται και ιεραρχημένες τονικές σχέσεις για να μπορούν να ονομαστούν ‘κλίμακα’ ή ‘τρόπος’, κάτι που κάνει το Μάκη Σολωμό να αναρωτηθεί ‘ποιός είναι ο τελικός στόχος των κοσκίνων;’.302 5.5. Συμπεράσματα Τα εύλογα ερωτήματα που προκύπτουν από τα παραπάνω στοιχεία είναι: 1ο: μπόρεσε τελικά ο Ξενάκης να δημιουργήσει έργα με οικουμενικό χαρακτήρα; και 2 ο: είναι τα μαθηματικά μοντέλα ικανή συνθήκη για τη δημιουργία παγκόσμιων μουσικών έργων; Στην πραγματικότητα κανένας δεν μπορεί να δώσει οριστική απάντηση στα παραπάνω. Όπως όμως δηλώνει και ο ίδιος, αυτή καθ’ αυτή η δημιουργία μπορεί να δώσει απαντήσεις: Ο Ξενάκης είναι 301 Βλ. Μάκης Σολωμός, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008, σελ. 94- 95. 302 Βλ. Μάκης Σολωμός, ο.π., σελ. 92. 167 αδιαμφισβήτητα ο συνθέτης με τη μεγαλύτερη επιτυχία παγκοσμίως στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα χωρίς στην πραγματικότητα να μπορεί κανένας να εξηγήσει το λόγο. Τα έργα του έχουν περισσότερη απήχηση σε ανθρώπους που δεν είναι ούτε μουσικοί ούτε μαθηματικοί. Στο βιβλίο αφιέρωμα στον Ξενάκη του Μετσόβιου Πολυτεχνείου303 στο κεφάλαιο με τίτλο ‘Η αποδοχή του έργου του Ξενάκη’, αναφέρονται τα εξής στοιχεία: 1. Υπάρχει πλήθος ‘φεστιβάλ Ξενάκη’ ανά το παγκόσμιο, περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο συνθέτη. Αναφέρεται χαρακτηριστικά πως το 1992 ο εκδοτικός οίκος Salabert σε ειδικό τεύχος του, απαριθμεί 206 φεστιβάλ Ξενάκη σε όλο τον κόσμο. 2. Οι γνώμες των ειδικών κατατάσσουν συχνά τον Ξενάκη ως τον κορυφαίο συνθέτη του 20ου αιώνα. Αναφέρεται χαρακτηριστικά η γνώμη της μουσικολόγου Brigitte Schiffer, η οποία στην ερώτηση ‘αν σου επιτρεπόταν να κρατήσεις μόνο ένα έργο μουσικής 20ου αιώνα, ποιό θα διάλεγες;’ απαντά ‘Ξενάκη’. 3. Το πλήθος από γραπτά και μελέτες για τον Ξενάκη ξεπερνούν τις αντίστοιχες για οποιοδήποτε σύγχρονο συνθέτη. 4. Οι κριτικές του κοινού και των μουσικοκριτικών είναι συχνά ενθουσιώδεις. Ενθουσιώδεις είναι επίσης και οι αντιδράσεις σε ζωντανές εκτελέσεις έργων του Ξενάκη. 5. Διαπιστώνεται πως ο βαθμός επιτυχίας και αποδοχής των έργων του Ξενάκη - με βάση τα παραπάνω ‘κριτήρια’ – συνεχώς αυξάνεται, κάτι που φαίνεται να δείχνει: α. Το ανερχόμενο ποιοτικό επίπεδο, β. Την αυξανόμενη κατανόηση της σημασίας του έργου του Ξενάκη από το ευρύ κοινό και γ. Την πλατύτερη αποδοχή και αναγνώριση του έργου του Ξενάκη.304 Παρόλο που κάποια από τα παραπάνω στοιχεία αποτελούν υποκειμενικές κρίσεις του συγγραφέα, είναι πλέον κοινά αποδεκτό ότι ο Ξενάκης είναι ένας από του πιο επιτυχημένους συνθέτες παγκοσμίως στο 2ο μισό του 20ου αιώνα. 303 Δημήτρης Καμαρωτός (επιμ.), Ιάννης Ξενάκης, Ένα αφιέρωμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου προς έναν απόφοιτό του, Σύγχρονη Εποχή, Αθήνα 1994, σελ. 29-30. Το βιβλίο παρουσιάζει άρθρα σχετικά με το έργο του Ιάννη Ξενάκη. Το κεφάλαιο ‘Η αποδοχή του έργου του Ιάννη Ξενακη’ είναι παράρτημα στο άρθρο του Γιάννη Γ. Παπαϊωάννου ‘Ιάννης Ξενάκης’. 304 Είναι σαφές πως κάποια από τα συμπεράσματα που παρουσιάζονται αποτελούν προσωπικές εκτιμήσεις του συγγραφέα. Π.χ. Ο αυξημένος βαθμός επιτυχίας όπως τον εννοεί ο συγγραφέας (πωλήσεις δίσκων, απόψεις μουσικοκριτικών, συναυλίες κτλ.) δεν σημαίνει απαραίτητα και αυξημένη ποιότητα στα παραγώμενα έργα. 168 Ο Ιάννης Ξενάκης, ξεκίνησε τη συνθετική του καριέρα έχοντας επίγνωση της ‘διαφορετικότητας’ του - μια και δεν είχε την κλασσική μουσική εκπαίδευση - και χρησιμοποιώντας, μετά από την παρόντρυνση του Όλιβερ Μεσσιάν, την Ελληνική καταγωγή, τη γνώση της αρχαίας Ελληνικής φιλοσοφίας και των μαθηματικών ως έναυσμα και έμπνευση για το δικό του έργο.305 Όσο για το δεύτερο ερώτημα, ο ίδιος ο Ξενάκης δίνει την απάντηση: Στην πραγματικότητα η διαμόρφωση και η αξιωματικοποίηση αποτελούν έναν διαδικαστικό οδηγό, που ταιριάζει καλύτερα στη σύγχρονη σκέψη. Επιτρέπουν, για αρχή, την τοποθέτηση της ηχητικής τέχνης σε ένα πιο καθολικό πλάνο. Ακόμα μια φορά μπορεί να εξεταστεί στο ίδιο επίπεδο με τα αστέρια, τους αριθμούς, και τον πλούτο του ανθρώπινου εγκεφάλου, όπως ήταν στις μεγάλες περιόδους των αρχαίων πολιτισμών. Οι κινήσεις των ήχων που προκαλούν κινήσεις σε μας σε συμφωνία με αυτούς ‘δίνουν μια κοινή ευχαρίστηση για εκείνους που δεν ξέρουν πώς να διαλογιστούν και για εκείνους που ξέρουν, μια αιτιολογημένη χαρά μέσω της μίμησης της θείας αρμονίας (Πλάτωνας, Τίμαιος)’306 Αναφορά Ξενάκη αρ. 45 Στο παραπάνω απόσπασμα ο Ξενάκης κάνει σαφή την άποψή του σχετικά με το δρόμο που πρέπει να ακολουθήσει η σύγχρονη μουσική και τη σύνδεσή της με την πυθαγόρεια παράδοση μέσω του αποσπάσματος του Πλάτωνα. Σε μια από τις σπάνιες στιγμές στις οποίες συνδέει ένα σχεδόν μεταφυσικού περιεχομένου κείμενο με τη σύγχρονη μουσική, χρησιμοποιεί 305 Βλ. Katy Romanou, ‘Stochastic Jeux’, Muzikologija, Journal of the Institute of Musicology of the Musicology of the Serbian Academy of Sciences and Arts, No 6 (2006), σελ. 207-218. 306 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 179. Το απόσπασμα είναι ήδη αριθμημένο ως Αναφορά Ξενάκη αρ. 7 (βλ. Κεφ. 3). 169 την αναφορά του Πλάτωνα στη ‘Θεία Αρμονία’ ως το δικό του πρότυπο στην προσπάθεια κατασκευής μιας Παγκόσμιας Μουσικής. Παρόλο που δεν μπορούμε να πούμε κατηγορηματικά αν η χρήση μαθηματικών διαδικασιών είναι η κινητήριος δύναμη των έργων του Ξενάκη ως προς το στόχο της δημιουργίας έργων με οικουμενικό χαρακτήρα, αυτό που μπορούμε να πούμε είναι πως ο Ξενάκης κατάφερε να συνδέσει τα έργα του με χαρακτηριστικά οικουμενικού χαρακτήρα, ενώ πέτυχε να δημιουργήσει ένα τρόπο σύνθεσης, η οργάνωση του οποίου διέπεται από επιστημονικά χαρακτηριστικά και είναι πολύ πιο ευέλικτος από τον κυρίαρχο τρόπο σύνθεσης της εποχής του, το σειραϊσμό. Ο Ξενάκης θεώρησε δεδομένο πως οι συμπαντικοί νόμοι μπορούν να ισχύσουν στη μουσική και με βάση αυτό το δεδομένο αναζητεί τη σύνθεση μουσικής που να προσομοιάζει με την πυθαγόρεια ιδέα της παγκόσμιας μουσικής ή της μουσικής των Σφαιρών – εξ’ού και η αναφορά περί ‘μίμησης της Θείας αρμονίας’ από τον Πλάτωνα την οποία χρησιμοποιεί. 170 Κεφάλαιο 6: Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια παράδοση Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τα έργα του Ξενάκη τα οποία διασταυρώνονται με την πυθαγόρεια παράδοση μέσω των διδασκαλιών ή των μύθων που υπάρχουν σε αυτή. Τα έργα που θα εξετάσουμε είναι τα έργα Αντίχθων και Ο μύθος του Ηρός, τα οποία βασίζονται αντίστοιχα στον πυθαγόρειο μύθο της Αντιγής και στην θεωρία της αρμονίας των σφαιρών, το έργο Serment-Όρκος, το οποίο είναι μελοποίηση του Ιπποκρατικού Όρκου και το έργο Έρμα, του οποίο η μακροδομή βασίζεται πάνω στη χρυσή τομή αλλά και επίσης παρουσιάζεται για πρώτη φορά η συμβολική λογική, της οποίας η εξέλιξη οδήγησε στη θεωρία κοσκίνων. Τα πρώτα τρία έργα συνδέονται με την πυθαγόρεια παράδοση μέσω των κειμένων ή των μύθων τους. Το τελευταίο έργο, το Έρμα, συνδέεται κυρίως μέσω της χρήσης της Χρυσής τομής και της ακολουθίας Fibonacci. Ο λόγος που παρουσιάζεται εδώ και όχι στο αντίστοιχο κεφάλαιο307 είναι πως εδώ παρουσιάζεται και η μέθοδος επιλογής της εκτός-χρόνου δομής του έργου. Τα έργα αυτά είναι εξαιρετικά σημαντικά μιας και δείχνουν το μέγεθος της επιρροής της πυθαγόρειας παράδοσης στα ίδια τα έργα του Ξενάκη και όχι μόνο στη σκέψη ή τη φιλοσοφία του. 307 Κεφ. 4, Η Χρυσή τομή και η σειρά Fibonacci στο έργο του Ξενάκη. 171 Μέρος 6.1. Το έργο Αντίχθων Το έργο Αντίχθων για ορχήστρα γράφτηκε από τον Ξενάκη το 1971 μετά από παραγγελία του Ζορζ Μπαλανσίν και είναι το δεύτερο μπαλέτο που συνέθεσε.308 Ο Ξενάκης φέρεται να εντυπωσιάστηκε από τη χορογραφία που έκανε ο Μπαλασίν στις Μεταστάσεις και τα Πιθοπρακτά και έτσι προχώρησε στη σύνθεση ενός έργου για μπαλέτο. Παρόλο όμως που το έργο ήταν παραγγελία, η χορογραφία του έργου δεν παρουσιάστηκε ποτέ και η πρώτη του εκτέλεση δεν έγινε από τον Μπαλανσίν.309 Το Αντίχθων έχει γίνει πλέον γνωστό ως ορχηστρικό έργο. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τον πυθαγόρειο μύθο από τον οποίο προήλθε η ονομασία Αντίχθων και τη σχέση του συγκεκριμένου έργου με την πυθαγόρεια παράδοση. 6.1.1. Τα πρώτα Ελληνικά αστρονομικά συστήματα Τα πρώτα ελληνικά αστρονομικά συστήματα περιλάμβαναν, εκτός από τη Γή, άλλα 7 ουράνια σώματα τα οποία είναι ορατά με γυμνό μάτι: τον ήλιο και τη σελήνη, των οποίων οι μεγάλες διαστάσεις επιβάλουν άμεσα την προσοχή σε οποιοδήποτε παρατηρητή, καθώς και 5 από τους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος: Ερμή, Αφροδίτη, Άρη, Δία και Κρόνο. 310 Τα πέντε αυτά άστρα, παρόλο που εκ πρώτης όψεως δεν διαφέρουν από τα υπόλοιπα, ξεχώρισαν και έγιναν αντικείμενο παρατήρησης από πολύ νωρίς λόγω του ότι, ενώ τα υπόλοιπα άστρα δεν φαίνονταν να αλλάζουν τη σχετική τους θέση στα μάτια ενός επίγειου παρατηρητή, αυτά 308 309 Το πρώτο είναι το έργο Kraanerg γραμμένο το 1968-69. Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber, London 1996, σελ. 103-104. Σύμφωνα με τον Ξενάκη, προσωπικοί λόγοι οδήγησαν στο να μην παρουσιαστεί ποτέ ως μπαλέτο. 310 Οι άλλοι δύο πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος, ο Ουρανός και ο Πλούτωνας δεν είναι ορατοί με γυμνό μάτι και η ύπαρξή τους θα γίνει γνωστή πολύ αργότερα. (D.R. Dicks, Η πρώιμη Ελληνική Αστρονομία, Ι. Ζαχαρόπουλος Αθήνα 1991, μετάφραση Μάρω Παπαθανασίου σελ. 14). 172 φαίνονταν να μετακινούνται ανά τους αστερισμούς.311 Τα υπόλοιπα άστρα θα σχηματίσουν τη σφαίρα των απλανών αστέρων και θα θεωρηθούν σαν ένα ουράνιο σώμα. Έχουμε έτσι ένα σύνολο από 9 ουράνια σώματα: Γη, Σελήνη, Ήλιο, Ερμή, Αφροδίτη, Άρη, Δία, Κρόνο και απλανείς αστέρες. Οι πρώτες προσπάθειες για να οργανωθούν αυτοί οι πλανήτες σε ένα αστρονομικό σύστημα προέρχονται από τον Αναξίμανδρο, ο οποίος ήταν ο πρώτος που ανέφερε άνισες αποστάσεις ανάμεσα στους πλανήτες, τοποθετώντας τα άστρα πλησίον της γης εκτός από τον ήλιο που θεωρούσε ότι βρίσκεται στην πιο απομακρυσμένη περιοχή του σύμπαντος. Παρόμοιες είναι και οι απόψεις του Παρμενίδη που θεωρεί πως η σελήνη και ο ήλιος βρίσκονται πιο μακριά από τη Γή με μόνη εξαίρεση την Αφροδίτη.312 Όπως βλέπουμε αυτές οι πρώτες απόπειρες περιορίζονται μόνο στην προσπάθεια να προσδιοριστούν οι θέσεις των πλανητών. Η πρώτη ουσιαστική απόπειρα δημιουργίας ενός αστρονομικού συστήματος γίνεται τον 5ο π.χ. αιώνα από ένα πυθαγόρειο, τον Φιλόλαο τον Κροτωνιάτη.313 311 Το ότι φαίνονται να είναι τα μόνα άστρα που μετακινούνται είναι και ο λόγος που ονομάστηκαν πλανήτες (=περιπλανώμενα άστρα). Η διάκριση πάντως των πλανητών από τους απλανείς αστέρες με τα μέσα της εποχής απαιτεί μακρόχρονη και επίπονη παρατήρηση. Ο D.R. Dicks αναφέρει σχετικά ‘Το να διακρίνουμε έναν πλανήτη από έναν απλανή αστέρα (κάτι αρκετά εύκολο με μικρής ισχύος κιάλια ή τηλεσκόπιο) δεν είναι καθόλου εύκολη υπόθεση, όταν κανείς βλέπει με γυμνό μάτι τα μυριάδες φωτεινά σημεία στον ουρανό, ιδίως όταν η ατμόσφαιρα είναι διαυγής... Το να διακρίνουν τους πλανήτες μεταξύ τους και να εκτιμήσουν τις περιόδους τους θα πρέπει να απαίτησε αιώνες παρατηρήσεων’ (D.R. Dicks, Η πρώιμη Ελληνική Αστρονομία, Ι. Ζαχαρόπουλος Αθήνα 1991, μετάφραση Μάρω Παπαθανασίου σελ. 9-10). 312 Paul Couderc, Η ιστορία της Αστρονομίας, Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα, σελ. 51. 313 Ελάχιστα πράγματα είναι γνωστά για τη ζωή του Φιλόλαου. Όπως καταλήγει ο Carl A. Huffman, ο Φιλόλαος γεννήθηκε περίπου το 470 π.Χ. και ζούσε τουλάχιστον μέχρι το 399 π.Χ. Ο Huffman φτάνει σε αυτό το συμπέρασμα βασιζόμενος πάνω σε ένα απόσπασμα από το ‘Φαίδωνα’ του Πλάτωνα. Στο απόσπασμα αυτό ο Κέβης, ο Σιμμίας και ο Σωκράτης συζητούν για την αυτοκτονία και για τις διδαχές του Φιλολάου πάνω σε αυτό το θέμα (Φαίδων 6 Ιd). Από το ίδιο απόσπασμα φαίνεται πως ο Φιλόλαος πέρασε ένα διάστημα της ζωής του στη Θήβα. Είναι επίσης σίγουρο ότι πέρασε μέρος της ζωής του στον Κρότωνα και το Μεταπόντιο. Σύμφωνα με διάφορους συγγραφείς είναι πιθανόν ο ‘Τίμαιος’ του Πλάτωνα να είναι βασισμένος πάνω σε βιβλίο του Φιλολάου (ειδικότερα για τη ζωή και το έργο του Φιλολάου βλέπε Carl A. Huffman, Philolaus of Croton Pythagorean and Presocratic, Cambridge university press. σελ. 1-16). 173 6.1.2. Το σύστημα του Φιλολάου Το αστρονομικό σύστημα του Φιλολάου, είναι πιθανότατα και το μοναδικό σύστημα των πρώτων πυθαγορείων. Ο Αριστοτέλης στο ‘Περί Ουρανού’ και οι μαθητές του δεν αναφέρουν κανένα άλλο αστρονομικό σύστημα, πέραν του συστήματος στο οποίο, στο κέντρο του σύμπαντος υπάρχει η κεντρική φωτιά. Ο Αέτιος, βασισμένος στο μαθητή του Αριστοτέλη, Θεόφραστο,314 θεωρεί πως πατέρας του συστήματος αυτού είναι ο Φιλόλαος. Το γεγονός ότι ο Αριστοτέλης δεν αναφέρει το όνομα του Φιλολάου, εμπίπτει στη γενικότερη τακτική του να μην αναφέρεται προσωπικά σε συγκεκριμένους πυθαγόρειους.315 Τα παρακάτω κείμενα είναι ενδεικτικά: 1. Αέτιος 2.7.7 : Ο Φιλόλαος (λέει) πως στο κέντρο υπάρχει φωτιά την οποία αποκαλεί ‘εστία του παντός’ και ‘οίκο του Δία’... Επίσης υπάρχει φωτιά στο πάνω μέρος, που περιβάλει το όλο. Λέει πως το κέντρο είναι πρώτο από τη φύση του και γύρω από αυτό χορεύουν τα εξής δέκα ουράνια σώματα: ουρανός, πλανήτες, μετά από αυτά ο ήλιος, από κάτω η σελήνη, από κάτω η Γή, από κάτω η Αντιγή, και κάτω από όλα η φωτιά η οποία έχει τη θέση της εστίας στο κέντρο.316 2. Αέτιος 3.11.3 : (Περί θέσεως της γης) Ο Φιλόλαος ο πυθαγόρειος (λέει) πως η φωτιά είναι στο κέντρο (γι’ αυτό είναι η εστία του παντός), και πως η Αντιγή είναι δεύτερη, η κατοικημένη Γή είναι τρίτη, βρίσκεται απέναντι και κινείται μαζί με την Αντιγή. Γι’ αυτό το λόγο αυτοί που βρίσκονται στην 314 Carl A. Huffman, Philolaus of Croton Pythagorean and Presocratic, Cambridge university press., σελ.242. 315 Ο Αριστοτέλης όταν αναφέρεται στους πυθαγόρειους χρησιμοποιεί τις φράσεις ‘οι λεγόμενοι πυθαγόρειοι’ ή ‘οι Ιταλιώτες φιλόσοφοι’, γεγονός που πιθανόν να δείχνει πως ο Αριστοτέλης αμφέβαλλε ακόμα και για την ύπαρξή τους. (Βλ. κεφάλαιο 1, ‘‘Εισαγωγή στην πυθαγόρεια παράδοση’’). 316 Carl A. Huffman, ο.π., σελ. 237-238, (μτφ. του γράφοντος). 174 Αντιγή δεν είναι ορατοί από αυτούς που βρίσκονται σε αυτή τη Γή.317 Ας δούμε λοιπόν το σύστημα του Φιλολάου, έτσι όπως μας παρουσιάζεται μέσα από τα αρχαία κείμενα: Στο κέντρο του σύμπαντος υπάρχει φωτιά και γύρω από αυτή βρίσκονται διαταγμένα δέκα σώματα τα οποία κινούνται σε κυκλική τροχιά. Πρώτη είναι η Αντιγή (αντίχθων) και δεύτερη η Γη. Ακολουθεί η σελήνη, ο ήλιος, οι πέντε πλανήτες χωρίς να έχουν συγκεκριμένη σειρά318 και τέλος οι απλανείς. Τα δέκα ουράνια σώματα κινούνται γύρω από τη κεντρική φωτιά σε κυκλική τροχιά από τα δυτικά στα ανατολικά. Η ταχύτητα της γης είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από την ταχύτητα της σελήνης, του ήλιου και των πέντε πλανητών, μια και η Γη ολοκληρώνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από την κεντρική φωτιά σε 24 ώρες. Η σελήνη ολοκληρώνει μια πλήρη περιστροφή σε ένα μήνα και ο ήλιος σε ένα χρόνο, ενώ ακολουθούν τα υπόλοιπα ουράνια σώματα, τα οποία ολοκληρώνουν την περιστροφή τους γύρω από την κεντρική φωτιά σε μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα.319 Το σύστημα του Φιλολάου, παρόλο που εκ πρώτης όψεως φαίνεται να έχει μυθολογική βάση, μπορεί να δώσει εξηγήσεις για τα περισσότερα φαινόμενα που ήταν γνωστά μέχρι αυτή την περίοδο. Τα κυριότερα σημεία του συστήματος είναι: 317 Carl A. Huffman, ο.π., σελ. 238, (μτφ. του γράφοντος). 318 Ο Paul Couderc αναφέρει πως η σειρά των πλανητών στο σύστημα του Φιλολάου είναι η γνωστή σειρά που παρουσιάζεται σχεδόν σε όλα τα μετέπειτα Ελληνικά αστρονομικά συστήματα: Αφροδίτη, Ερμής, Άρης, Δίας και Κρόνος. Όμως, δεν προκύπτει σε κανένα κείμενο πως η σειρά αυτή ισχύει και για το σύστημα του Φιλολάου. 319 Είναι πιθανό η επικρατούσα άποψη να ήταν πως όσο πιο μακριά ήταν ένα ουράνιο σώμα από την κεντρική φωτιά τόσο μικρότερη να ήταν η ταχύτητά του. Πάντως, η 24ωρη περιστροφή της γης γύρω από την κεντρική φωτιά είναι μια εξαιρετική σύλληψη, μια και μπορούσε να εξηγήσει την ανατολή και τη δύση του ήλιου. Σύμφωνα με τον Paul Couderc, η κίνηση αυτή δεν πρέπει να συγχέεται με την 24ωρη περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της αφού ο Φιλόλαος δεν συμπεριέλαβε στο σύστημά του τέτοιου είδους κίνηση μια και δεν είχε παρόμοιο παράδειγμα από τις παρατηρήσεις που μπορούσε να κάνει (Paul Couderc, ο.π., σελ. 52). Όμως ο Carl A. Huffman επισημαίνει πως, όπως φαίνεται στα κείμενα, η κίνηση της γης γύρω από τον άξονά της υπήρχε στο σύστημα του Φιλολάου. Σύμφωνα με το Huffman, η κίνηση αυτή είναι απαραίτητη για να εξηγηθεί το ότι οι κάτοικοι της γης δεν μπορούν ποτέ να δουν την Αντιγή (Carl A. Huffman, ο.π., σελ 245). 175 1. Η Γη δεν είναι το κέντρο του σύμπαντος, αλλά ένα δευτερεύον ουράνιο σώμα. Το γεγονός πως στο αστρονομικό σύστημα του Φιλολάου η Γη φαίνεται να κινείται γύρω από την κεντρική φωτιά, πιθανόν να μην έχει κάποιο ιδιαίτερο λόγο μια και τα φαινόμενα που ήταν γνωστά κατά τον 4ο π. Χ. μπορούσαν να εξηγηθούν χωρίς να υπάρχει λόγος να γίνει εισαγωγή κίνησης της γης. Η πιο πιθανή εξήγηση είναι πως η κίνηση της γης μπαίνει για λόγους συμμετρίας: αφού όλα τα άλλα σώματα κινούνται γύρω από την κεντρική φωτιά, τότε το ίδιο θα έπρεπε να συμβαίνει με τη Γη.320 2. Όλοι οι πλανήτες συμπεριλαμβανομένης της γης έχουν σφαιρικό σχήμα. Είναι πιθανόν το σφαιρικό σχήμα να μην εισάγεται για λόγους εξήγησης των φαινομένων αλλά γιατί η σφαίρα κατά τους πυθαγορείους είναι το πιο τιμημένο από τα στερεά. Ακόμα και η εισαγωγή της κεντρικής φωτιάς και η μετακίνηση της Γης από την παραδοσιακή της θέση στο κέντρο του σύμπαντος να μην γίνεται για λόγους εξήγησης των φαινομένων αλλά γιατί, πάντα σύμφωνα με τους πυθαγορείους στο κέντρο αρμόζει το πιο τιμημένο και η φωτιά είναι πιο τιμημένη από τη Γη.321 Δικαιολογείται δηλαδή η άποψη του Αριστοτέλη πως στην πυθαγόρεια αστρονομία δεν γίνεται προσπάθεια εξήγησης των φαινομένων αλλά να υπάρχει συνοχή στη διδασκαλία και τις πεποιθήσεις τους. Αυτή η θέση βέβαια, αν και αιτιολογημένη, δεν παρουσιάζει όλη την αλήθεια. 3. Αρκετές από τις λεπτομέρειες του συστήματος εξηγούν τα διάφορα φαινόμενα: Η κίνηση της γης, η οποία είναι υπό γωνία προς την κίνηση των υπολοίπων πλανητών, προσπαθεί να εξηγήσει το γεγονός πως η σφαίρα του ήλιου φαίνεται να μην έχει πάντα το ίδιο ύψος στον ορίζοντα καθώς και τις αλλαγές των εποχών. Οι εκλείψεις του ήλιου και της σελήνης εξηγούνται με την παρεμβολή της Γης ή της Αντιγής μεταξύ της Γης και του ήλιου. Η μέρα και η νύχτα εξηγούνται με την 24ωρη περιστροφή της Γης γύρω από την κεντρική φωτιά. Το σύστημα του Φιλολάου, το μοναδικό γνωστό αστρονομικό σύστημα των πρώτων πυθαγορείων, δεν είχε μεγάλη διάδοση ειδικά μετά από τη σκληρή κριτική που δέχεται από τον Αριστοτέλη. Έπρεπε να περάσουν σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια για να δικαιωθούν κάποιες από τις αλήθειες που περιέχονται σε αυτό (σφαιρικό σχήμα της Γης, κίνηση της Γης). 320 321 Carl A. Huffman, ο.π. , σελ. 244. Carl A. Huffman, ο.π. , σελ. 244 - 248. 176 6.1.3. Αντίχθων Ένα από τα πιο αξιοπερίεργα τα οποία περιέχονται στο σύστημα του Φιλολάου είναι η εισαγωγή στο σύστημα δύο άγνωστων ουράνιων σωμάτων, της κεντρικής φωτιάς και της Αντιγής. Εξετάσαμε ήδη τους πιθανούς λόγους εισαγωγής της κεντρικής φωτιάς. Οι ίδιοι λόγοι συμφωνίας με τις θεωρίες των πυθαγορείων είναι πιθανόν να ισχύουν και για την εισαγωγή της Αντιγής στο σύστημα. Ο Αριστοτέλης αναφέρει πως, επειδή οι πυθαγόρειοι πίστευαν πως η δεκάδα ήταν ο τέλειος αριθμός, τα σώματα που κινούνται γύρω από την κεντρική φωτιά έπρεπε να είναι δέκα. Μια και τα ορατά σώματα είναι εννιά, επινοήθηκε από το Φιλόλαο η ύπαρξη της Αντιγής, για να υπάρχει συνοχή στη θεωρία των πυθαγορείων. Παρόλο που η άποψη του Αριστοτέλη μπορεί να είναι σωστή, αρκετοί μελετητές πιστεύουν πως η εισαγωγή της Αντιγής στο σύστημα έγινε σε μια προσπάθεια να εξηγηθούν οι εκλείψεις της σελήνης και του ήλιου.322 Βλέπουμε επίσης την άποψη πως οι εκλείψεις της σελήνης είναι αποτέλεσμα της παρεμβολής αόρατων σωμάτων ανάμεσα σε αυτή και τη γή. Για την τελευταία άποψη υπάρχουν αρκετές αμφιβολίες μια και το σύστημα του Φιλολάου αναφέρει καθαρά δέκα σώματα, αποκλείοντας έτσι την ύπαρξη άλλων αόρατων σωμάτων πέραν της Αντιγής. Επίσης, είναι αμφίβολο αν η Αντιγή θα μπορούσε να εξυπηρετήσει τη λειτουργία των εκλείψεων: η θέση της είναι τέτοια που δεν μπορεί να παρεμβληθεί ανάμεσα στη γη και τη σελήνη. Η μόνη περίπτωση για να μπορούσε να ισχύσει η παραπάνω υπόθεση είναι η σελήνη να έπαιρνε το φώς της από την κεντρική φωτιά και όχι από τον ήλιο. Ο λόγος λοιπόν της εισαγωγής της Αντιγής στο αστρονομικό σύστημα του Φιλολάου δεν είναι ξεκάθαρος με πιο πιθανή την άποψη του Αριστοτέλη (άποψη που ασπάζεται και ο Huffman): ο Φιλόλαος, έχοντας μια συγκεκριμένη αντίληψη του κόσμου, κατασκευάζει το αστρονομικό του σύστημα βασισμένος σε αυτή. Η Αντιγή είναι πάντα αόρατη για τους κατοίκους της γης -όπως και η κεντρική φωτιάμια και με την κίνηση της γης το ‘πάνω μέρος’ της γης- δηλαδή το μέρος που κατοικείται- μένει 322 Burnet J., Early Greek philosophy, London 1948. Cheniss H., Aristotle’s criticism of Presocratic Philosophy, Baltimore 1935. Πληροφορίες από Carl A. Huffman, ο.π. , σελ.246. 177 πάντα στραμμένο μακριά από το κέντρο. Η κίνηση της Αντιγής δεν ξεκαθαρίζεται, αλλά μπορούμε να υποθέσουμε πως αφού κινείται ‘μαζί με τη δική μας γή’, τότε και η Αντιγή ολοκληρώνει την περιστροφή της γύρω από την κεντρική φωτιά σε ένα εικοσιτετράωρο και πως έχει την ίδια κλίση με τη γη σε σχέση με τους άλλους πλανήτες. Το σύστημα του Φιλολάου, το πρώτο γνωστό πυθαγόρειο αστρονομικό σύστημα, πέραν των όσων πρωτοποριακών θέσεων προτείνει (κίνηση της γης, σφαιρικό σχήμα όλων των πλανητών κτλ.) είναι επίσης το πρώτο που αμφισβητεί το παραδοσιακό γεωκεντρικό σύμπαν, θέτοντας έτσι τα θεμέλια για το ηλιοκεντρικό σύστημα του Κοπέρνικου, δύο χιλιάδες χρόνια αργότερα. 6.1.4. Το έργο Αντίχθων του Ιάννη Ξενάκη Η σχέση του έργου με την πυθαγόρεια παράδοση φαίνεται από τον τίτλο του έργου. Ο Ξενάκης, στον πρόλογο της παρτιτούρας,323 εξηγεί: Διάλεξα έναν πυθαγόρειο όρο, τον όρο ‘Αντίχθων’ από τον 6ο ή 5ο αιώνα π.χ. Οι πυθαγόρειοι ήταν οι πρώτοι που θεώρησαν πως η γη δεν ήταν στο κέντρο του σύμπαντος. Πίστευαν πως οι πλανήτες και τα αστέρια, συμπεριλαμβανομένων του ήλιου και της Αντιγής, η οποία ήταν και η ίδια αόρατη από τη γη, γύριζαν γύρω από μια αόρατη κεντρική φωτιά. Επειδή ήταν μεταξύ της κεντρικής φωτιάς και της γης και οι κινήσεις της συγχρονίζονταν με αυτές της γης, η Αντιγή έκρυβε εντελώς την κεντρική φωτιά από τη γη. Φυσικά, το ενδιαφέρον σήμερα γύρω από την έννοια της Αντιγής δεν βρίσκεται στα αστρονομικά δεδομένα αλλά στο ότι μοιάζει να προφητεύει 323 Παρτιτούρα Iannis Xenakis, Antikthon, Salabert, Παρίσι, σελ iii. 178 κάποιες από τις σύγχρονες επιστημονικές θεωρίες γύρω από το θέμα της αντιύλης ή του αντισύμπαντος ή ενός σύμπαντος παράλληλου με το δικό μας. Αναφορά Ξενάκη αρ. 46 Παρόλο που ο τίτλος μπορεί να υποβάλει τη φαντασία του ακροατή, το έργο δεν έχει καθόλου πλοκή. Ο Ξενάκης χρησιμοποιεί τον όρο ‘αφηρημένο μπαλέτο’ σε σχέση με το έργο και εξηγεί πως εννοεί τη χορογραφία ‘η οποία θα εκφράζει μόνο σχήματα και τη σχέση τους στο χώρο και στο χρόνο’.324 Φαίνεται πως ο κύριος σκοπός της επιλογής του τίτλου είναι να ερεθίσει τη φαντασία και τη δημιουργικότητα του χορογράφου ενώ δεν υπάρχει άλλη σύνδεση με τη μουσική ή τον τρόπο σύνθεσής της. Όπως αναφέρει και ο Ξενάκης: Θα μπορούσα να γράψω είτε προγραμματική μουσική με πλοκή, είτε μουσική χωρίς πλοκή. Διάλεξα αυτό τον τρόπο αλλά έδωσα ένα μυστηριώδες, υποβλητικό τίτλο, στην προσπάθεια να μεταφέρω στο χορογράφο κάτι πιο σταθερό από τις καθαρές μουσικές ιδέες. 325 Αναφορά Ξενάκη αρ. 47 Το έργο φαίνεται πως δανείζεται αρκετά στοιχεία από άλλα έργα του Ξενάκη. Όπως δείχνει ο Benoît Gibson, το Αντίχθων δανείζεται στοιχεία από τα έργα Νόμος Άλφα, Νόμος Γάμμα, Kraanerg 326 , ενώ υπάρχει και χρήση ρυθμικών κοσκίνων μέσα στο έργο, τα οποία προήλθαν από το έργο Persephassa. Το βασικό κόσκινο που χρησιμοποιείται έχει διαστηματική δομή: 1-1-1-3-1-2-1-1-2-2-2-1-2-3-1-2-2-1-12-7-11. 324 Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber, London 1996, σελ. 103. 325 Παρτιτούρα Iannis Xenakis, Antikthon, Salabert, Παρίσι 326 Benoît Gibson, The instrumental Music of Iannis Xenakis, Theory, Practice, Self-Borrowing, Pendragon Press, New York 2011. 179 Στο Persephassa το συγκεκριμένο κόσκινο χρησιμοποιείται με μονάδα το δέκατο έκτο, ενώ στο Αντίχθων μονάδα είναι το πεντάηχο δέκατο έκτο. Το έργο Αντίχθων, όπως είπαμε, έχει γίνει γνωστό ως ορχηστρικό έργο παρά ως μπαλέτο. Φαίνεται πως γράφτηκε βιαστικά και για αυτό ο Ξενάκης χρησιμοποίησε στοιχεία από άλλα έργα του. Το ίδιο το έργο μπορεί να χωριστεί σε 5 μέρη στα οποία η ενοργάνωση ή ο τρόπος παιξίματος των οργάνων αλλάζουν σημαντικά και τα οποία πιθανόν να είχαν σκοπό τη διευκόλυνση του χορογράφου: 1. μμ. 1-140 2. μμ. 141-272 3. μμ. 272-342 4. μμ. 342-606 5. μμ. 607-656 Πέραν όμως από τη χρήση κοσκίνων, τα οποία είναι ένας δεσμός με την πυθαγόρεια παράδοση, δεν φαίνεται να υπάρχει άλλος σύνδεσμος εκτός από το όνομα και την αναφορά στον πυθαγόρειο μύθο της Αντιγής. Ο Ξενάκης συνδέει το μύθο με τη μουσική του στον πρόλογο της παρτιτούρας του έργου:327 Σε ψυχολογικό επίπεδο, μπορεί να υπάρχουν συμπαθητικές δονήσεις από το συνειδητό στο ασυνείδητο επίπεδο του μυαλού μας, αλλά και μεταξύ του αληθινού σύμπαντος και του παραψυχολογικού σύμπαντος. Η κεντρική φωτιά είναι μια ευεργετική δύναμη δημιουργικής ενέργειας και οι ήλιοι κομμάτια από γυαλί που αντανακλούν αυτή την ενέργεια. Αλλά η ίδια η ιδέα της κεντρικής φωτιάς υποθέτει την ύπαρξη μιας άγνωστης σύμφωνα με ότι αντιλαμβάνεται η σύγχρονη αστροφυσική - πηγής ενέργειας που δεν είναι ακόμα αντιληπτή από την ανθρώπινη διάνοια. Όλες αυτές οι συμπαθητικές δονήσεις δημιουργούν 327 Παρτιτούρα Iannis Xenakis, Antikthon, Salabert, Παρίσι 180 εικόνες στη φαντασία που μπορούν να οδηγήσουν το μυαλό σε αναρίθμητους κόσμους. Από την ίδια της τη φύση, η μουσική παρουσιάζει μια ακούσια συγγένεια με αυτές τις ιδέες και μπορεί να θεωρηθεί ως μια έκφρασή τους. Έχοντας δημιουργήσει ήλιους από χάλκινα πνευστά, κόσμους από ξύλινα πνευστά και αρχιτεκτονικές δομές από έγχορδα, έπρεπε να διαλέξω ένα τίτλο που να κυριαρχούσε η ιδέα της ‘ετερότητας’. Έτσι.. ΑΝΤΙΧΘΩΝ. Αναφορά Ξενάκη αρ. 48 Ο Ξενάκης, σε μια από τις σπάνιες στιγμές ποιητικής διάθεσής του, συνδέει τη μουσική με τη φαντασία, τη δημιουργία εικόνων μέσα από τη μουσική και τη σύγχρονη επιστήμη. Η χρησιμοποίηση ενός πυθαγόρειου μύθου στο έργο είναι ένα ακόμα στοιχείο της γνώσης και της επιρροής που είχαν οι πυθαγόρειοι στη σκέψη του Ξενάκη. 181 Μέρος 6.2 Το έργο La Legende d’ Eer (Ο μύθος του Ηρώς) Το έργο Ο μύθος του Ηρώς είναι η μουσική που συνέθεσε ο Ξενάκης για το θέαμα Διάτοπο, το οποίο ανήκει στη σειρά των πολύτοπων έργων του Ξενάκη.328 Το Διάτοπο περιλάμβανε την αρχιτεκτονική κατασκευή, μουσική, οπτικό θέαμα με φώτα και λέιζερ, και τα κείμενα τα οποία συνόδευαν το πρόγραμμα. Παρουσιάστηκε στο Παρίσι το 1978 και στη Βόννη το 1979. Δεν επαναλήφθηκε ποτέ έκτοτε. Η αρχιτεκτονική κατασκευή έχει καταστραφεί, όπως επίσης και το οπτικό θέαμα, από το οποίο μένουν μόνο τα σκίτσα του Ξενάκη και οι φωτογραφίες που τραβήχτηκαν κατά τη διάρκεια της παράστασης.329 Σκίτσο του Διατόπου 328 Πρόκειται για έργα που συνδύαζαν οπτικά θεάματα και μουσική (ηχογραφημένη ή ενόργανη). Συνολικά ο Ξενάκης παρουσίασε έξι τέτοια πολύτοπα: Το πολύτοπο του Μοντρεάλ(1967), το Hibiki Hana Ma στην Οζάκα (1970), το πολύτοπο της Περσέπολης (1971), το πολύτοπο του Κλινί στο Παρίσι (1972-1974), το Διάτοπο και το πολύτοπο των Μυκηνών (1978). 329 Βλ. Μάκης Σολωμός, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, εκδόσεις Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008, σελ. 260. 182 6.2.1. Τα κείμενα του έργου Το πρόγραμμα της παράστασης αποτελείτω από μια συλλογή κειμένων από διαφορετικούς συγγραφείς και εποχές. Ο τίτλος του έργου προκύπτει από το ομώνυμο κείμενο που βρίσκουμε στο τέλος της Πολιτείας του Πλάτωνα και είναι αυτό το κείμενο που συνδέει το έργο με την πυθαγόρεια παράδοση. Τα υπόλοιπα κείμενα είναι από τον Ποιμάνδρη του Ερμή του Τρισμέγιστου, τις Σκέψεις του Μπλεζ Πασκάλ, το έργο Blumen –Frucht- und Dornenstücke, oder Ehestand, Tod und Hochzeit des Armenadvokaten Siebenkäs (Κομμάτια από λουλούδια, φρούτα και αγκάθια ή ο έγγαμος βίος, ο θάνατος και ο γάμος του δικηγόρου των φτωχών Ζίμπενκες) του Ζαν-Πωλ και ένα τελευταίο κείμενο με τίτλο Σουπερνόβα σε άλλους γαλαξίες που περιγράφει την έκρηξη ενός σουπερνόβα και υπογράφει ο Ρομπερτ Κίρσνερ. Το κοινό στοιχείο όλων τον κειμένων είναι ότι αναφέρονται στο άπειρο του σύμπαντος. Το βασικό κείμενο από το οποίο προέρχεται ο τίτλος του μουσικού μέρους, είναι όπως είπαμε ένα απόσπασμα από την Πολιτεία του Πλάτωνα. Στο κείμενο αυτό περιγράφεται ο μύθος του Ηρός, του γιου του Αρμενίου, ενός ήρωα που πέθανε στη μάχη αλλά το πτώμα του δεν σάπιζε και επέστρεψε στη ζωή ενώ βρισκόταν στη νεκρική του πυρά. Ο Ηρ διηγήθηκε τι είδε κατά τη διάρκεια των ημερών που ήταν νεκρός. Περιγράφει πως έφτασε σε δύο χάσματα στα οποία υπήρχαν δικαστές που δίκαζαν τις ψυχές των νεκρών και χώριζαν τους δίκαιους από τους άδικους και τις τιμωρίες ή τις αμοιβές τους, το μαρτύριο του τύραννου Αριδαίου και ένα όραμα του σύμπαντος. Σε αυτό το τελευταίο μέρος παρουσιάζεται για πρώτη φορά ο πυθαγόρειος μύθος της αρμονίας των σφαιρών, το όραμα δηλαδή των πλανητών να περιστρέφονται σε ένα αδράχτι που βρισκόταν στα γόνατα της Ανάγκης και σε κάθε ένα από αυτούς να βρίσκεται μια σειρήνα η οποία τραγουδάει ένα τόνο, έτσι που συνολικά να παράγεται μια αρμονία: ἐπὶ δὲ τῶν κύκλων αὐτοῦ ἄνωθεν ἐφ’ ἑκάστου βεβηκέναι Σειρῆνα συμπεριφερομένην, φωνὴν μίαν ἱεῖσαν, ἕνα τόνον˙ ἐκ πασῶν δὲ ὀκτὼ οὐσῶν μίαν ἁρμονίαν ξυμφωνεῖν.330 330 Πλάτωνας, Πολιτεία 617 b5 - c1, από Plato, The Rebublic ii books vi-x, Harvard University Press, London 1987, σελ. 502 -504 (και πάνω στον καθένα απ’ αυτούς τους κύκλους καθόταν από μια Σειρήνα, που γύριζε μαζί με αυτούς και έψελνε πάντα με την ίδια φωνή και στον ίδιο τόνο, και από τη φωνή των οκτώ σειρήνων, γινόταν μια υπέροχη αρμονική συμφωνία – μτφ από Πλάτων, Πολιτεία 5, Κάκτος, Αθήνα 1992, σελ. 178-179). 183 Έχουμε ήδη αναλύσει το μύθο της αρμονίας των σφαιρών σε προηγούμενο κεφάλαιο331 για αυτό και εδώ δεν θα προβούμε σε περαιτέρω λεπτομέρειες. Ο τίτλος του έργου και η άμεση αναφορά σε ένα από τους πιο γνωστούς πυθαγόρειους μύθους δείχνει για ακόμα μια φορά την επιρροή που άσκησε η πυθαγόρεια παράδοση στο έργο του Ξενάκη. Ο Ξενάκης, αναφερόμενος στο ρόλο των κειμένων στο πρόγραμμα, προβαίνει σε μια πυθαγόρεια σύλληψη αλλά και κάνει την άμεση σύνδεση με την πυθαγόρεια παράδοση: Το θέαμα αυτό και η μουσική του απηχούν πολλαπλώς τα κείμενα που σχηματίζουν ένα είδος χορδής την οποία κρατά ο άνθρωπος στο διάστημα και στην αιωνιότητα του σύμπαντος, μια χορδή αποτελούμενη από ιδέες, επιστήμες, αποκαλύψεις. Το θέαμα ετούτο αποτελείται από τους αρμονικούς αυτής της συμπαντικής χορδής. Τα κείμενα το εξηγούν καλύτερα από οποιονδήποτε άλλο λόγο. Συνιστούν το μίτο του θεάματος. Επέλεξα σε ένα είδος πανοράματος ορισμένες από τις σημαδιακές και ιδιαίτερα πλούσιες σε ιδέες και ποιητική εποχές και αποδίδω, ομαδοποιημένα, εδώ τα λιγοστά κείμενα που θεωρώ κορυφαία, κορυφές τις οποίες προτίμησα μεταξύ άλλων, φυσικά. Έδωσα έναν γενικό τίτλο, Ο μύθος του Ηρός, σε αυτά τα κείμενα, διότι ο μύθος αυτός που δίνει ένα παράδοξο τέλος στην Πολιτεία του Πλάτωνα, εμπεριέχει τις ιδέες της ηθικής, του πεπρωμένου, του φυσικού και υπερφυσικού σύμπαντος, του θανάτου και της ζωής σε ένα κλειστό αλλά εξαιρετικά ποιητικό σύστημα.332 Αναφορά Ξενάκη αρ. 49 Στο ίδιο κείμενο ο Ξενάκης κάνει μια απευθείας αναφορά στην αρμονία των Σφαιρών: 331 Βλ. Κεφ. 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’. 332 Ιάννης Ξενάκης, Ο μύθος του Ηρός (πρώτη εκδοχή). Κίνηση φωτός και ήχου του Διατόπου στο κέντρο Ζορζ Πομπιντού, σελ. 8-12, Παρίσι 1978. 184 ...όπως το σύμπαν είναι φτιαγμένο από κόκκους και ευθείες (την ακτινοβολία των φωτονίων) που ρυθμίζονται από τους στοχαστικούς ή ντετερμινιστικούς νόμους, με τον ίδιο τρόπο αυτό το θέαμα προτείνει μια σμικρυσμένη αλλά συμβολική και αφηρημένη αντανάκλαση. Έτσι, μουσική και φως ενώνονται το ένα με το άλλο. Κατά κάποιο τρόπο, είναι ‘η αρμονία των σφαιρών’ του σύμπαντος η οποία μέσω της τέχνης, ταυτίζεται με εκείνη της σκέψης.333 Αναφορά Ξενάκη αρ. 50 6.2.2. Η μουσική του έργου Η μουσική για το Διάτοπο πήρε τον τίτλο Ο μύθος του Ηρός και αποτελεί ξεχωριστή μουσική σύνθεση και συγκαταλέγεται μεταξύ των σπουδαιότερων έργων του Ξενάκη στον τομέα της ηλεκτρονικής μουσικής. Η μουσική είναι ηχογραφημένη σε επτά κανάλια και κατανέμεται αυτόματα σε έντεκα ηχεία μέσω προγραμματισμένης παρτιτούρας.334 Παράδειγμα 29 : θέσεις των ηχείων στο Διάτοπο, σκίτσο του Ξενάκη από το αρχείο Ξενάκη της Γαλλικής Εθνικής Βιβλιοθήκης 333 Ιάννης Ξενάκης, ο.π., σελ. 12. 334 Βλ. Άρθρο του Ξενάκη ‘Οι δρόμοι της μουσικής σύνθεσης’ στο Ιάννης Ξενάκης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, εκδ. Ψυχογιός, Αθήνα 2001, σελ 187-188. 185 Η διάρκεια του έργου είναι σχεδόν 46 λεπτά, κάνοντας το Μύθο του Ηρός ένα από τα μεγαλύτερα, σε διάρκεια, έργα του Ξενάκη. Οι ήχοι που αποτελούν το έργο μπορούν να χωριστούν σε ήχους που προέρχονται από όργανα, θορύβους και ήχους από ηλεκτρονικό υπολογιστή, ενώ χρησιμοποιείται για πρώτη φορά η στοχαστική σύνθεση του ήχου. Όπως και στο έργο Αντίχθων, δεν φαίνεται να υπάρχει άλλη σύνδεση του έργου με τον τίτλο του και το Μύθο του Ηρός, όπως εμφανίζεται στην Πολιτεία του Πλάτωνα. Η μοναδική άλλη σύνδεση του έργου με την πυθαγόρεια παράδοση παρουσιάζεται από το Μάκη Σολωμό στη μοναδική ανάλυση του έργου που υπάρχει μέχρι σήμερα: ‘Εάν θεωρήσουμε ότι ο ήχος του καναλιού I έχει ως ύψος ένα σολ (πράγμα που κάνει ο Ξενάκης), έχουμε, από τους οξείς προς τους χαμηλούς: σολ, φα+, μι, ρε+, ντο#, σι+, λα# -το σύνολο δεν απέχει πολύ από μια (πυθαγόρεια) ‘αρμονία’. Μπορεί κανείς, λόγω του αριθμού των καναλιών, να σκεφτεί ότι έχουμε επτά φθόγγους επειδή υπάρχουνε επτά κανάλια, ας αναλογιστούμε, όμως, ότι οι Έλληνες στήριζαν την αρμονία στους επτά πλανήτες που γνώριζαν...’335 Ο Μ. Σολωμός, αναφερόμενος στο πρώτο μέρος του έργου, κάνει μια τολμηρή σύνδεση μεταξύ των τονικών υψών που ακούγονται στο έργο, της πυθαγόρειας αρμονίας και της αρμονίας των Σφαιρών, που όμως, εμφανιζόμενη στο πλαίσιο της επιρροής που είχε ο Ξενάκης από την πυθαγόρεια παράδοση αλλά και τον τίτλο του έργου, φαίνεται απόλυτα λογική. 335 Βλ. Μάκης Σολωμός, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, εκδόσεις Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008, σελ. 270. 186 Παράδειγμα 30, σκίτσο του Ξενάκη για το έργο La Legende d’ Eer από το αρχείο Ξενάκη της Γαλλικής Εθνικής Βιβλιοθήκης Είναι φανερό πως η σκέψη του Ξενάκη είναι διαποτισμένη από την πυθαγόρεια παράδοση και αντίληψη, καθώς είναι πιθανόν ο Ξενάκης στο συγκεκριμένο έργο να ήθελε να δώσει μια παρουσίαση της δικής του εκδοχής της Αρμονίας των Σφαιρών. 187 Μέρος 6.3. Το έργο Serment-Όρκος Το έργο Όρκος, για μικτή χορωδία χωρίς συνοδεία, γράφτηκε το 1981 κατόπιν παραγγελίας για το 15ο συνέδριο της διεθνούς ομοσπονδίας καρδιολογίας και πρωτοπαρουσιάστηκε στις 6 Σεπτεμβρίου 1981 από τη χορωδία της Ελληνικής ραδιοφωνίας σε διεύθυνση του Αντώνη Κοντογεωργίου.336 Είναι μελοποίηση του γνωστού Ιπποκρατικού Όρκου, του όρκου στον οποίο ορκίζονται όλοι οι γιατροί μέχρι και σήμερα. Στη συνέχεια θα δούμε τη σχέση που έχει το κείμενο του Όρκου του Ιπποκράτη με την πυθαγόρεια παράδοση και θα αναλύσουμε τους τρόπους που η μουσική του Ξενάκη στο συγκεκριμένο έργο διασταυρώνεται με την πυθαγόρεια σχολή στο συγκεκριμένο έργο. 6.3.1. Πυθαγόρεια παράδοση και Ιπποκρατικός Όρκος Ο όρκος του Ιπποκράτη Ὄμνυμι Ἀπόλλωνα ἰητρὸν, καὶ Ἀσκληπιὸν, καὶ Ὑγείαν, καὶ Πανάκειαν, καὶ θεοὺς πάντας τε καὶ πάσας, ἵστορας ποιεύμενος, ἐπιτελέα ποιήσειν κατὰ δύναμιν καὶ κρίσιν ἐμὴν ὅρκον τόνδε καὶ ξυγγραφὴν τήνδε. Ἡγήσασθαι μὲν τὸν διδάξαντά με τὴν τέχνην ταύτην ἴσα γενέτῃσιν ἐμοῖσι, καὶ βίου κοινώσασθαι, καὶ χρεῶν χρηίζοντι μετάδοσιν ποιήσασθαι, καὶ γένος τὸ ἐξ ωὐτέου ἀδελφοῖς ἴσον ἐπικρινέειν ἄῤῥεσι, καὶ διδάξειν τὴν τέχνην ταύτην, ἢν χρηίζωσι μανθάνειν, ἄνευ μισθοῦ καὶ ξυγγραφῆς, παραγγελίης τε καὶ ἀκροήσιος καὶ τῆς λοιπῆς ἁπάσης μαθήσιος μετάδοσιν 336 Βλ. εισαγωγή της παρτιτούρας του έργου Serment-Ορκος, εκδόσεις Salabert, Παρίσι 1981. 188 ποιήσασθαι υἱοῖσί τε ἐμοῖσι, καὶ τοῖσι τοῦ ἐμὲ διδάξαντος, καὶ μαθηταῖσι συγγεγραμμένοισί τε καὶ ὡρκισμένοις νόμῳ ἰητρικῷ, ἄλλῳ δὲ οὐδενί. Διαιτήμασί τε χρήσομαι ἐπ' ὠφελείῃ καμνόντων κατὰ δύναμιν καὶ κρίσιν ἐμὴν, ἐπὶ δηλήσει δὲ καὶ ἀδικίῃ εἴρξειν. Οὐ δώσω δὲ οὐδὲ φάρμακον οὐδενὶ αἰτηθεὶς θανάσιμον, οὐδὲ ὑφηγήσομαι ξυμβουλίην τοιήνδε. Ὁμοίως δὲ οὐδὲ γυναικὶ πεσσὸν φθόριον δώσω. Ἁγνῶς δὲ καὶ ὁσίως διατηρήσω βίον τὸν ἐμὸν καὶ τέχνην τὴν ἐμήν. Οὐ τεμέω δὲ οὐδὲ μὴν λιθιῶντας, ἐκχωρήσω δὲ ἐργάτῃσιν ἀνδράσι πρήξιος τῆσδε. Ἐς οἰκίας δὲ ὁκόσας ἂν ἐσίω, ἐσελεύσομαι ἐπ' ὠφελείῃ καμνόντων, ἐκτὸς ἐὼν πάσης ἀδικίης ἑκουσίης καὶ φθορίης, τῆς τε ἄλλης καὶ ἀφροδισίων ἔργων ἐπί τε γυναικείων σωμάτων καὶ ἀνδρῴων, ἐλευθέρων τε καὶ δούλων. Ἃ δ' ἂν ἐν θεραπείῃ ἢ ἴδω, ἢ ἀκούσω, ἢ καὶ ἄνευ θεραπηίης κατὰ βίον ἀνθρώπων, ἃ μὴ χρή ποτε ἐκλαλέεσθαι ἔξω, σιγήσομαι, ἄῤῥητα ἡγεύμενος εἶναι τὰ τοιαῦτα. Ὅρκον μὲν οὖν μοι τόνδε ἐπιτελέα ποιέοντι, καὶ μὴ ξυγχέοντι, εἴη ἐπαύρασθαι καὶ βίου καὶ τέχνης δοξαζομένῳ παρὰ πᾶσιν ἀνθρώποις ἐς τὸν αἰεὶ χρόνον. παραβαίνοντι δὲ καὶ ἐπιορκοῦντι, τἀναντία τουτέων. Μτφ. : Ορκίζομαι στο θεό Απόλλωνα τον ιατρό και στο θεό Ασκληπιό και στην Υγεία και στην Πανάκεια και επικαλούμενος τη μαρτυρία όλων των θεών ότι θα εκτελέσω κατά τη δύναμη και την κρίση μου τον όρκο αυτόν και τη συμφωνία αυτή. Να θεωρώ το διδάσκαλό μου της ιατρικής τέχνης ίσο με τους γονείς μου και την κοινωνό του βίου μου. Και όταν χρειάζεται χρήματα να μοιράζομαι μαζί του τα δικά μου. Να θεωρώ την οικογένειά του αδέλφια μου και να τους διδάσκω αυτή την τέχνη αν θέλουν να την μάθουν χωρίς δίδακτρα ή άλλη συμφωνία. Να μεταδίδω τους κανόνες 189 ηθικής, την προφορική διδασκαλία και όλες τις άλλες ιατρικές γνώσεις στους γιους μου, στους γιους του δασκάλου μου και στους εγγεγραμμένους μαθητές που πήραν τον ιατρικό όρκο, αλλά σε κανέναν άλλο. Θα χρησιμοποιώ τη θεραπεία για να βοηθήσω τους ασθενείς κατά τη δύναμη και την κρίση μου, αλλά ποτέ για να βλάψω ή να αδικήσω. Ούτε θα δίνω θανατηφόρο φάρμακο σε κάποιον που θα μου το ζητήσει, ούτε θα του κάνω μια τέτοια υπόδειξη. Παρομοίως, δεν θα εμπιστευτώ σε έγκυο μέσο που προκαλεί έκτρωση. Θα διατηρώ αγνή και άσπιλη και τη ζωή και την τέχνη μου. Δεν θα χρησιμοποιώ νυστέρι ούτε σε αυτούς που πάσχουν από λιθίαση, αλλά θα παραχωρώ την εργασία αυτή στους ειδικούς της τέχνης. Σε όσα σπίτια πηγαίνω, θα μπαίνω για να βοηθήσω τους ασθενείς και θα απέχω από οποιαδήποτε εσκεμμένη βλάβη και φθορά, και ιδίως από γενετήσιες πράξεις με άνδρες και γυναίκες, ελεύθερους και δούλους. Και όσα τυχόν βλέπω ή ακούω κατά τη διάρκεια της θεραπείας ή και πέρα από τις επαγγελματικές μου ασχολίες στην καθημερινή μου ζωή, αυτά που δεν πρέπει να μαθευτούν παραέξω δεν θα τα κοινοποιώ, θεωρώντας τα θέματα αυτά μυστικά. Αν τηρώ τον όρκο αυτό και δεν τον παραβώ, ας χαίρω πάντοτε υπολήψεως ανάμεσα στους ανθρώπους για τη ζωή και για την τέχνη μου. Αν όμως τον παραβώ και επιορκήσω, ας πάθω τα αντίθετα. Η πυθαγόρεια διδασκαλία άσκησε εκτεταμένη επίδραση σε πλήθος επιστημών και η ιατρική δεν θα μπορούσε να αποτελεί εξαίρεση. Σύμφωνα με τον Sigerist, ‘από όλες τις προΣωκρατικές σχολές, η σχολή των πυθαγορείων άσκησε τη βαθύτερη επίδραση στην Ιατρική’.337 Παρόλο που δεν προκύπτει από καμιά μαρτυρία πως οι πυθαγόρειοι άσκησαν οι ίδιοι την Ιατρική επιστήμη, φαίνεται πως διατύπωσαν θεωρίες σε θέματα βιολογικά και ιατρικά. Συστηματική ήταν η ενασχόλησή τους με τη διαιτητική, όπως συμβαίνει με κάθε μυητική κοινότητα που αποβλέπει στην κάθαρση και του σώματος παράλληλα με την κάθαρση της 337 Sigerist H.E., A history of Medicine, Oxford University Press, New York 1961, σελ. 98. 190 ψυχής.338 Η επίδραση που άσκησε στην Ιατρική και την Ιατρική ηθική η σχολή των πυθαγορείων υπήρξε τόσο εκτεταμένη που - όπως θα δούμε παρακάτω - οι προεκτάσεις της γίνονται αισθητές μέχρι τις μέρες μας. Αρκετοί μελετητές των πυθαγορείων ισχυρίζονται πως ο Ιπποκρατικός όρκος, που για αιώνες αποτελεί οδηγό στην ιατρική ηθική και δεοντολογία, έχει πυθαγόρεια προέλευση, βασιζόμενοι στα κοινά στοιχεία που φαίνεται να εμφανίζονται και στην πυθαγόρεια παράδοση και στον Ιπποκρατικό όρκο. Τα στοιχεία που υποδεικνύουν πυθαγόρεια επίδραση στον Ιπποκρατικό Όρκο είναι: 1. Ο σχηματισμός μια αδελφότητας και η επιταγή της μυστικότητας. 2. Η υπόδειξη πως ο γιατρός πρέπει να θεωρεί τον διδάσκαλό του σαν πατέρα και τα παιδιά του διδασκάλου του σαν αδέλφια. 3. Η αξιολόγηση η οποία κατατάσσει τη δίαιτα ψηλότερα από τα φάρμακα και τα φάρμακα ψηλότερα από τη χειρουργική. 4. Η απαγόρευση της αυτοκτονίας και της έκτρωσης. 5. Η υποχρέωση που αναλαμβάνει ο γιατρός να τηρήσει αγνή τη ζωή και την τέχνη του – κάτι που παραπέμπει στο πυθαγόρειο ομοακοείο. Χαρακτηριστικά, ο L. Edelstein υποστηρίζει πως: ‘Μπορώ να πω χωρίς κανένα δισταγμό, ότι ο καλούμενος ‘Όρκος του Ιπποκράτη’ είναι ένα κείμενο ενιαίας σύλληψης που είναι διαποτισμένο από την πυθαγόρειο φιλοσοφία. Και στο πνεύμα και στο γράμμα του και στη μορφή και στο περιεχόμενο είναι μια πυθαγόρεια διακήρυξη. Τα κύρια στοιχεία του Όρκου γίνονται κατανοητά μόνο σε συσχετισμό προς τον πυθαγορισμό – όλες οι λεπτομέρειές του βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία με αυτό το σύστημα σκέψης. Αν μόνο ένα ή κάποιο στοιχείο αποκαλυπτόταν, η σύμπτωση θα μπορούσε να θεωρηθεί σαν τυχαία. Εφ’ όσον όμως το κείμενο είναι πλήρες και δεν υπάρχει αντίθετη υπόδειξη για οποιαδήποτε άλλη επίδραση, όλες οι ενδείξεις οδηγούν στο συμπέρασμα πως ο Όρκος είναι ένα πυθαγόρειο κείμενο’. 339 338 339 Μπάλλα Κωστή, Πυθαγόρας και πυθαγόρειοι, Προσκήνιο, Αθήνα 2001, σελ. 163 Edelstein l., The Hippocratic Oath: Text, translation and Interpretation, στο Ancient Medicine, The Johns Hopkins Press, Baltimore 1967. Εδώ από Μπάλλα Κωστή, Πυθαγόρας και πυθαγόρειοι, εκδόσεις Προσκήνιο, Αθήνα 2001, σελ. 164-165. 191 Ο ίδιος ο Edelstein τοποθετεί τη δημιουργία του Ιπποκρατικού όρκου στο δεύτερο μισό του 4ου αι. π.Χ. ενώ άλλοι μελετητές διαφωνούν τοποθετώντας την μέχρι και ένα αιώνα νωρίτερα. Ο C.T. De Vogel στέκεται ιδιαίτερα σε αυτό το σημείο, εκφράζοντας μάλιστα επιφυλάξεις για την πυθαγόρεια προέλευση του Όρκου.340 Ο Sigerist εκφράζει την άποψη πως ‘τα πυθαγόρεια ιδεώδη άσκησαν ισχυρή επίδραση στην ιατρική ηθική. Μετά τη μελέτη του Edelstein, που δημιούργησε εποχή, δεν μπορεί να υπάρξει καμιά αμφιβολία πως ο καλούμενος «Ιπποκρατικός όρκος» ήταν ένα πυθαγόρειο κείμενο’.341 Επιφυλάξεις σχετικά με το θέμα εκφράζει και ο Walter Burkert παρόλο που αναγνωρίζει τα κοινά χαρακτηριστικά που υπάρχουν στην πυθαγόρεια παράδοση και στον Όρκο. Έτσι αναφέρει πως ‘παρόλο που ο Ιπποκρατικός όρκος έχει κοινά χαρακτηριστικά με τον πυθαγορισμό – το δάσκαλο ως ‘πατέρα’, την παρότρυνση προς τη μυστικότητα, το θρησκευτικό τρόμο προς την αυτοκτονία, το ότι βάζει πρώτα τη διαιτητική και μετά τη χειρουργική – πολλά από αυτά μπορούν να εξηγηθούν ως αποτέλεσμα ενός κοινού υπόβαθρου.’342 Επίσης σε υποσημείωση αναφέρει πως ‘το κοινό χαρακτηριστικό (ανάμεσα στον πυθαγορισμό και στον Ιπποκρατικό όρκο) που ξεχωρίζει είναι η απαγόρευση της αυτοκτονίας αλλά αυτό είναι απολύτως λογικό στην ιατρική παράδοση: οι ιατροί αντιπροσωπεύουν τη ζωή και για αυτό δεν μπορούν να προάγουν το θάνατο. Η ταξινόμηση του όρκου ως ‘πυθαγόρειο κείμενο’ από τον Edelstein ξεπερνά τη μαρτυρία’.343 Φαίνεται πως δεν μπορεί να δοθεί κατηγορηματική απάντηση στο ερώτημα σχετικά με τις πυθαγόρειες επιρροές του Ιπποκρατικού όρκου και πως ακόμα και κορυφαίοι ερευνητές διαφωνούν πάνω στο συγκεκριμένο ζήτημα. Η δική μου θέση είναι ίδια με αυτή του Edelstein: πολλά στοιχεία του όρκου είναι κοινά με την πυθαγόρεια παράδοση ενώ δεν υπάρχει μαρτυρία για κάποια άλλη επιρροή. Το ότι τόσα πολλά στοιχεία συμπίπτουν δεν μπορεί να θεωρηθεί τυχαίο. Επίσης, ας μην ξεχνάμε την τεράστια επιρροή που άσκησε ο πυθαγορισμός κατά την περίοδο που γράφτηκε ο Όρκος. Κατά την άποψή μου, τα στοιχεία περισσότερο τείνουν να 340 C.T. De Vogel, Pythagoras and early Pythagoreanism, Assan, Van Gorrum 1966. Εδώ από Μπάλλα Κωστή, ο.π., σελ. 166. 341 Sigerist H.E., A history of Medicine, Oxford University Press, New York 1961, σελ. 99. 342 Burkert Walter, Lore and science in Ancient Pythagoreanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard University Press, Cambridge Massachusetts 1972, σελ. 294. 343 Burkert Walter, ο.π., σελ. 294, υποσημείωση 87. 192 δείξουν πως ο Ιπποκρατικός όρκος είναι ένα κείμενο διαποτισμένο με την πυθαγόρεια διδασκαλία παρά το αντίθετο. 6.3.2. Το έργο Serment-Όρκος Ο Ξενάκης χρησιμοποιεί ελάχιστο μέρος από το κείμενο του Ιπποκρατικού όρκου για μελοποίηση. Κατά τη μεγαλύτερη διάρκεια του έργου η χορωδία τραγουδά λαρυγγικούς ήχους, διάφορα φωνήεντα, κραυγές, γκλισάντι κτλ. Τα αποσπάσματα του Ιπποκρατικού όρκου που μελοποιεί ο Ξενάκης είναι: Φράση Μέτρο εμφάνισης Ὄμνυμι Ἀπόλλωνα ἰητρὸν 10 ὅρκον τόνδε 21 ἐπ' ὠφελείῃ καμνόντων κατὰ δύναμιν καὶ κρίσιν ἐμὴν 22 δὲ οὐδὲ φάρμακον οὐδενὶ αἰτηθεὶς θανάσιμον 41 Πίνακας 11 Επίσης ο Ξενάκης χρησιμοποιεί τη λέξη ‘Ιπποκράτης’ στο τέλος του έργου το οποίο τελειώνει με ένα cluster δεκαέξι νοτών. Η αρχή του έργου βασίζεται σε σειρές από φωνήεντα (A-O-U-A και U-A-O-I-A) τα οποία ο Ξενάκης αναφέρει πως χρησιμοποιεί επίτηδες θεωρώντας πως για το συγκεκριμένο σκοπό δεν χρειάζονται σύμφωνα, κάνοντας επίσης αναφορές σε αυτό που ο ίδιος θεωρεί αδυναμία των σύγχρονων τραγουδιστών να προφέρουν σωστά τα σύμφωνα.344 Επίσης, ο Ξενάκης αναφέρει πως η χρησιμοποίηση δυνατών αναπνοών και εκπνοών από τη χορωδία έγινε σε μια προσπάθεια να αναπαρασταθούν οι αναπνοές ανθρώπων που είναι άρρωστοι.345 344 Varga Balint Andras, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber, London 1996, σελ. 170-171. 345 Varga Balint Andras, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber, London 1996, σελ. 172. 193 Η μουσική βασίζεται πάνω σε ένα σχεδόν συμμετρικό κόσκινο346 αποτελούμενο από μικρές και μεγάλες τρίτες καθώς και βήματα ημιτονίου ενδιάμεσά τους: Παράδειγμα αρ. 31, Το κόσκινο από το έργο Όρκος Η χρήση της θεωρίας κοσκίνων όπως έχουμε πει, παραπέμπει απευθείας στην πυθαγόρεια παράδοση. Το γεγονός πως ο Ξενάκης χρησιμοποιεί ελάχιστες νότες που είναι έξω από το συγκεκριμένο κόσκινο – το οποίο αποτελείται κυρίως από διαστήματα 3ης – κάνει πολύ πιο έντονες τις συνηχήσεις μέσα στο έργο και - όπως αναφέρει ο James Harley (πιθανότατα λόγω των τριημιτονίων στο κόσκινο) - ‘δίνει ένα στοιχείο από κουλτούρες του παρελθόντος’.347 Είναι άγνωστο αν ο Ξενάκης γνώριζε τη σχέση του Ιπποκρατικού Όρκου με την πυθαγόρεια παράδοση, αλλά το γεγονός πως αυτή η σχέση υπάρχει, καθώς και το ότι το έργο είναι γραμμένο με βάση τη θεωρία κοσκίνων, κάνει το Όρκος ένα από τα έργα του Ιάννη Ξενάκη τα οποία είναι άμεσα συνδεδεμένα με τους πυθαγορείους. 346 Για τη σχέση της Θεωρίας κοσκίνων με την Πυθαγόρεια Παράδοση βλ. Κεφάλαιο 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το Πυθαγόρειο πρότυπο’. 347 Harley James, Xenakis, His life in music, Rougledge, New York 2004, σελ.136. 194 Μέρος 6.4 Το έργο Έρμα(Herma) Το έργο Έρμα γράφτηκε το 1960-61 και είναι το πρώτο έργο του Ξενάκη για σόλο πιάνο. Γράφτηκε κατά παραγγελία του Γιαπωνέζου πιανίστα Yuji Takahashi και εκτελέστηκε για πρώτη φορά από τον ίδιο στο Τόκιο το 1962. Ο τίτλος του έργου σημαίνει ‘δεσμός’ ή ‘έμβρυο’ και πιθανόν να θέλει να δείξει την πρόθεση του Ξενάκη για μια νέα αντίληψη στον τρόπο σύνθεσης μια και αυτό το έργο είναι το πρώτο στο οποίο ξεφεύγει από τη στοχαστική μέθοδο. Υπάρχουν αρκετές αναλύσεις του συγκεκριμένου έργου τόσο από τον ίδιο τον Ξενάκη348 όσο και από άλλους μελετητές. Πιο κοντά στην ανάλυση που θα παρουσιάσουμε είναι η ανάλυση των Χ.Χ. Σπυρίδη και Α. Αναστασοπούλου349 και Immin Chung350. Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης στοιχεία από τις αναλύσεις των R. L. G. Sward,351 X. Z. Wardel,352 Uno Yayoi353 και R. A. Wannamaker354 καθώς και στοιχεία από το αρχείο του Ξενάκη. Παρακάτω θα δώσουμε ιδιαίτερη έμφαση στα στοιχεία που έχουν ιδιαίτερη σχέση με την πυθαγόρεια παράδοση: 348 Ανάλυση του έργου από τον Ξενάκη παρουσιάζεται στο άρθρο ‘Συμβολική μουσική’ στο Formalized Music σελ. 155 – 177. 349 Χ. Σπυρίδης & Α. Αναστασοπούλου, Ανάλυση του έργου ‘Herma’ του Ιάννη Ξενάκη, Περιοδικό ΜΟΥ.Σ.Α. τευχ.1, Αθήνα 1995. 350 Immin Chung , Mathematical and Architectural Concepts Manifested in Iannis Xenakis’s Piano Music, Doctoral Dissertation, University of Texas, Austin 2003. 351 Sward Rosalie la Grow, "An examination of the mathematical systems used in selected compositions of Milton Babbitt and Iannis Xenakis." Doctoral Dissertation. Evanston: North-western University, 1981, σελ. 374 - 400 352 Wardell Ziaoman Zhang. "An examination of selected contemporary works composed by means of numbers (Bela Bartok, Olivier Messiaen, Alban Berg, and Iannis Xenakis)." Doctoral Thesis. Claremont: The Claremont Graduate University, 1996, σελ. 38-40. 353 Yayoi Uno, The roles of compositional aim, syntax, and design in the assessment of musical styles: Analyses of piano music by Pierre Boulez, John Cage, Milton Babbitt and Iannis Xenakis circa 1950, Doctoral Dissertation, The University of Rochester, Eastman School of Music, 1994, σελ. 234 – 282. 354 Robert A. Wannamaker, Structure and Perception in Herma by Iannis Xenakis, Music Theory online, vol. 7, num. 3, 2001. 195 1. Η εκτός-χρόνου δομή όπως εμφανίζεται για πρώτη φορά σε ένα έργο ‘Συμβολικής μουσικής’. 2. Η χρήση της χρυσής τομής και των πυθαγόρειων αναλογιών στη συνολική δόμηση του έργου. 6.4.1. Εκτός-χρόνου δομή στην Έρμα Τα ηχητικά ύψη στο έργο είναι οργανωμένα με βάση τη θεωρία συνόλων. Το σύνολο τον πλήκτρων του πιάνου είναι το πρώτο σύνολο που εμφανίζεται και παίρνει την ονομασία R. Στη συνέχεια έχουμε 3 ακόμα υποσύνολα355 του R, τα οποία ο Ξενάκης ονομάζει A, B, C. Με τη χρήση των λογικών σχέσεων της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και της άρνησης ο Ξενάκης φτάνει στο τελικό σύνολο το οποίο ονομάζει F. Τα σύνολα A, B και C παρουσιάζονται με διαφορές σε κάθε ανάλυση καθώς φαίνεται πως μέσα στο έργο υπάρχουν αρκετά τυπογραφικά λάθη καθώς και πιθανά λάθη που έγιναν κατά τη διάρκεια της επεξεργασίας του έργου από τον Ξενάκη. Ο ίδιος ο Ξενάκης το 1976 απαντώντας σε ερώτηση σχετικά με τα σύνολα του έργου356 δίνει τις παρακάτω νότες για κάθε σύνολο: Παράδειγμα 32, σύνολο Α του έργου Έρμα 355 Στο μέτρο 27 του έργου υπάρχει ένα γράμμα S το οποίο δίνει την εντύπωση πως παρουσιάζει κάποιο σύνολο με αυτό το όνομα. Το γεγονός όμως πως τέτοιου είδους σύνολο δεν παρουσιάζεται σε καμιά ανάλυση του Ξενάκη για το συγκεκριμένο έργο, μας οδηγεί στο συμπέρασμα πως πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. 356 Πρόκειται για την απάντηση του Ξενάκη σε γράμμα της Helen S. Walker με ημερομηνία 11 Ιανουαρίου 1976 σχετικά με το έργο. Παρέχει πληροφορίες σχετικά με τα σύνολα του έργου, καθώς και τον τρόπο σύνθεσής του. Το γράμμα της H.S. Walker και το απαντητικό γράμμα του Ξενάκη φυλάσσονται στο Αρχείο Ξενάκη στην Εθνική Γαλλική Βιβλιοθήκη με αριθμό 8/29. 196 Παράδειγμα 33, σύνολο Β του έργου Έρμα Παράδειγμα 34, σύνολο C του έργου Έρμα Ο ίδιος ο Ξενάκης αναφέρει πως η επιλογή των φθόγγων για κάθε σύνολο είναι τυχαία. Για να εξασφαλιστεί το τυχαίο στη διαδικασία επιλογής χρησιμοποιήθηκε ο νόμος συνεχών πιθανοτήτων P ( j )dj = 2 j 1 − dj , όπου j το μελωδικό διάστημα μεταξύ δύο φθόγγων και το a a a το όλο διάστημα του οικουμενικού συνόλου R.357 Για να γίνει αυτό ο Ξενάκης ονομάζει κάθε πλήκτρο του πιάνου με ένα αριθμό από το 0 ως το 87 και κατόπιν η επιλογή των αριθμών γίνεται από υπολογιστή με βάση τον παραπάνω νόμο. Οι αριθμοί που προέκυψαν για κάθε σύνολο είναι: Σύνολο A: 10, 12, 17, 19, 20, 26, 27, 28, 34, 35, 41, 45, 46, 56, 58, 60, 61, 65, 67, 72, 74, 75, 77 Σύνολο B: 1, 4, 7, 21, 23, 27, 28, 31, 41, 44, 45, 46, 54, 57, 60, 61, 62, 74, 79, 83, 84 Σύνολο C: 1, 4, 16, 17, 18, 26, 27, 30, 31, 37, 38, 44, 45, 46, 54, 59, 61, 62, 64, 67, 75, 84, 85, 86, 87 Στον παρακάτω πίνακα δίδονται τα μέτρα εισόδου του κάθε συνόλου (η άρνηση ενός συνόλου παρουσιάζεται με το σύμβολο ¯ , η πρόσθεση με το σύμβολο + και η ένωση δύο συνόλων χωρίς σύμβολο – π.χ. ΑΒ): 357 Ο νόμος αναλύεται στο Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, Appendix I, σελ 326 – 327. 197 358 Α/Α Αρ. Σύνολο 1 1 358 Μέτρου R 2 30  3 62  4 73  5 99  6 110 C 7 119 8 136 C AB 9 141 BC 10 11 142 144 BC + AB AB + AB 12 146 AB + AB 13 146; AB + AB + BC 14 147; AB + AB + BC + ABC 15 150 AB + AB 16 150; ABC 17 155 ( AB + AB )C 18 156; ( AB + AB )C + BC 19 157; ( AB + AB )C 20 158 ( AB + AB )C + BC 21 158; BC 22 160; BC + AB + AB 23 161; AB + AB 24 162; AB + AB + A BC 25 164; 26 165; ( AB + AB )C + ( AB + AB )C 27 171; ABC 28 173; ABC + AC 29 182 ( AB + AB )C ( AB + AB )C Το σύμβολο (;) δίπλα από κάποιους αριθμούς μέτρων υποδηλώνει είσοδο συνόλου στη μέση του μέτρου. 198 30 185; ABC 31 188; ( AB + AB )C 32 189; ( AB + AB )C + ( AB + AB )C 33 193 34 195 AC AC + ABC 35 196; AC 36 198 AC + ABC 37 204 ( AB + AB )C 38 205; ( AB + AB )C + ( AB + AB )C 39 207 ( AB + AB )C + ABC 40 208 ( AB + AB)C + ABC 41 209; ( AB + AB )C 42 216 F = ( AB + AB )C + ( AB + AB )C Πίνακας 12: μέτρα εισόδου των συνόλων στο έργο Έρμα Ο Ξενάκης δίνει ένα σχεδιάγραμμα στο οποίο φαίνονται οι σχέσεις και η πορεία των συνόλων, μέχρι το τελικό σύνολο-στόχο F, με βέννεια διαγράμματα:359 359 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 176. 199 παράδειγμα 35, πορεία των συνόλων στο έργο Έρμα παράδειγμα 36, τελικό σύνολο F στο έργο Έρμα Στο παράδειγμα 36 μπορούμε να δούμε το τελικό σύνολο F. Ο Ξενάκης δίνει δύο πιθανούς τρόπους για να φτάσουμε στο τελικό σύνολο F παρόλο που υπάρχει μόνο μια 200 πραγματοποίηση του, στην Έρμα. Στο επόμενο παράδειγμα, ο Ξενάκης δίνει ένα διάγραμμα της χρονικής ροής του έργου360: Παράδειγμα 37, διάγραμμα χρονικής ροής στο έργο Έρμα Τα πλεονεκτήματα από τη μέθοδο που χρησιμοποιεί ο Ξενάκης στην οργάνωση των φθόγγων είναι τεράστια. Οι νότες είναι τελείως αποδεσμευμένες από οποιαδήποτε σειρά ή κλίμακα. Η κάθε μια από τις 88 νότες του πιάνου είναι αυτόνομη και ο τρόπος επιλογής των φθόγγων που απαρτίζουν το κάθε σύνολο εξασφαλίζει την τυχαία επιλογή τους. Η εξέλιξη αυτής της μεθόδου θα οδηγήσει στη θεωρία κοσκίνων, στην οποία τα τονικά ύψη υπακούουν πλέον σε ένα σύστημα.361 Από μουσικολόγους362 έχει παρατηρηθεί η ύπαρξη μαθηματικών λαθών στα στοιχεία που απαρτίζουν το κάθε σύνολο. Αυτή ακριβώς η διαφορά μεταξύ θεωρίας και πρακτικής έχει προκαλέσει πολλές διαμάχες. Όπως τονίζει και ο Μάκης Σολωμός ‘κάποιοι έβλεπαν μια 360 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 177. 361 362 Βλ. Κεφ. 5 ‘Η αναζήτηση για μια παγκόσμια μουσική και το πυθαγόρειο πρότυπο’ Χ. Σπυρίδης& Α. Αναστασοπούλου, Ανάλυση του έργου ‘Herma’ του Ιάννη Ξενάκη, Περιοδικό ΜΟΥ.Σ.Α. τευχ.1, Αθήνα 1995. 201 ασυνέπεια της θεωρίας ενώ άλλοι, μια αντίδραση του δημιουργικού πνεύματος ενώπιον του συστήματος’.363 Η πιο χαρακτηριστική περίπτωση μαθηματικών λαθών είναι η ύπαρξη κοινών στοιχείων μεταξύ ενός συνόλου και της άρνησής του. Επίσης, πρέπει να παρατηρήσουμε πως αρκετές φορές ο Ξενάκης δεν παρουσιάζει όλα τα στοιχεία ενός συνόλου, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση του συνόλου R, κατά την έκθεση του οποίου θα έπρεπε να ακουστούν όλοι οι φθόγγοι του πιάνου. Φυσικά, η έκθεση ενός συνόλου δεν προϋποθέτει κατ’ ανάγκην και την έκθεση κάθε ενός στοιχείου του ξεχωριστά. Όσο για τα μαθηματικά λάθη που υπάρχουν στον υπολογισμό των στοιχείων κάθε συνόλου, είναι άγνωστο αν αυτά έγιναν εκ παραδρομής ή πρόκειται για σκόπιμες αποκλίσεις. Είναι γνωστό πάντως πως ο Ξενάκης δεν χρησιμοποιούσε οποιοδήποτε μαθηματικό εργαλείο με απόλυτο τρόπο και πως αρκετές φορές η έμπνευση ή τα μουσικά κριτήρια, υπερισχύουν των καθαρά μαθηματικών διαδικασιών.364 Ο Ξενάκης τονίζει πως τα σύνολα που χρησιμοποιούνται στην Έρμα ανήκουν στην εκτός-χρόνου κατηγορία και είναι όπως είπαμε η πρώτη προσπάθεια καθορισμού της, πάνω στην οποία θα συνεχίσει να δουλεύει και να εξελίσσει τα επόμενα χρόνια, μέχρι τον τελικό καθορισμό τους με τη θεωρία κοσκίνων. 6.4.2. Χρυσή τομή και ακολουθία Fibonacci στο έργο Έρμα Η χρυσή τομή στην Έρμα αποτελεί τη βάση της δομής του έργου, τόσο σε μακροσκοπικό όσο και σε μικροσκοπικό επίπεδο. Η Θεωρία συνόλων χρησιμοποιείται μαζί με τη χρυσή τομή και την ακολουθία Fibonacci για να καθοριστεί η εμφάνιση των φράσεων, των συνόλων και των διαρκειών. 365 Παρακάτω χρησιμοποιούμε τη θεωρητική διάρκεια του έργου σε δευτερόλεπτα, με βάση της ταχύτητες που δίνει ο Ξενάκης στην παρτιτούρα του έργου. Όπως βλέπουμε στο παράδειγμα 37 (διάγραμμα χρονικής ροής), οι πυκνότητες (ήχοι ανά δευτερόλεπτο) για το σύνολο R, έτσι όπως δίνονται από τον Ξενάκη είναι: 363 Βλ. Μάκης Σολωμός, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, εκδόσεις Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008, σελ. 130-131. 364 Βλ. Λέκκας Δημήτρης. Whatever I don’t like, I change, άρθρο στο Μάκης Σολωμός, Αναστασία Γεωργάκη, Γιώργος Ζερβός (εκδ.), Definitive Proceedings of the Internationαl Symposium Iannis Xenakis, Αθήνα 2005 365 Immin Chung, Mathematical and Architectural Concepts Manifested in Iannis Xenakis’s Piano Music, Doctoral Dissertation, Πανεπιστήμιο του Τέξας, 2003. 202 1.73 2.80 4.53 7.32 11.8 19 31 Οι αριθμοί αυτοί προσεγγίζουν τους αρχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci: Πυκνότητα 1.73 2.80 4.53 7.32 11.8 19 31 2 3 5 8 13 21 34 Ακολουθία Fibonacci Επίσης, αν υπολογίσουμε τη θεωρητική διάρκεια366 κάθε σημείου αλλαγής πυκνότητας σύμφωνα με την ταχύτητα που δίνει ο Ξενάκης θα δούμε πως προκύπτουν οι διάρκειες (σε δευτερόλεπτα): 17, 10, 6.5, 4, 2.5, 1.5, 0.9 Το πηλίκο των διαδοχικών διαρκειών προσεγγίζει τη χρυσή τομή: 0.59, 0.65, 0.65, 0.625, 0.6, 0,6 Η πραγματική διάρκεια όμως είναι διαφορετική και ο πίνακας που προκύπτει προσεγγίζει την ακολουθία Fibonacci σε ανάστροφη σειρά: Πυκνότητα 1.73 2.80 4.53 7.32 11.8 19 31 Διάρκεια 13 8 5 3 2 1.2 0.7 ακολουθία 13 8 5 3 2 1 1 Fibonacci Η χρυσή τομή για όλο το κομμάτι είναι περίπου στο 250ο δευτερόλεπτο (συνολικά από 405 δευτερόλεπτα), σημείο που προσεγγίζει το τέλος των παρουσιάσεων των συνόλων R, A, B, 366 Με τον όρο ‘θεωρητική διάρκεια’ εννοώ τη διάρκεια (σε δευτερόλεπτα) που προκύπτει με βάση την ταχύτητα που ορίζει ο Ξενάκης στο έργο. 203 C και των αρνήσεών τους, καθώς οι πράξεις των συνόλων που καταλήγουν στο σύνολο F ξεκινούν περίπου στο 247ο δευτερόλεπτο. Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε αν αντί για δευτερόλεπτα πάρουμε το συνολικό αριθμό μέτρων του έργου (219). Η χρυσή τομή τους είναι περίπου το μέτρο 135 που είναι το μέτρο στο οποίο ξεκινούν οι πράξεις συνόλων που οδηγούν στο τελικό σύνολο F. Αν αφαιρέσουμε τα πρώτα 33 δευτερόλεπτα στα οποία παρουσιάζεται το σύνολο R, τότε βλέπουμε πως η χρυσή τομή του εναπομείναντος μέρους του έργου είναι στα 263 δευτερόλεπτα, σημείο που αρχίζουν οι πράξεις μεταξύ περισσότερων από δύο σύνολα ( BC + AB ). Μπορούμε επίσης να βρούμε άλλα σημαντικά σημεία του έργου χρησιμοποιώντας ως σταθερά σημεία διαφορετικά μέρη του έργου και χρησιμοποιώντας τη χρυσή τομή ή και την αρνητική χρυσή τομή τους: Η αρνητική χρυσή τομή από το 33ο δευτερόλεπτο μέχρι το τέλος είναι το 175ο δευτερόλεπτο (το οποίο είναι επίσης η χρυσή τομή από το 33ο στο 263ο δευτερόλεπτο) και η Χρυσή τομή από το 33ο στο 175ο δευτερόλεπτο είναι το 119ο δευτερόλεπτο. Στο σημείο αυτό τελειώνει η παρουσίαση του συνόλου Α (και της άρνησής του) και ξεκινά η παρουσίαση του συνόλου Β. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε τα σημαντικά σημεία έναρξης των βασικών συνόλων παρόλο που δεν προκύπτουν όλα τα σημεία εισόδου των συνόλων από τη χρήση της χρυσής τομής.367 Ένα άλλο στοιχείο που δείχνει τη σχέση με την πυθαγόρεια παράδοση, είναι πως κάποια σημεία εισόδου είναι το πηλίκο δύο σημείων που προκύπτουν από τους υπολογισμούς της χρυσής τομής, παραπέμποντας έτσι απευθείας στην πρώτη πυθαγόρεια αναλογία και στους αριθμητικούς μέσους των πυθαγορείων. Παρόλο που ο Ξενάκης δεν αναφέρεται σε καμιά περίπτωση στη χρήση είτε της χρυσής τομής και της ακολουθίας Fibonacci, είτε των πυθαγόρειων αναλογιών σε σχέση με το έργο Έρμα, είναι τόσο ευρεία η χρήση τους μέσα στο έργο που είναι αδύνατον να θεωρηθεί 367 Περισσότερες λεπτομέρειες στο Immin Chung , Mathematical and Architectural Concepts Manifested in Iannis Xenakis’s Piano Music, Doctoral Dissertation, University of Texas, Austin 2003, σελ. 90-100 και Χ. Σπυρίδης& Α. Αναστασοπούλου, Ανάλυση του έργου ‘Herma’ του Ιάννη Ξενάκη, Περιοδικό ΜΟΥ.Σ.Α. τευχ.1, Αθήνα 1995. 204 σύμπτωση και εντάσσει το Έρμα, στα έργα του Ξενάκη που έχουν άμεση σχέση με την πυθαγόρεια παράδοση. 6.5. Συμπεράσματα Τα παραπάνω τέσσερα έργα δείχνουν όπως είπαμε το μέγεθος της επιρροής της πυθαγόρειας παράδοσης στο έργο του Ξενάκη, όχι μόνο σε τεχνικό-μαθηματικό επίπεδο όπως είναι το παράδειγμα του έργου Έρμα, αλλά και στη χρήσιμοποίηση των διδασκαλιών και των μύθων της πυθαγόρειας παράδοσης ως πηγή έμπνευσης στη σύγχρονη μουσική, όπως είναι οι περιπτώσεις των υπολοίπων έργων. Είναι σαφές σε όλα τα παραπάνω έργα πως ο Ξενάκης στρέφεται στην πυθαγόρεια παράδοση – και γενικότερα στην Αρχαία Ελλάδα – για να βρει όχι μόνο πηγή έμπνευσης, αλλά και να στηρίξει θεωρητικά τα έργα και τη φιλοσοφία του. 205 Συμπεράσματα διατριβής: Η πυθαγόρεια παράδοση άσκησε μεγάλη επιρροή σε ένα πλήθος φιλοσόφων και επιστημόνων μέχρι και τις μέρες μας. Ιδιαίτερα οι διδασκαλίες των μαθηματικών, της μουσικής και της αστρονομίας – οι περισσότερες από τις οποίες εμφανίζονται στα έργα του Πλάτωνα διατηρούν τη ζωτικότητά τους μέχρι την εποχή μας. Η πυθαγόρεια κοσμολογία γνώρισε τους μεγαλύτερους θριάμβους της στην πρώιμη σύγχρονη εποχή, με τον Κοπέρνικο και τον Κέπλερ. Όμως, όπως προαναφέραμε, είναι σαφές πως οι σύγχρονοι επιστήμονες μπορούν να χαρακτηριστούν ‘πυθαγόρειοι’ μόνο μέσα από μια διευρυμένη, μεταφορική έννοια και - αρκετές φορές - η πεποίθηση πως οι νόμοι της φύσης, η τέχνη κτλ έχουν μαθηματική μορφή είναι υπό αυτή την έννοια αρκετή για να χαρακτηριστεί ένας σύγχρονος επιστήμονας πυθαγόρειος.368 Η περίπτωση του Ιάννη Ξενάκη είναι διαφορετική από αρκετές απόψεις. Σε θεωρητικό επίπεδο, ο Ξενάκης στήριξε τη φιλοσοφική του σκέψη πάνω στις διδασκαλίες της αρχαίας Ελλάδας κάνοντας ένα πλήθος αναφορές στους Ελληνες φιλοσόφους και στις ιδέες που ανέπτυξαν. Η σύνδεση μαθηματικών-μουσικής είναι η προφανής σχέση του Ξενάκη με την πυθαγόρεια παράδοση, αλλά αυτή η σχέση δεν εξαντλείται στην απλή χρησιμοποίηση μαθηματικών διαδικασιών στη μουσική σύνθεση, αφού πολλές φορές η έμπνευση, οι ιδέες ή η φιλοσοφία πίσω από τα έργα του Ιάννη Ξενάκη, πηγάζουν από την πυθαγόρεια παράδοση. Είδαμε πως ένας από τους βασικούς λόγους χρησιμοποίησης των μαθηματικών – αυτός του ελέγχου των μουσικών παραμέτρων – προήλθε μέσα από τη μελέτη των πυθαγόρειων διδασκαλιών. Επίσης, η χρήση μαθηματικών διαδικασιών που έχουν άμεση σχέση με την πυθαγόρεια παράδοση, όπως είναι η χρυσή τομή και η ακολουθία Fibonacci καθώς και το κόσκινο του Ερατοσθένη, δείχνουν τη βαθιά σχέση του έργου του Ξενάκη με τους πυθαγορείους. Οι αναφορές σε πυθαγόρειους συγγραφείς και πυθαγόρειες διδασκαλίες, δείχνουν τη γνώση τους από το Ξενάκη καθώς και την επιρροή τους στο έργο του. Πυθαγόρειες 368 Charles H. Kahn, Η Πυθαγορική Φιλοσοφία πριν από τον Πλάτωνα, από Οι Προσωκρατικοί, συλλογή κριτικών δοκιμίων, τόμος Α’, επιμέλεια Αλέξανδρος-Φοίβος Δ. Μουρελάτος, εκπαιδευτήρια ‘Κωστέα-Γείτονα’ Αθήνα 1993, σελ. 217. 206 διδασκαλίες όπως ο μύθος της αρμονίας των σφαιρών, η διδασκαλία της Αντιγής και ο Ιπποκρατικός όρκος, είναι μέρος της έμπνευσης του Ξενάκη Ένα από τα πιο σημαντικά όμως στοιχεία είναι η επιρροή της πυθαγόρειας παράδοσης στη φιλοσοφία του Ξενάκη. Όπως είδαμε στο άρθρο ‘Προς μια φιλοσοφία της μουσικής’369 ο Ξενάκης συνοψίζει τις βασικές φιλοσοφικές αρχές στις οποίες βάσισε τη σκέψη του. Αναφέρεται όπως είδαμε στη θεωρία της μετενσάρκωσης, την πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών και την ιδέα του ελέγχου, ενώ κάνει μια εξαιρετικά σημαντική δήλωση: ‘η δύναμη της ‘θεωρίας’, της ερώτησης, η οποία είναι η ουσία κάθε ανθρώπινης πράξης, και της οποίας η καλύτερη έκφραση είναι ο πυθαγορισμός. Είμαστε όλοι Πυθαγόρειοι’.370 Στο ίδιο άρθρο αναφέρονται φιλοσοφικές ιδέες που δεν εμπίπτουν στο πυθαγόρειο πεδίο, όπως είναι οι ιδέες του Παρμενίδη περί του όντος, έτσι όπως εκφράζονται μέσα από τα αποσπάσματα του ποιήματός του Περί Φύσιος, καθώς και τις ιδέες του Επίκουρου περί τύχης, αναγνωρίζοντας τον ως τον πρώτο που μίλησε για το θέμα. Στη συνέχεια, ο Ξενάκης αναφέρει την πορεία της ανθρώπινης σκέψης περί τύχης, κάνοντας αναφορές στον Daniel Bernouli καθώς και στις θεωρίες του Pascal και του Ferma για να καταλήξει στο νόμο των μεγάλων αριθμών του Jacques Bernoulli.371 Στη συνέχεια του άρθρου ο Ξενάκης προχωρά στην ερώτηση του τι συνέπειες και με ποιούς τρόπους επηρεάζει η γνώση του πυθαγόρειου-παρμενίδειου πεδίου τη μουσική σύνθεση για να καταλήξει πως ‘Η γνώση του τι είναι μας οδηγεί στην ανακατασκευή όσο το δυνατόν εκ του μηδενός, των ιδεών που είναι βασικές για τη μουσική σύνθεση, αλλά και πάνω από όλα της απόρριψης κάθε ιδέας που δεν μπορεί να υπαχθεί σε έλεγχο. Η ανακατασκευή θα πραγματοποιηθεί με μοντέρνες αξιωματικές μεθόδους.’372 Είναι εξαιρετικά σημαντικό πως ο ίδιος ο Ξενάκης σε αναφορές του, αναγνωρίζει και προβάλει τη φιλοσοφική πλευρά του έργου του, αναφέρεται συχνά στην αρχαία Ελληνική 369 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 202 (κεφ. Towards a philosophy of music). Μια πρώτη μορφή του συγκεκριμένου κεφαλαίου δημοσιέυτηκε το 1966 με τον τίτλο Vers une philosophy de la musique στο περιοδικό Gravesaner Blätter). 370 Βλ. Αναφορές Ξενάκη 2 και 3 στο κεφάλαιο 2 ‘Απευθείας αναφορές του Ξενάκη στην πυθαγόρεια παράδοση’. 371 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 205-206. 372 Iannis Xenakis, Formalized Music, thought and mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992, σελ. 207. 207 φιλοσοφία – και ειδικά στην πυθαγόρεια διδασκαλία - ως πηγή έμπνευσης του αλλά και θεωρεί πως τα ίδια τα μουσικά του έργα θέτουν φιλοσοφικά ερωτήματα ή δίνουν απαντήσεις: ‘Κάθε έργο μου, περιέχει ένα φιλοσοφικό ερώτημα’373 Αναφορά Ξενάκη αρ. 51 Αυτό που προσπαθώ να κάνω είναι να διατυπώσω μουσικές απαντήσεις σε φιλοσοφικά ερωτήματα. Ερωτήματα σαν αυτά που τέθηκαν από τον Πλάτωνα σχετικά με τη φύση των ιδεών, τη φύση του ανθρώπου και του κόσμου και τις μεταξύ τους σχέσεις. Θέλω πρακτικές απαντήσεις, όμως. Ζητώ απαντήσεις με χειροπιαστές διαστάσεις, με ύλη από ήχους, με σώμα από δομές. Αυτό ψάχνω. Αυτό κάνω τόσα χρόνια.374 Αναφορά Ξενάκη αρ. 52 Μέσα από τα έργα του Ξενάκη, είδαμε επίσης τη χρήση ή τις επιρροές που είχαν αρκετές διδασκαλίες, μαθηματικές διαδικασίες ή ακόμα και μύθοι της πυθαγόρειας παράδοσης. Όπως έχουμε αναφέρει, τα πιο σημαντικά μαθηματικά που οι πυθαγόρειοι χρησιμοποίησαν στη μουσική ήταν η θεωρία των αριθμών και η θεωρία των αναλογιών. Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός πως αυτά ακριβώς τα εργαλεία χρησιμοποιήθηκαν από τον Ξενάκη στα έργα του 2.500 χρόνια αργότερα. Είδαμε ήδη την εκτεταμένη χρήση της αναλογίας της 373 Συνέντευξη στη Nouritza Matossian το 1972. Από Nouritza Matossian, Iannis Xenakis, Fayard/ Fonadation Sacem, 1981, σελ. 107. 374 Συνέντευξη στο Χρήστο Τσανάκα στις 6 Δεκεμβρίου 1997, στο Χρήστος Τσανάκας, Ιάννης Ξενάκης, η μουσική των άστρων, future, Αθηνα 2001, σελ. 76. 208 χρυσής τομής σε αρκετά έργα του Ξενάκη καθώς και τη σχέση της 10ης πυθαγόρειας αναλογίας με την ακολουθία Fibonacci, της οποίας εκτεταμένη χρήση συναντούμε σε αρκετά έργα. Συναντούμε επίσης την αριθμητική και γεωμετρική αναλογία των πυθαγορείων σε έργα του Ξενάκη.375 Επίσης, η μεγάλη πορεία του Ιάννη Ξενάκη προς αυτό που ονόμασε ‘παγκόσμια μουσική’ μέσα από τα μαθηματικά προσομοιάζει με τη διδασκαλία των πυθαγορείων περί της μουσικής των σφαιρών, μια διδασκαλία με συμβολικό χαρακτήρα για την αντίληψη των μαθηματικών σχέσεων που διέπουν τη μουσική. Η πορεία αυτή θα καταλήξει σε μια πυθαγόρεια εφαρμογή, το κόσκινο του Ερατοσθένη, από το οποίο ο Ξενάκης θα εμπνευσθεί για να δημιουργήσει τη δική του θεωρία κοσκίνων. Πυθαγόρειοι μύθοι είναι επίσης παρόντες στα έργα του Ξενάκη: έργα όπως το Αντίχθων, ο μύθος του Ηρώς και το Serment-Όρκος, αντλούν, όπως είδαμε, την έμπνευσή τους απευθείας από μύθους των πυθαγορείων. Είναι επίσης σημαντικό το γεγονός πως, τις περισσότερες φορές, η χρησιμοποίηση, η έμπνευση και η ταύτιση με την πυθαγόρεια παράδοση από τον Ξενάκη γίνεται συνειδητά, ακολουθώντας μια πυθαγόρεια προσέγγιση σε όλη τη διάρκεια της συνθετικής του καριέρας. Η αξιωματική θεμελίωση της μουσικής μέσω των μαθηματικών είναι επίσης στενά συνδεμένη με μια πυθαγόρεια θεώρηση του κόσμου. Η διαδρομή μέσα από την αναζήτηση των στοιχείων που είναι πρωταρχικά στους μουσικούς πολιτισμούς, τη θεωρία συνόλων, τη θεωρία ομάδων και τελικά την κατάληξη στη θεωρία κοσκίνων είναι όλα συνυφασμένα με το ζήτημα της θεμελίωσης της μουσικής το οποίο σαν σκέψη υπάρχει από πολύ νωρίς στο Ξενακικό έργο. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η υπόθεση ελάχιστων περιορισμών, έτσι όπως αναφέρεται στο άρθρο του ‘Στοιχεία πιθανοτικών μεθόδων μουσικής σύνθεσης’ του 1962.376 Στο άρθρο αυτό ο Ξενάκης θέτει ένα θεμελιώδες ερώτημα: ‘Ποιό είναι το ελάχιστο των αναγκαίων λογικών περιορισμών για την κατασκευή ενός μουσικού έργου;’ Οι ελάχιστοι περιορισμοί που δέχεται είναι: 375 376 Βλ. Κεφ. 6 ‘Έργα του Ιάννη Ξενάκη και πυθαγόρεια παράδοση, το έργο Έρμα (Herma)’. Éléments sur les procédes probabilistes (stochastiques) de composition musicale, στο Claude Sammuel, Panorama de l’art musicale contemporain. Εδώ από Ξενάκης Ιάννης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, Ψυχογιός Αθήνα 2001, σελ. 76. 209 1. Υπάρχουν σε ένα δεδομένο χώρο όργανα μουσικής και άνθρωποι. 2. Υπάρχουν τρόποι επικοινωνίας ανάμεσα στους ανθρώπους και τα όργανα που επιτρέπουν την εκπομπή ενόργανων ήχων. Η απάντηση στα συγκεκριμένα ερωτήματα έρχεται μέσα από τα μαθηματικά, τη λογική και τη στοχαστική. Υλοποιήθηκαν μέσα στο έργο Αχορρίψεις: Από αυτούς τους δύο περιορισμούς και με τη βοήθεια της στοχαστικής χτίστηκε ένα ολόκληρο έργο, χωρίς να γίνει δεκτός κανένας άλλος περιορισμός.... Εάν τα πρώτα βήματα μπορούσαν να συνοψιστούν από τη διαδικασία: όραμα-νόμοι-έργο, το ζήτημα των ελάχιστων περιορισμών δημιούργησε έναν αντίστροφο δρόμο: κανόνες-όραμα. Διότι η στοχαστική μας οδηγεί σε ένα θεμελιώδες φιλοσοφικό όραμα. Επιτρέπει κατ’ αρχάς την πλαστική κατασκευή ενός οράματος, έπειτα οδηγεί στη γνώση όπως μαρτυρεί το τελευταίο παράδειγμα.377 Αναφορά Ξενάκη αρ. 53 Τα παραπάνω απαντούν στο ερώτημα που θέσαμε στην εισαγωγή της διατριβής για το ποιά στοιχεία της πυθαγόρειας παράδοσης και με ποιούς τρόπους επιδρούν στο έργο του Ξενάκη: Ο συνθέτης του οποίου μια από τις βασικές αρχές ήταν η αναζήτηση της πρωτοτυπίας, πολλές φορές καταφεύγει στο παρελθόν της αρχαίας Ελλάδας για να κατασκευάσει το φιλοσοφικό υπόβαθρο και το πνευματικό σύμπαν που θα στηρίξει το έργο του. Τα ίδια στοιχεία απαντούν και στο δεύτερο ερώτημα που θέσαμε, αν δηλαδή ο Ξενάκης μπορεί να θεωρηθεί συνεχιστής της πυθαγόρειας παράδοσης: η επιρροή στη φιλοσοφία του, ο τρόπος σκέψης και οι πρακτικές εφαρμογές των πυθαγόρειων διδασκαλιών στο έργο του όπως τις αναλύσαμε, δείχνουν πως ο Ιάννης Ξενάκης είναι ένας από τους μεγαλύτερους συνεχιστές της πυθαγόρειας παράδοσης στον 20ο αιώνα. 377 Éléments sur les procédes probabilistes (stochastiques) de composition musicale, στο Claude Sammuel, Panorama de l’art musicale contemporain. Εδώ από Ξενάκης Ιάννης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, Ψυχογιός Αθήνα 2001, σελ. 76-77. 210 211 Παράρτημα: Βιογραφίες Ο Πυθαγόρας και η πρώτη πυθαγόρεια σχολή Πηγές Όλοι οι μελετητές του πυθαγορισμού θέτουν ζητήματα που αφορούν την αξιοπιστία των πηγών που αναφέρονται στον Πυθαγόρα και την πρώτη πυθαγόρεια κοινότητα. Οι περισσότερες πληροφορίες γύρω από το θέμα συγκεντρώνονται στα έργα του Διογένη Λαέρτιου, του Πορφύριου και του Ιάμβλιχου. Οι τρεις αυτοί συγγραφείς συνέγραψαν τους τρεις βίους του Πυθαγόρα αιώνες μετά το θάνατο του ίδιου του Πυθαγόρα, βασιζόμενοι αδιακρίτως σε ένα πλήθος συγγραφέων της πρώτης Χριστιανικής εποχής όπως τον Απολλώνιο, το Μοδεράτο και το Νικόμαχο, οι οποίοι με τη σειρά τους είχαν βασιστεί σε παλαιότερα συγγράμματα του Αριστόξενου, του Δικαίαρχου, του Ηρακλείδη αλλά και στον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη. Το πρόβλημα με τις τρεις αυτές πηγές είναι ακριβώς η χρονική απόσταση που τις χωρίζει από τα γεγονότα που καταγράφουν αλλά και από το γεγονός πως η Πλατωνική ερμηνεία των κειμένων, είχε ήδη επιφέρει αρκετές αλλαγές στην πυθαγόρεια παράδοση. Ο Ιάμβλιχος, το έργο του οποίου είναι και το πιο λεπτομερές, στερείται κριτικής παρατήρησης και κινείται προς την ταύτιση του Πυθαγορισμού και του Πλατωνισμού, ενώ τα έργα του Πορφύριου και του Διογένη Λαέρτιου θεωρούνται περισσότερο αξιόπιστα.378 Το πρόβλημα της αξιοπιστίας υπάρχει και στις παλαιότερες από τις πηγές, όπως αυτές του Αριστόξενου και του Δικαίαρχου. Αυτό συμβαίνει για ένα κυρίως λόγο: Ήδη από την εποχή του Πυθαγόρα ο σεβασμός των μαθητών του και όχι μόνο, τον έχει καταστήσει μια μυθική προσωπικότητα καθώς θεωρείται από τους σύγχρονούς του ενσάρκωση του Απόλλωνα και του αποδίδονται θαύματα. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια την ανάμιξη των ιστορικών στοιχείων με αμέτρητους θρύλους γύρω από το πρόσωπό του. Επίσης, κάθε ανακάλυψη της σχολής 378 Κωστής Μπάλλας, Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι, Προσκήνιο, Αθήνα 2001, σελ. 29-31. Walter Burkert, Lore and science in Ancient Pythagoreanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard university Press, Cambridge Massachusetts 1972, σελ. 97 – 98. 212 αποδίδεται στον ίδιο, με τη φράση ‘αυτός έφα’,379 με αποτέλεσμα να γίνεται εξαιρετικά δύσκολη η διάκριση των γεγονότων που αφορούν τον ίδιο τον Πυθαγόρα από τα γεγονότα που αφορούν τους μαθητές του. Είναι χαρακτηριστικό πως κατά τον W. Burkert, ‘δεν υπάρχει ούτε μια λεπτομέρεια της ζωής του Πυθαγόρα που να μην είναι αμφιλεγόμενη’.380 Χρονολόγηση Το ζήτημα της χρονολόγησης δεν θα μπορούσε να αποτελεί εξαίρεση του παραπάνω κανόνα. Ο Ευσέβιος τοποθετεί τον Πυθαγόρα γύρω στο 618 π.Χ. ενώ και ο Πλίνιος ο Πρεσβύτερος αναφέρει μια αστρολογική ανακάλυψη του Πυθαγόρα γύρω στο 612-609 π.Χ. Οι περισσότεροι μελετητές βασίζονται πάνω στη μαρτυρία του Αριστόξενου, ο οποίος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας έφυγε από τη Σάμο για την Ιταλία σε ηλικία 40 χρονών το 532 π.Χ. κάτι που, αν ισχύει, τοποθετεί τη γέννηση του Πυθαγόρα γύρω στο 570 π.Χ. Η άποψη αυτή ενισχύεται από την μαρτυρία του Ερατοσθένη, ο οποίος ταυτίζει τον Πυθαγόρα με τον Πυθαγόρα τον Σάμιο, ο οποίος ήταν ολυμπιονίκης το 588 π.Χ.381 Κάποιες τοπικές παραδόσεις της Σάμου, όπως το «Πυθαγόρειο ημικύκλιο» ή το «Πυθαγόρειο άντρο», οι οποίες θα μπορούσαν να ρίξουν περισσότερο φως στο θέμα είναι αδύνατο να χρονολογηθούν.382 379 ‘Αυτός το είπε’ . Ακόμα ένα στοιχείο του σεβασμού προς το πρόσωπο του Πυθαγόρα μια και φαίνεται πως ακόμα και η προφορά του ονόματός του ήταν απαγορευμένη. 380 W. Burket, ο.π., σελ. 109. 381 W. Burket, ο.π., σελ. 111. 382 W. Burket, ο.π., σελ. 112. Κωστής Μπάλλας, ο.π., σελ. 37. 213 Γέννηση – εκπαίδευση Από τις υπάρχουσες πηγές θα προσπαθήσουμε να απομονώσουμε τα βασικά σημεία της ζωής του. Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε πιθανότατα γύρω στο 570 π.Χ. στη Σάμο. Πατέρας του, όπως αναφέρει ο Ηρόδοτος, ήταν ο Μνήσαρχος που ήταν λαξευτής πολύτιμων λίθων, ενώ μητέρα του ήταν η Παρθενίς. Οι γονείς του Πυθαγόρα φέρονται να κατάγονται και οι δύο από τον Αγκαίο, ιδρυτή της πόλης της Σάμου.383 Η γέννηση του Πυθαγόρα είχε προβλεφθεί από την Πυθία στο μαντείο των Δελφών. Για αυτό το λόγο η μητέρα του άλλαξε το όνομά της σε Πυθαΐδα και το παιδί ονομάστηκε Πυθαγόρας.384 Τη Σάμο κατά την εποχή του Πυθαγόρα, εξουσίαζε ο τύραννος Πολυκράτης, ο οποίος έχοντας επιτύχει ειρήνη με τους Πέρσες, που τότε κυριαρχούσαν, κατάφερε να επεκτείνει την κυριαρχία της Σάμου. Φυσικό επακόλουθο ήταν να ακολουθήσει και πολιτισμική ανάπτυξη, μια και το ενδιαφέρον του Πολυκράτη για τις τέχνες προσέλκυσε στη Σάμο μερικούς από τους πιο σημαντικούς ποιητές της εποχής. Σε αυτό το κλίμα ανατράφηκε ο Πυθαγόρας, που από νωρίς ενδιαφέρθηκε για τη μάθηση. Φαίνεται πως για ένα διάστημα ήταν μαθητής του Φερεκύδη, μάλιστα κατά τον Δικαίαρχο - όπως αναφέρει ο Πορφύριος - ήταν ο Πυθαγόρας που παρευρέθηκε στις τελευταίες στιγμές του και τον έθαψε. Επίσης, υπάρχουν αναφορές πως μαθήτευσε κοντά στον Ερμοδάμα και τον Θαλή τον Μιλήσιο.385 Αργότερα πρέπει να πέρασε ένα διάστημα στην Αίγυπτο, όπου μαθήτευσε κοντά στους ιερείς ενώ είναι πιθανόν, μετά την κατάληψη της Αιγύπτου από τον Πέρση βασιλιά Καμβύση, να μαθήτευσε επίσης κοντά σε Βαβυλώνιους μάγους. Επίσης συνδέεται με τους Χαλδαίους και τους Φοίνικες, λέγεται μάλιστα πως ήρθε σε επαφή με τον Ζωροάστρη, αλλά οι αναφορές σχετικά με τα ταξίδια του πρέπει να έχουν μεγάλη δόση φαντασίας.386 Μετά από ακαθόριστο διάστημα επέστρεψε στη Σάμο όπου εξακολουθούσε να κυριαρχεί ο τύραννος Πολυκράτης και άρχισε να διδάσκει σε μια σπηλιά χωρίς όμως μεγάλη επιτυχία . 383 Jean-Francois Mattei, Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόριοι, Ινστιτούτο του βιβλίου Μ. Καρδαμίτσα, Αθήνα 1995, σελ. 14. 384 Jean-Francois Mattei, ο.π. , σελ 15. 385 Jean-Francois Mattei, ο.π. , σελ 16. 386 W. Burket, ο.π., σελ. 112. 214 Σύντομα αποφασίζει να φύγει από τη Σάμο για να αποφύγει την τυραννία του Πολυκράτη και μετά από κάποιες περιπλανήσεις387 μετακόμισε στην Κάτω Ιταλία . Η περίοδος στον Κρότωνα - γέννηση, εξέλιξη και διάλυση της πυθαγόρειας σχολής - θάνατος του Πυθαγόρα Ο Πυθαγόρας, ακολουθούμενος από κάποιους μαθητές του, έφτασε στην πόλη Κρότωνας της Κάτω Ιταλίας σε ηλικία περίπου 40 ετών, όπως αναφέρει ο Αριστόξενος. Τα στοιχεία γύρω από τις πρώτες δραστηριότητές του είναι ασαφή και μάλλον στα πλαίσια του μύθου. Κατά τον Ιάμβλιχο, στην πορεία του προς τον Κρότωνα ο Πυθαγόρας έκανε ένα θαύμα,388 με αποτέλεσμα η φήμη του να προηγηθεί της άφιξής του στην πόλη. Εκεί ο Πυθαγόρας άρχισε να διδάσκει στο γυμνάσιο και να προσελκύει αρκετούς οπαδούς. Κυριότεροι από αυτούς είναι ο Μίλωνας, ο οποίος παρουσιάζεται ορισμένες φορές ως γαμπρός του Πυθαγόρα και άλλες σαν πεθερός του, το σπίτι του οποίου θα γίνει το κέντρο της πυθαγόρειας κοινότητας στον Κρότωνα, καθώς και η Θεανώ, η οποία ορισμένες φορές παρουσιάζεται σαν γυναίκα του και άλλες σαν κόρη του. Στον Κρότωνα ιδρύει το Ομακοείον, μια θρησκευτική αλλά και πολιτική αδελφότητα, στην οποία σύμφωνα με τον Πλάτωνα ισχύει η αρχή της κοινοκτημοσύνης. Εκεί διδάσκει τους μαθητές του, οι οποίοι με τη σειρά τους θα διαδώσουν τη διδασκαλία του σε όλη την Κάτω Ιταλία. Το Ομακοείον ήταν ένα είδος αδελφότητας ή κοινοβίου που είχε ταυτόχρονα θρησκευτική και πολιτική δραστηριότητα. Τα μέλη γίνονταν δεκτά ύστερα από κάποιες δοκιμασίες και η μύησή τους στις πυθαγόρειες διδασκαλίες γινόταν προοδευτικά. Σημαντικό είναι επίσης να αναφέρουμε πως στην πυθαγόρεια κοινότητα γίνονταν δεκτοί 387 Φαίνεται πως πριν εγκατασταθεί στην Κάτω Ιταλία πέρασε απο την Κρήτη όπου, κατα τον Διογένη, επισκέφτηκε το Ιδαίο Άντρο. Επίσης, κατα τον Αριστόξενο και τον Πορφύριο, επισκέφτηκε τους Δελφούς και, κατα τον Ιάμβλιχο, την Θράκη όπου ήρθε σε επαφή με την Ορφική λατρεία. 388 Η ιστορία για το συγκεκριμένο περιστατικό λέει πως ο Πυθαγόρας συνάντησε μερικούς ψαράδες που τραβούσαν τα δίχτυά τους από τη θάλασσα. Αφού μάντεψε ακριβώς τον αριθμό των ψαριών που είχαν πιάσει, πλήρωσε για τα ψάρια και τα ελευθέρωσε. 215 άνδρες και γυναίκες χωρίς καμιά διάκριση, αναφέρεται μάλιστα πως οι γυναίκες έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην αρχική πυθαγόρεια κοινότητα.389 Τα περιστατικά που αφηγούνται οι βιογράφοι του είναι πάρα πολλά . Αξιοσημείωτα είναι τα θαύματα που φαίνεται να έκανε,390 καθώς και η συνάντηση του με τον Άβαρη, ένα ιερέα του Υπερβορείου Απόλλωνα, η οποία αναφέρεται από τον Ιάμβλιχο σε τέσσερα διαφορετικά σημεία.391 Ένα σκοτεινό σημείο είναι η πολιτική δραστηριότητα που ανέπτυξαν οι πυθαγόρειοι αυτή την περίοδο. Η επιρροή των πυθαγορείων φαίνεται να ήταν αρκετά μεγάλη και πιθανόν να είχαν και την εξουσία στα χέρια τους. Ο Κρότωνας και το Μεταπόντιο, τα δύο βασικά κέντρα των πυθαγορείων, είναι οι μόνες πόλεις της κάτω Ιταλίας όπου μαρτυρείται λατρεία του θεού Απόλλωνα.392 Επίσης, σε νομίσματα που έχουν βρεθεί παρουσιάζεται ο τρίποδας του Απόλλωνα, ενώ σε ορισμένα παρουσιάζεται στην μια όψη ο θυρεός της πόλης και στην άλλη όψη το ίδιο σύμβολο εγχάρακτο, κάτι που παραπέμπει στην πυθαγόρεια άποψη περί ενότητας των αντιθέτων.393 Ο Αριστόξενος και ο Δικαίαρχος μαρτυρούν επίσης μια τέτοια πολιτική δραστηριότητα, η οποία όμως δεν γίνεται αποδεκτή από όλους τους μελετητές.394 Η συνεχής αύξηση της επιρροής των πυθαγορείων είναι και η πιο πιθανή αιτία της διάλυσης της σχολής. Προηγήθηκε η καταστροφή της Σύβαρης, στην οποία η πυθαγόρειοι είχαν παίξει ενεργό ρόλο. Ακολούθησε μια επανάσταση εναντίον τους, με αποτέλεσμα να καεί το σπίτι στο οποίο ήταν μαζεμένοι οι πυθαγόρειοι και να σκοτωθούν όλοι εκτός από το Λύση και το Φιλόλαο. Για τον ίδιο τον Πυθαγόρα δεν μπορούμε να 389 Κωστής Μπάλλας, ο.π., σελ. 56. 390 Αναφέροντας ενδεικτικά μερικά από αυτά, ο Πυθαγόρας μπορούσε να προβλέψει το μέλλον, είχε το χάρισμα να θυμάται όλες τις προηγούμενες ζωές του – το δόγμα της μετεμψύχωσης είναι από τα πιο βασικά στην πυθαγόρεια παράδοση – και μπορούσε να εξημερώσει αετούς και αρκούδες. Μπορούσε να σταματήσει καταιγίδες και να προβλέψει σεισμούς. Επίσης μπορούσε να βρίσκεται ταυτόχρονα σε δύο μέρη ενώ μαρτυρείται περιστατικό όπου ένας ποταμός τον χαιρετάει με ανθρώπινη φωνή. 391 Ο Άβαρης, σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο, έφυγε από την πατρίδα του με τη βοήθεια του βέλους του Απόλλωνα . Φτάνοντας στον Κρότωνα, αναγνώρισε στο πρόσωπο του Πυθαγόρα τον θεό Απόλλωνα και του παρέδωσε το βέλος. Σε αντάλλαγμα αυτού ο Πυθαγόρας φανέρωσε τον μηρό του, ο οποίος, σύμφωνα πάντα με τον Ιάμβλιχο, ήταν χρυσός. 392 W. Burket, ο.π., σελ. 113-114. 393 Jean-Francois Mattei, ο.π. , σελ 22. 394 Κωστής Μπάλλας, ο.π., σελ. 44. 216 είμαστε σίγουροι, αλλά το πιο πιθανό είναι πως πέθανε κατά τη διάρκεια της εξέγερσης αν και υπάρχει η μαρτυρία πως επέζησε και κατέφυγε στο Μετάποντιο, όπου και πέθανε αργότερα. 217 Ιάννης Ξενάκης – Σύντομο Βιογραφικό σημείωμα395 Ίσως ο κορυφαίος συνθέτης παγκοσμίως στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, ο Ιάννης Ξενάκης γεννήθηκε στις 29 Μαΐου του 1922, στη Βράιλα της Ρουμανίας. Πρωτότοκος γιος του Κλέαρχου Ξενάκη από τη Νάξο, λάτρη της όπερας και της Φωτεινής Παύλου, εξαιρετικής πιανίστριας από τη Λήμνο. Πήγε σε Ρουμάνικο σχολείο και παράλληλα μελετούσε Ελληνικά κάνοντας ιδιαίτερα μαθήματα. Το 1932 ο πατέρας του τον έστειλε στην Ελλάδα όπου συνέχισε τις σπουδές του στις Σπέτσες στην Αναργύριο και Κοργιαλένιο Σχολή μέχρι το 1938. Εκεί έκανε τα πρώτα μαθήματα αρμονίας και ήρθε σε επαφή με τη μουσική των Μπετόβεν, Μπραμς κ.α. Μετά από δύο χρόνια προετοιμασίας, κατά την διάρκεια των οποίων μελέτησε επίσης αρχαία ελληνική λογοτεχνία και πιάνο, ξεκίνησε σπουδές στο Πολυτεχνείο (1940-46). Παράλληλα με τις πανεπιστημιακές σπουδές μελέτησε αρμονία και αντίστιξη με ένα μαθητή του Αλεξάντερ Σκριάμπιν, τον Αριστοτέλη Κουντούροφ. Εμπνευσμένος από τον Πλάτωνα και το Μαρξ πήρε μέρος στην Αντίσταση κατά του Ναζισμού. Έγινε πολιτικός αρχηγός της ομάδας ‘Λόρδος Βύρων’ και στο τέλος του 1944, στη διάρκεια του εμφυλίου, τραυματίστηκε από μια βόμβα που του κατέστρεψε το αριστερό του μάτι και παραμόρφωσε το πρόσωπό του. Το 1947 διέφυγε από την Ελλάδα με ψεύτικα χαρτιά και καταδικάστηκε ερήμην σε θάνατο. Πήγε πρώτα στην Ιταλία και αργότερα στο Παρίσι. Εκεί δούλεψε σαν αρχιτέκτονας με το Le Corbusier από το 1948 ως το 1959. Συμμετείχε στον σχεδιασμό πολλών έργων: στον οικισμό της Nandes-Reser (1949), στο διαγωνισμό για την κατασκευή 800 κατοικιών στο Στρασβούργο, στο κτίριο του Κοινοβουλίου Chadigar στην Ινδία (1951), στο μοναστήρι της Touret (1953), στο στάδιο της Βαγδάτης και στο περίπτερο της Phillips στη Διεθνή Έκθεση των Βρυξελλών το 1958, για το οποίο δημιούργησε μια ηλεκτροακουστική σύνθεση. Το 1950 ο Ξενάκης γνωρίζει τη μελλοντική του σύζυγο, την παρασημοφορημένη ηρωίδα της Γαλλικής Αντίστασης, Φρανσουά, που αργότερα έγινε διάσημη συγγραφέας, με την οποία παντρεύτηκε το 1953. Εκείνη την εποχή στράφηκε για ακόμη μια φορά στη μουσική. Το 1951 γνώρισε τον Ολιβιέ Μεσσιάν και παρακολούθησε μαθήματα σύνθεσης. Ο Μεσσιάν τον 395 Το σύντομο βιογραφικό σημείωμα για τον Ιάννη Ξενάκη, είναι βασισμένο στα βιογραφικά στοιχεία που παρατίθονται στα βιβλία Nouritza Matossian, Xenakis , Moufflon Publications, Λευκωσία 2005 και Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996. 218 παρότρυνε να καλύψει τα μουσικά του κενά, όχι μέσω των τυπικών μουσικών σπουδών, αλλά εφαρμόζοντας τη μαθηματική και αρχιτεκτονική του εμπειρία στη μουσική. Αυτή ήταν μια κρίσιμη ενθάρρυνση που, σε μια περίοδο σύγχυσης, έδωσε στο Ξενάκη την αυτοπεποίθηση να ακολουθήσει την προσωπική του οδό. Στα πρώιμα έργα του εκείνης της εποχής προσπάθησε να συνδυάσει την ελληνική παραδοσιακή μουσική με τη δυτική μουσική: Εαρινή συμφωνία (194950), Ζυγιά (1951), Αναστενάρια (1952-53) κτλ. 396 Στην προσπάθειά του να ξεφύγει από αυτό που έβλεπε ως αδιέξοδο της σειραϊκής μουσικής στη δεκαετία του 1950, ο Ξενάκης στράφηκε στα μαθηματικά και στην αρχιτεκτονική. Το πρώτο έργο - με το οποίο αποκηρύσσει τα προηγούμενα - που σηματοδοτεί την πρωτοποριακή αυτή κατεύθυνση, που θα ονομάσει αργότερα «στοχαστική μουσική», είναι οι Μεταστάσεις (1954) για 61 όργανα. Το έργο αυτό, με το οποίο έγινε ευρύτερα γνωστός, χρησιμοποιεί μαζικά glissandi, δημιουργώντας την αίσθηση κινούμενων ηχητικών μαζών και είναι βασισμένο σε μια γραφική παράσταση παραβολοειδών υπερβολών. Ως αποτέλεσμα, η μελωδία εξαφανίζεται μέσα σε ένα σύνολο από κινούμενες ηχητικές επιφάνειες και οι επιμέρους φωνές των οργάνων δεν έχουν καμία σχέση με τις αντιστικτικές διαδικασίες που χρησιμοποιεί η τονική, η ατονική ή και η δωδεκαφθογγική μουσική. Τα Πιθοπρακτά που ακολούθησαν ήταν η πρώτη απόπειρα του Ξενάκη να τυποποιήσει τη συνθετική τεχνική που είχε αρχίσει να εφαρμόζει με μαθηματικές θεωρίες, δημιουργώντας τη «στοχαστική μουσική». Στο έργο αυτό εφάρμοσε νόμους της θερμοδυναμικής που περιγράφουν τη συμπεριφορά ενός αερίου κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες (κατανομή MaxwellBoltzmann), αντιστοιχώντας παραμέτρους της μουσικής με τη συμπεριφορά των μορίων ενός αερίου. Ο όρος «στοχαστικός» γοήτευσε τον Ξενάκη λόγω της διττής σημασίας του, φιλοσοφικής και μαθηματικής. Από φιλοσοφική άποψη συνδέεται με το φιλοσοφικό «στοχασμό», ενώ στα μαθηματικά συνδέεται με την θεωρία των πιθανοτήτων και τον χρησιμοποίησε για πρώτη φορά ο Ελβετός Ζακ Μπερνούλι, αναφερόμενος στη συμπεριφορά φαινομένων «μεγάλων αριθμών». Η θεωρία των «μεγάλων αριθμών», όπως αναπτύχθηκε από μεταγενέστερους επιστήμονες, εξηγεί ότι όσο πιο πολλά είναι κάποια φαινόμενα, τόσο περισσότερο τείνουν σε κάποιο συγκεκριμένο στόχο. Με αυτό το σκεπτικό, ο Ξενάκης 396 Βλ. εργογραφία του Ιάννη Ξενάκη παρακάτω. 219 κατευθύνθηκε σε μία «τυποποίηση» της μουσικής, με τη μαθηματική έννοια του όρου, εισάγοντας τον όρο «στοχαστική μουσική». Με τον όρο αυτό εννοούσε σε γενικές γραμμές τη μεταφορά στη μουσική των μαθηματικών θεωριών που σχετίζονται με τους νόμους των πιθανοτήτων, αλλά και άλλων μαθηματικών «νόμων» που περιγράφουν μαζικά φαινόμενα. Έτσι το ηχητικό υλικό διαμορφώνεται με στατικούς μέσους όρους «προς ένα στόχο» και εισάγεται το τυχαίο στη μουσική, όχι όμως με τον τρόπο που το έκαναν άλλοι συνθέτες εκείνη την εποχή αλλά με βάση τη θεωρία των πιθανοτήτων και τους νόμους της στατιστικής. Τις θεωρίες του αυτές αρχίζει να τις σχηματοποιεί δημοσιεύοντας σε συνέχειες το κείμενό του Elements de musique stochastique, τo οποίo συμπεριέλαβε τελικά μαζί με τη θεωρία του για την «μαρκοβιανή στοχαστική μουσική» στο βιβλίο του Musiques Formelles, το 1962, το οποίο κυκλοφόρησε και σε αναθεωρημένη αγγλική έκδοση το 1971. Με αυτή τη λογική, ο Ξενάκης κατασκευάζει συνολικά ηχητικά συμβάντα , τα οποία αποτελούνται από ένα μεγάλο πλήθος μεμονωμένων ήχων, με βάση τους στοχαστικούς νόμους. Συνθέτει έναν κύκλο έργων το 1962, τα οποία αριθμεί με τα αρχικά ST397 . Τα προηγούμενα έργα του τα κατέταξε στην κατηγορία της «ελεύθερης στοχαστικής μουσικής». Ως μεμονωμένα γεγονότα ενός μαζικού φαινομένου, που ορίζεται από στοχαστικούς νόμους, μπορούν να θεωρηθούν μοτίβα, ομάδες οργάνων, ηχοχρώματα, μορφολογικές δομές κ.ά. Για τους σχετικούς υπολογισμούς ο Ξενάκης άρχισε να χρησιμοποιεί ηλεκτρονικό υπολογιστή, κάτι που εντυπωσίασε ως πρωτοποριακό γεγονός για την εποχή. Η «μαρκοβιανή στοχαστική μουσική» σχετίζεται με τη θεωρία περί «στοχαστικών διαδικασιών» του μαθηματικού Αντρέι Μαρκόφ, γνωστή με το όνομα «μαρκοβιανές αλυσίδες». Ο Ξενάκης εφαρμόζει ακόμα ένα πλήθος από μαθηματικές θεωρίες στο έργο του398, όπως: • Η θεωρία συνόλων, την οποία εφάρμοσε στα έργα Έρμα και Εόντα • Η θεωρία των παιγνίων. Στα έργα που εφαρμόζει τη θεωρία αυτή (Duel και Stratégie), υπάρχουν δύο μαέστροι που αντιδρούν ο ένας στις επιλογές του άλλου. Είναι τα μόνα έργα του Ξενάκη στα οποία υπάρχει το στοιχείο του αυτοσχεδιασμού. 397 ΣΤ, αναφορά στη Στοχαστική Μουσική. 398 Πιο λεπτομερής περιγραφή των Μαθηματικών διαδικασιών που ο Ξενάκης χρησιμοποιεί στη διαδικασία της μουσικής σύνθεσης υπάρχει στο κεφάλαιο 3 ‘Μουσική και Μαθηματικά’. 220 • Η Άλγεβρα Μπουλ, σε συνδυασμό με τη θεωρία των συνόλων. Η θεωρία αυτή χρησιμοποιείται στα έργα Έρμα και Εόντα και ονομάζεται από το Ξενάκη «Συμβολική μουσική». • Φόρμες οργανικής εξέλιξης - δενδροειδείς διακλαδώσεις, όπως αυτές εφαρμόστηκαν στα έργα Evryali και Erikthon. Επίσης, ο Ξενάκης χρησιμοποίησε ένα πλήθος άλλων μαθηματικών θεωριών ανάμεσα στις οποίες περιλαμβάνονται: Ο τύπος του Πουασόν (για τις πυκνότητες των ηχητικών στοιχείων), η κινητική θεωρία των αερίων και ο νόμος των Μάξγουελ-Μπόλτσμαν-Γκάους (για τις κλίσεις των glissandi), η έννοια της χρυσής τοµής και η ακολουθία Φιμπονάτσι (για τις μορφολογικές σχέσεις «εντός χρόνου»), οι νόμοι των συνεχών πιθανοτήτων (για διάρκειες, εντάσεις και άλλες μουσικές παραμέτρους «εκτός χρόνου»), αλγοριθμικές διαδικασίες, κίνηση Mπράουν κ.ά. Στο πλαίσιο αυτό ασχολήθηκε και με την ηλεκτρονική μουσική (συγκεκριμένη μουσική). Μια άλλη κατηγόρια έργων του Ξενάκη ήταν τα λεγόμενα Πολύτοπα. Τα Πολύτοπα ήταν πολύτεχνα έργα του Ξενάκη, στα οποία η μουσική συνδυαζόταν με οπτικά ερεθίσματα σε συγκεκριμένους, ειδικά διαμορφωμένους χώρους. Ο όρος έχει και μαθηματική σημασία, λειτουργώντας ως αναφορά στα πολύτοπα της ευκλείδειας γεωμετρίας. Η διαμόρφωση της τοποθεσίας, η οποία ήταν συχνά κάποιος σημαντικός ιστορικός-αρχαιολογικός χώρος, είχε ως στόχο την αντίληψη μιας ξεχωριστής οπτικοακουστικής εμπειρίας από τους παρευρισκομένους, παράγοντας προσωρινές αρχιτεκτονικές δομές. Για το σκοπό αυτό επιστρατεύονταν τόσο ο ήχος, με ηχεία κατάλληλα τοποθετημένα σε διάφορα σημεία, όσο και το φως, με προβολείς που κατεύθυναν το φως πάνω στο συγκεντρωμένο πλήθος, ανάλογα με την ανάπτυξη της μουσικής ή και βάση μαθηματικών νόμων. Στη διάχυση του φωτός στο χώρο αντιστοιχούσε η ανάπτυξη των ηχητικών «συμπάντων» ή «γαλαξιών» του Ξενάκη στο χρόνο. Τα Πολύτοπα έπαιρναν το όνομά τους από την τοποθεσία στην οποία λάμβαναν χώρα, με πιο γνωστά τα Πολύτοπα του Μόντρεαλ (1967), της Περσέπολης (1971), του Κλουνί (1972) και των Μυκηνών (Μυκήνες Α, 1978). Στο Πολύτοπο των Μυκηνών, στις ηχητικές πηγές συμπεριλαμβάνονταν και φυσικοί ήχοι, αφού είχαν επιστρατευτεί για το σκοπό αυτό κοπάδια προβάτων της περιοχής. Ο Ξενάκης, πέραν των μουσικών του έργων, έγινε διάσημος και με τα άρθρα του στο περιοδικό Gravesaner Blätter που τοποθετούνταν εναντίον του ολικού σειραϊσμού και 221 απέρριπταν την τάση να αντιμετωπίζεται ο ήχος σαν μεμονωμένοι φθόγγοι. Το συγκεκριμένο περιοδικό εκδιδόταν από το μαέστρο Herman Scherchen, με τον οποίο ο Ξενάκης γνωρίστηκε το 1954 και ήταν ο πρώτος από μια σειρά μαέστρων που ειδικεύτηκαν στη μουσική του. Το 1961 ίδρυσε στο Παρίσι την Ομάδα Μαθηματικών και Αυτοματισμού στη Μουσική, το EMAMu. Από τότε, ταξίδεψε σε όλο τον κόσμο δίνοντας μαθήματα και παρουσιάζοντας νέα έργα. Το 1965 έγινε Γάλλος υπήκοος. Από το 1967 ως το 1972 δίδαξε στο πανεπιστήμιο της Ιντιάνα στο Μπλούμινγκτον της Αμερικής. Το 1974 με τη μεταπολίτευση στην Ελλάδα του δόθηκε αμνηστία και έτσι μπόρεσε να επισκεφθεί την πατρίδα του μετά από 27 χρόνια. Έχει τιμηθεί με πάμπολλες διακρίσεις: Το 1983 εκλέχτηκε μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας, το 1986 τιμήθηκε από τη Γαλλική κυβέρνηση με το παράσημο του Χρυσού Σταυρού της Λεγεώνας της Τιμής και του απονεμήθηκε το βραβείο Τεχνών και Ανθρωπιστικών Επιστημών Κιότο. Ο Ξενάκης πέθανε τα ξημερώματα της 4ης Φεβρουαρίου 2001, σε ηλικία 78 ετών, μετά από μακρόχρονες περιπέτειες με την υγεία του. Η σορός του αποτεφρώθηκε στην υπόγεια κρύπτη του κοιμητηρίου Περ Λασέζ στο Παρίσι χωρίς θρησκευτική τελετή, σύμφωνα με την τελευταία του επιθυμία. 222 Εργογραφία Ιάννη Ξενάκη Α/Α Χρον. Έργο (Ελληνικά) Έργο (Πρωτότυπος τίτλος) 1 1952 Ζυγιά Zyia 2 1952-53 Η θυσία Le Sacrifice 3 1953-54 Μεταστάσεις Metastasis 4 1955-56 Πιθοπρακτά Pithoprakta 5 1956-57 Αχορρίψεις Achorripsis 6 1957 Διαμορφώσεις Diamorphoses 7 1958 Συγκεκριμένο PH Concret PH 8 1959 Συρμός Syrmos 9 1958 Αναλογικό Α Analogique A 10 1959 Αναλογικό Β Analogique B 11 1959 Μονομαχία Duel 12 1960 Ανατολή-Δύση Orient-Occident 13 1960 Vasarely Vasarely 14 1961 Κόκκινες μορφές Formes Rouges 15 1956-62 ST/4 (ST/4-1, 080262) ST/4 (ST/4-1, 080262) 16 1960-61 Έρμα Έρμα 17 1962 Μόρσιμα-Αμόρσιμα Morsima-Amorsima 18 1962 Αμόρσιμα-Μόρσιμα Amorsima-Morsima 19 1962 ST/10 (ST/10-1, 080262) ST/10 (ST/10-1, 080262) 20 1956-62 Ατρείδες Atrées 21 1962 ST/48 (ST/48-1, 240162) ST/48 (ST/48-1, 240162) 22 1962 Μποχόρ Bohor 23 1962 Στρατηγική Stratégie 24 1962 Πολλά τα δεινά Polla ta Dhina 25 1963 Εόντα Eonta 26 1964 Ικέτιδες Hiketides 27 1964-65 Άκρατα Akrata 223 28 1966 Νόμος Άλφα Nomos Alpha 29 1965-66 Τερρετεκτορχ Terretekthorh 30 1965-66 Ορέστεια Oresteïa 31 1967 Νύχτες Nuits 32 1967 Πολύτοπο του Μοντρεάλ Polytope de Montréal 33 1967 Μήδεια-Σενέκα Medea-Senecae 34 1967-68 Νόμος Γάμμα Nomos Gamma 35 1968-69 Κράανεργ Kraanerg 36 1969 Περσέφασσα Persephassa 37 1969 Ανακτόρια Anaktoria 38 1969 Συναφαί Synaphaï 39 1969-70 Αντήχηση, άνθος διάκενο Hibiki Hana Ma 40 1971 Μίκκα Mikka 41 1971 Χάρισμα Charisma 42 1971 Περσέπολις Persepolis 43 1971 Αντίχθων Antikhthon 44 1971 Άρουρα Aroura 45 1972 Λήναια-Αγών Linaia-Agon 46 1972 Πολύτοπο του Κλυνύ Polytope de Cluny 47 1973 Ευρυάλη Evryali 48 1973 Στάχτες Cendrées 49 1972 Ηριδανός Eridanos 50 1974 Γμεεοόρχ Gmeeoorh 51 1974 Νοόμενα Noomena 52 1974 Ερίχθων Erikthon 53 1975 Ψάπφα Psappha 54 1975 Ανάσα N’Shima 55 1975 Φλέγρα Phlegra 56 1975 Ϊχνη Empreintes 57 1975-76 Θέραψ Theraps 224 58 1976 Χοαί Khoaïa 59 1976 Μίκκα «Σ» Mikka ‘S’ 60 1976 Δμάαθεν Dmaathen 61 1976 Έπει Epeï 62 1976 Συστροφές Retours-Windungen 63 1977 Κόττος Kottos 64 1977 Ο μύθος του Ηρός-Διάτοπο La Légende d’Eer-Diatope 65 1977 Άκανθος Akanthos 66 1977 Στην Ελένη A Hélène 67 1977 Επί Κολωνώ A Colone 68 1977 Σχοινώνες Jonchaies 69 1978 Ιχώρ Ikhoor 70 1978 Μυκήνες Άλφα Mycènes Alpha 71 1979 Διχθάς Dikhthas 72 1978 Πλειάδες Pléïades 73 1979 Παλίμψηστο Palimpsest 74 1979 Ανεμόεσσα Anemoessa 75 1979 Άις Aïs 76 1981 Αιθρία Embellie 77 1981 Ομίχλες Mists 78 1981 Για την Ειρήνη Pour la Paix 79 1981 Κόμποι Komboï 80 1981 Όρκος Serment-Orkos 81 1981 Νέκυια Nekuïa 82 1982 Για το Μωρίς Pour Maurice 83 1982 Για τις φάλαινες Pour les Baleines 84 1983 Τετράς Tetras 85 1983 Χαλ Περ Khal Perr 86 1983 Τραγούδι των ήλιων Chant des Soleils 87 1983 Πύλες Shaar 225 88 1983 Λειχήνες Ι Lichens I 89 1984 Νάμα Naama 90 1984 Θάλλειν Thalleïn 91 1985 Ηλιοβασίλεμα Nyûyô-Soleil couchant 92 1985 Ίδμεν Α Idmen A 93 1985 Ίδμεν Β Idmen B 94 1985 Άλαξ Alax 95 1986 Άκεα Akea 96 1986 Στο νησί Γκορέ A l’ lle de Gorée 97 1986 Κέρας Keren 98 1986 Κέκρωψ Keqrops 99 1986 Χορός Horos 100 1986 Ορόσημα Jalons 101 1987 ΞΑΣ XAS 102 1987 Στον ρ. A.r. – Hommage à Ravel 103 1987 Άτα Ata 104 1987 Σχέδια Tracèes 105 1987 Κασσάνδρα Kassandra 106 1987 Ταυριπποφάνεια Taurhiphanie 107 1988 Αναπηδήσεις Rebonds 108 1988 Έργο Waarg 109 1989 Ανταλλαγή Échange 110 1989 Επίκυκλο Epicycle 111 1989 Όκχο Okho 112 1989 Όοφα Oophaa Το 113 1989 τέλειο χαρταετών ταξίδι των Voyage absolu des Unari vers προς την Andromède Ανδρομέδα 114 1990 Κνεφάς Knephas 115 1990 Τουορακέμσου Tuorakemsu 226 116 1990 Κυανία Kyania 117 1990 Τέτορα Tetora 118 1991 Δοξ-Ορχ Dox-Orkh 119 1991 120 1991 Κρινοϊδή Krinoïdi 121 1991 Ροαί Roaï 122 1991 Τροόρχ Troorkh 123 1992 Η θεά Αθηνά La Déesse Athéna 124 1992 Άχυρο στον άνεμο Paille in the wind 125 1992 126 1993 Βάκχαι Ευριπίδου Les Bacchantes d’ Euripide 127 1993 Μωσαϊκά Mosaïques 128 1993 Πλεκτό Plektó-Flechte 129 1993-94 Λυκόφως Dämmerschein 130 1994 Νύμφες της θάλασσας Sea Nymphs 131 1994 132 Gendy 3 Pu wijnuej we fyp Στη μνήμη του Βίτολντ Mnamas Xapin Λουτοσλάφσκυ Lutoslavskiemu 1994 Έργμα Ergma 133 1994 S.1994 134 1995 Κοίρανοι 135 1995 136 1995 Πέπλο Voile 137 1995 Φτεράκι Kuïlenn 138 1996 Ίττιντρα Ittindra 139 1996 Ιωλκός Iolkoos 140 1996 Χούνεμ-Ιτνούχεγ Hunem-Iduhey 141 1996 Ρόσκομπεκ Roscobeck 142 1996 Ζύθος Zythos 143 1997 Θάλασσα - Αλλαγή Sea-Change 144 1997 Ω-μέγα O-Mega Koïranoï Kaï 227 Witoldowi 228 Βιογραφίες Αρχαίων Ελλήνων399 1. Αριστείδης Κοϊντιλιανός Έλληνας λόγιος της ρωμαϊκής εποχής που συνέγραψε 3 βιβλία για τη μουσική. Τα βιογραφικά του στοιχεία αγνοούνται. Οι ειδικοί τον τοποθετούν στον 2ο ή 3ο αι. μ.Χ. (όπως συμπεραίνεται από τις νεοπλατωνικές ιδέες που εκτίθενται στα 3 βιβλία του συγγράμματός του Περί Μουσικής). Θεωρείται μαθητής του Πορφύριου, ίσως και του Ιάμβλιχου.`Ομως, τό ότι στον 2ο τόμο του έργου του αναφέρεται το De re publika του Κικέρωνα, δίνει δικαιώματα στην άποψη ότι άκμασε μετά το 51 π.Χ. Παρ΄ όλα αυτά, οι αρχαίοι συγγραφείς δεν τον αναφέρουν και μόνο κατά τη Βυζαντινή εποχή βρίσκουμε πληροφορίες για τα Περί Μουσικής βιβλία του, που τόσο οι Βυζαντινοί όσο και οι `Αραβες τα θεωρούσαν θεμελιώδη βοηθήματα για τη μελέτη της αρχαίας ελληνικής μουσικής. Το 1ο βιβλίο, ακολουθώντας αριστοξενικές θεωρητικές αρχές, ασχολείται με διδασκαλία περί αρμονικής, ρυθμικής, και μετρικής. Το τελευταίο αυτό μέρος είναι σημαντικότατο για τις σπουδαίες πληροφορίες που μας παρέχει σχετικά με τα αρχαία λυρικά μέτρα. Όμως ταυτόχρονα προβάλλει σωρεία δυσεπίλυτων προβλημάτων. Το 2ο βιβλίο πραγματεύεται τις ψυχολογικές επιδράσεις της μουσικής (ηθικά και παιδαγωγικά θέματα) και τέλος το 3ο βιβλίο (όπου αναλύονται τα περί αναγωγής των φθόγγων σε αριθμητικούς λόγους και τα περί της δύναμης των αρμονικών αριθμών στον κόσμο κατά την πυθαγόρεια θεωρία) ζητάει να βρει αναλογίες μεταξύ της μουσικής και του φυσικού κόσμου. Τα Περί Μουσικής βιβλία του Κουιντιλιανού επηρέασαν βαθύτατα όχι μόνο τους θεωρητικούς της Ανατολής (Γεώργιο Παχυμέρη, Μανουήλ Βρυέννιο, κ.ά.) αλλά και τους θεωρητικούς της Δύσης από τον Martinus Capella του Μεσαίωνα ως τους σοφούς Francino Gaffurio (15ος αι.), Giorgio Valla, Vincenzo Galilei και Girolamo Mei (16ος αι.), Athanasius Kircher, Andreas Schott (17ος αι.) κι ακόμα ως τους θεωρητικούς του 18ου αιώνα και ορισμένους δασκάλους του 19ου αιώνα. Η Καίτη Ρωμανού400 γράφει σχετικά, ότι οι θρυλικοί "Ευσέβιος και Φλορεστάν" του Σούμαν είναι κατά πάσα πιθανότητα οι Ευσέβιος 399 Όλες οι βιογραφίες των αρχαίων Ελλήνων βασίζονται στο Σόλωνα Μιχαηλίδη, Εγκυκλοπαίδια της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής, Μορφωτικό ίδρυμα εθνικής τραπέζης, Αθήνα 1999. 400 Καίτη Ρωμανού, Η Μεταρρύθμιση του 1814, Μουσικολογία, 1/1985, σελ.18. 229 και Φλωρέντιος, προς τους οποίους απευθύνεται ο Αριστείδης Κοϊντιλιανός στα Περί Μουσικής βιβλία του. 2. Αριστόξενος Φιλόσοφος και θεωρητικός της μουσικής. Γεννήθηκε στον Τάραντα περίπου το 375 π.Χ. και πέθανε στην Αθήνα. Υπήρξε μια από τις σημαντικότερες μορφές στο χώρο της θεωρίας της μουσικής στην αρχαία Ελλάδα και άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση σ’αυτόν τον τομέα. Ο Αριστόξενος υπήρξε μαθητής του Αριστοτέλη στο Λύκειο και μάλιστα ήλπιζε πως θα οριζόταν διάδοχός του. Έγραψε πολλά βιβλία σχετικά με τη μουσική, την φιλοσοφία και την ιστορία. Τα μουσικά βιβλία του είναι: 1. Αρμονικά στοιχεία, σε 3 βιβλία τα οποία σώζονται στο μεγαλύτερο τους μέρος και έχουν εκδοθεί πάρα πολλές φορές. Πρώτη έκδοση έγινε το 1542 από τον Αντώνιο Γκογκαβίνο σε λατινική μετάφραση χωρίς το ελληνικό κείμενο. 2. Ρυθμικά στοιχεία, από τα οποία σώζεται ένα μεγάλο μέρος και δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά στη Βενετία από τον Morelli το 1785. 3. Περί μουσικής. 4. Περί μελοποιΐας. 5. Περί τόνων. 6. Περί της μουσικής ακροάσεως. 7. Περί του πρώτου χρόνου. 8. Περί οργάνων. 9. Περί αυλών τρήσεως. 10. Περί αυλητών. 11. Περί τραγικής ορχήσεως. 12. Ένα έργο από όπου προέρχεται το ρυθμικό απόσπασμα της Οξύρυγχου. Τα περισσότερα από αυτά τα βιβλία έχουν χαθεί, αλλά γνωρίζουμε αποσπάσματά τους από τις συχνές αναφορές διαφόρων συγγραφέων της αρχαιότητας. 230 3. Αριστοτέλης Ο Αριστοτέλης γεννήθηκε το 384 π.Χ. στα Στάγειρα της Μακεδονίας. Ο πατέρας του Νικόμαχος ήταν γιατρός του βασιλιά της Μακεδονίας Αμύντα Β΄, πατέρα του Φιλίππου. Ο Αριστοτέλης σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα επί 20 χρόνια (367 - 347), μέχρι τη χρονιά δηλ. που πέθανε ο δάσκαλός του. Στο περιβάλλον της Ακαδημίας άφηνε κατάπληκτους όλους, ακόμη και τον ίδιο το δάσκαλό του, με την ευφυΐα και τη φιλοπονία του. Ο Πλάτωνας τον ονόμαζε "νουν της διατριβής" και το σπίτι του "οίκον αναγνώστου". Όταν το 347 π.Χ. πέθανε ο Πλάτωνας, προέκυψε θέμα διαδόχου στη διεύθυνση της σχολής. Επικρατέστεροι για το αξίωμα ήταν οι τρεις καλύτεροι μαθητές του Πλάτωνα, ο Αριστοτέλης, ο Ξενοκράτης και ο Σπεύσιππος. Μετά την επιλογή, ο Αριστοτέλης μαζί με τον Ξενοκράτη εγκατέλειψε την Αθήνα και εγκαταστάθηκαν στην Άσσο, πόλη της μικρασιατικής παραλίας, απέναντι από τη Λέσβο, όπου και δίδαξε τρία χρόνια. Το 342 π.Χ. τον προσκάλεσε ο Φίλιππος στη Μακεδονία, για να αναλάβει τη διαπαιδαγώγηση του γιου του Αλέξανδρου, που ήταν τότε μόλις 13 χρονών. Ο Αριστοτέλης έμεινε στη μακεδονική αυλή έξι χρόνια. Όταν ο Αλέξανδρος συνέτριψε την αντίσταση των Θηβαίων και αποκατέστησε την ησυχία στη νότια Ελλάδα, ο Αριστοτέλης πήγε στην Αθήνα (335) και ίδρυσε δική του φιλοσοφική σχολή, το Λύκειον που αργότερα ονομάστηκε Περίπατος και οι μαθητές του Περιπατητικοί Φιλόσοφοι. Η σχολή είχε μεγάλη βιβλιοθήκη, η οποία ήταν τόσο καλά οργανωμένη, ώστε αργότερα χρησίμευσε ως πρότυπο για την ίδρυση των βιβλιοθηκών της Αλεξάνδρειας και της Περγάμου. Ο Αριστοτέλης μάζεψε χάρτες και όργανα χρήσιμα για τη διδασκαλία των φυσικών μαθημάτων. Έτσι σύντομα η σχολή έγινε περίφημο κέντρο επιστημονικής έρευνας. Στα δεκατρία χρόνια που έμεινε ο Αριστοτέλης στην Αθήνα δημιούργησε το μεγαλύτερο μέρος του έργου του. Το 322 π.Χ. πέθανε στη Χαλκίδα από στομαχικό νόσημα. Το σώμα του μεταφέρθηκε στα Στάγειρα, όπου θάφτηκε με μεγάλες τιμές. Οι Αλεξανδρινοί υπολόγιζαν ότι ο Αριστοτέλης έγραψε 400 περίπου συνολικά βιβλία. Ο Διογένης ο Λαέρτιος υπολόγισε το έργο του σε στίχους και βρήκε ότι έφταναν τις 44 μυριάδες, δηλ. 440.000. Μεγάλο μέρος από το έργο του αυτό χάθηκε. Ανήκε στην κατηγορία των δημόσιων ή "εξωτερικών" μαθημάτων και ήταν γραμμένα σε μορφή διαλογική. Από αυτά σώθηκε μόνο η Αθηναίων Πολιτεία, σ' έναν πάπυρο που βρέθηκε στην Αίγυπτο. Τα σωζόμενα 231 σήμερα έργα του αντιστοιχούν στη διδασκαλία που ο Αριστοτέλης έκανε στους προχωρημένους μαθητές του και που λέγονται "ακροαματικές ή εσωτερικές". Γι' αυτό και είναι γραμμένα σε συνεχή λόγο και όχι σε διάλογο. Από το τεράστιο έργο του τελικά σώθηκαν 47 βιβλία και μερικά αποσπάσματα από τα υπόλοιπα βιβλία αλλά δε θεωρούνται όλα γνήσια. Παρόλο που είχε γνώση της μουσικής, δεν είχε γράψει κανένα σύγγραμα ειδικά για τη μουσική, αλλά πολύ συχνά αναφέρεται στη μουσική στα κείμενά του. Το μοναδικό βιβλίο που αποδόθηκε σε αυτόν είναι τα Προβλήματα, του οποίου όμως η αυθεντικότητα αμφισβητείται από πολλούς μελετητές και αποδίδεται σε μιμητή του Αριστοτέλη. 4. Αρχύτας Καταγόταν από τον Τάραντα και θεωρείται ο κυριότερος εκπρόσωπος των πυθαγορείων του 4ου αιώνα π.Χ. Χαρακτηρίζεται μερικές φορές ως ο θεμελιωτής της μαθηματικής μηχανικής αλλά και ίσως ο σημαντικότερος αρχαίος μελετητής της ακουστικής. Δεν αρκέστηκε μόνο στις επιστήμες και τη φιλοσοφία αλλά συμμετείχε ενεργά και στην πολιτική ζωή και οι συμπολίτες του τον εκτιμούσαν τόσο ώστε τον εξέλεξαν επτά φορές κυβερνήτη της πόλης. Ήταν φίλος του Πλάτωνα. Οι έρευνές του για το μουσικό ήχο τον οδήγησαν στην ανακάλυψη ότι ο ήχος παράγεται από δονήσεις του αέρα και ότι το ύψος του εξαρτάται από την ταχύτητα των παλμών του. Επεξεργάστηκε επίσης τις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου καθορίζοντας τις αριθμητικές σχέσεις στα τρία γένη της αρχαίας ελληνικής μουσικής ως εξής: Εναρμόνιο 28/27 36/35 5/4 Χρωματικό 28/27 243/224 32/27 Διατονικό 8/7 28/27 9/8 Του αποδίδονται πολλά συγγράμματα401 από τα οποία πολλά είναι πιθανότατα έργα μεταγενέστερων συγγραφέων. Σύμφωνα με μια παράδοση πνίγηκε σε ένα ναυάγιο κοντά στην Ιταλία. 401 Περί αρχών, Περί του Παντός, Περί του όντος, Περί των αντικειμένων, Περί της ψυχής, Περί των αυλών κ.α. 232 5. Βοήθιος Ρωμαίος συγγραφέας, γεννήθηκε στη Ρώμη το 480 μ.Χ. Ασχολήθηκε με την Ελληνική φιλοσοφία και τις τέχνες. Έγραψε βιβλία για τις τέσσερις μαθηματικές επιστήμες (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία και μουσική) εκ των οποίων σώζεται μόνο το De institutione arithmetica και το μεγαλύτερο μέρος από το De institutione musica. Σε αντίθεση με τους σύγχρονούς του συγγραφείς, ο Βοήθιος δεν επαναλάμβανε απλά την κλασσική παράδοση για εγκυκλοπαιδικούς σκοπούς αλλά τα έργα του θεωρούνται ιδιαίτερα ανεπτυγμένες θέσεις στο πεδίο της Νεοπυθαγόρειας και Νεοπλατωνικής φιλοσοφίας. Πέθανε στην Παβία το 524 μ.Χ., αφού κατηγορήθηκε για προδοσία και εκτελέστηκε. 6. Ευκλείδης Για τη ζωή του Ευκλείδη είναι γνωστά λίγα πράγματα: ήταν σύγχρονος του Αρχιμήδη και πιθανόν να μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Κατά την κυριαρχία του Πτολεμαίου Α' στην Αλεξάνδρεια ο Ευκλείδης ίδρυσε μία σχολή. Άλλες αξιόλογες τεκμηριωμένες πληροφορίες δεν υπάρχουν. Το κυριότερο σύγγραμμα του Ευκλείδη, υπό τον τίτλο «Στοιχεία» που υποδιαιρείται σε 13 βιβλία, αποτελεί το σπουδαιότερο έργο των αρχαιοελληνικών Μαθηματικών και είναι ακόμα η βάση των σχολικών Μαθηματικών. Σ' αυτό το σύγγραμμά του ο Ευκλείδης παρουσιάζει, με σύντομη και ακριβή μορφή μία συστηματική, επαγωγική- αξιωματική σύνοψη και προσαρμογή όλων των προευκλείδιων μαθηματικών γνώσεων, τις οποίες συμπλήρωσε με θεωρήματα δικά του και άλλα συγχρόνων του μαθηματικών. Το μοναδικό βιβλίο που έγραψε σχετικά με τη μουσική είναι η Κατατομή Κανόνος, μια συλλογή θεωρημάτων με πυθαγόρεια προέλευση. 7. Νικόμαχος ο Γερασηνός Ένας από τους τελευταίους αξιόλογους του ύστερου πυθαγορισμού, φιλόσοφος αλλά κυρίως σπουδαίος μαθηματικός, ήταν ο Νικόμαχος ο Γερασηνός (60-120μ.Χ στη Γέρασα της 233 Αραβίας). Συνέγραψε το Εγχειρίδιον Αρμονικής, στο οποίο υποστήριξε ότι υπάρχει αναλογία μεταξύ αριθμών και μουσικών φθόγγων και μάλιστα, ότι οι ιδιότητες των μουσικών φθόγγων ρυθμίζονται από τους αριθμούς. Σε κάποιο άλλο σημείο αναφέρει ότι η ταχύτητα με την οποία δονείται ο αέρας καθώς επίσης και το μέγεθος της ηχητικής πηγής, συμβάλουν στην παραγωγή του ήχου και ότι μπορούμε να τον μετρήσουμε. Επίσης ο Νικόμαχος ήταν από τους πρώτους Aλεξανδρινούς μαθηματικούς της ρωμαϊκής περιόδου, του οποίου η Εισαγωγή Αριθμητική είναι η πληρέστερη έκθεση, πού έχει διασωθεί, για την πυθαγόρεια αριθμητική. Τα θέματα ενός μεγάλου τμήματος του βιβλίου είναι ίδια μ' εκείνα πού έχει συμπεριλάβει ο Ευκλείδης στα αριθμητικά βιβλία των Στοιχείων του. Ο Ευκλείδης παρίστανε τους αριθμούς με ευθύγραμμα τμήματα, ενώ ο Νικόμαχος χρησιμοποιούσε αριθμητικό συμβολισμό και, όταν αναφερόταν σε ακαθόριστους αριθμούς, τότε εκφραζόταν στην τρέχουσα γλώσσα. Η πραγματεία του Νικόμαχου για τους πολύγωνους και τους πυραμιδικούς αριθμούς άσκησε επίδραση στη μεσαιωνική αριθμητική και έγινε γνωστή στη Δύση από το Βοήθιο. 8. Πλάτωνας Γεννήθηκε στην Αθήνα από γονείς ευγενείς το 427π.Χ. Νέος ασχολήθηκε με την ποίηση, αλλά γρήγορα στράφηκε προς τη φιλοσοφία. Ήταν 20 χρονών, όταν γνώρισε το Σωκράτη και έμεινε κοντά του για οκτώ ολόκληρα χρόνια, μέχρι την ώρα που ο μεγάλος δάσκαλος πέθανε (399 π.Χ.). Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη κατέφυγε για λίγο καιρό στα Μέγαρα, κοντά στο συμμαθητή του Ευκλείδη. Ύστερα γύρισε στην Αθήνα, όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων, τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας. Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη, όπου σχετίστηκε με το μαθηματικό Θεόδωρο, και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας, όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους, από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά. Ως μουσικός συγγραφέας ο Πλάτων ήταν πυθαγορικός, αναγνώριζε την πυθαγορική αρμονία και τον πυθαγόρειο καθορισμό των διαστημάτων με αριθμητικούς λόγους. Έκθεση των απόψεών του για τη μουσική βρίσκεται στους Νόμους ενώ σε άλλα έργα, όπως είναι η Πολιτεία, 234 ο Πρωταγόρας, ο Φαίδωνας και ο Τίμαιος, επισημαίνει επίσης την ηθική αξία της μουσικής και ορισμένων αρμονιών και ρυθμών και εκθέτει τη φιλοσοφική του αντίληψη για τη μουσική. Τα έργα του Πλάτωνα είναι 36 και όλα, εκτός από την Απολογία, διαλογικά. Και στη συγγραφή ο φιλόσοφος μιμήθηκε τη διδασκαλία του Σωκράτη, ο οποίος δίδασκε διαλογικά. Οι διάλογοί του επιγράφονται με το όνομα κάποιου από τα διαλεγόμενα πρόσωπα, π.χ. Τίμαιος, Γοργίας, Πρωταγόρας κ.λ.π. Τρεις μόνο διάλογοι, το Συμπόσιο, η Πολιτεία και οι Νόμοι τιτλοφορούνται από το περιεχόμενό τους. Σε όλους τους διαλόγους τη συζήτηση διευθύνει ο Σωκράτης. Στους παλαιότερους διαλόγους διατηρεί την εικόνα του πραγματικού Σωκράτη, ενώ στους νεότερους κάτω από το πρόσωπο του δάσκαλου κρύβεται ο ίδιος ο μαθητής Ο Πλάτωνας πέθανε το 347π.Χ. και είναι ίσως ο φιλόσοφος με τη μεγαλύτερη επιρροή στην ιστορία της φιλοσοφίας. 9. Κλαύδιος ο Πτολεμαίος Μεγάλος γεωγράφος, αστρονόμος μαθηματικός και μουσικός. Γεννήθηκε το 108 μ.Χ. και υπολογίζεται πως πέθανε μεταξύ του 163 μ.Χ. και 168 μ.Χ. Γεννήθηκε στην Αίγυπτο και πιθανότατα επίκεντρο των δραστηριοτήτων του ήταν η Αλεξάνδρεια. Έγραψε πολυάριθμα βιβλία για την αστρονομία, τη γεωγραφία και τα μαθηματικά αλλά και ένα σημαντικό έργο για τη μουσική, τα Αρμονικά σε 3 βιβλία. Το έργο αυτό αποτελεί μια πολύτιμη εκτίμηση, ερμηνεία και ανάπτυξη των πυθαγόρειων δογμάτων και αρχών για τη μουσική και τοποθετείται από μελετητές στο ίδιο επίπεδο με τα Αρμονικά Στοιχεία του Αριστόξενου. Τα Αρμονικά του Πτολεμαίου μεταφράστηκαν από τα Ελληνικά στα Αραβικά τον 9 ο αι. μ.Χ. 10. Φιλόλαος Θεωρείται ο σπουδαιότερος πυθαγόρειος του 5ου αιώνα π.Χ. Καταγόταν από τον Κρότωνα ή τον Τάραντα και πιστεύεται πως αυτός συστηματοποίησε τον πυθαγορισμό και είναι ίσως ο συγγραφέας σύνοψης της πυθαγόρειας φιλοσοφίας και επιστήμης στα τέλη του 5ου 235 αιώνα. Φαίνεται πως εφοδίασε το πυθαγόρειο δόγμα με φιλοσοφικά επιχειρήματα και πως πήρε τις βασικές πυθαγόρειες ιδέες της αρμονίας και του αριθμού και τις εμπλούτισε με χαρακτηριστικά φιλοσοφικών και προσωκρατικών εννοιών, όπως φύση, κόσμος, ουσία κτλ. Ο Φιλόλαος τόνιζε τη σημασία των αριθμητικών συνόλων και τις ιδιότητες της δεκάδας. Το όνομά του συνδέθηκε από νωρίς με μια γραπτή μορφή της πυθαγόρειας διδασκαλίας και αρκετοί συγγραφείς της όψιμης αρχαιότητας διασώζουν αποσπάσματα που υποτίθεται πως προέρχονται από τα έργα του. Από κάποιους μελετητές ο Φιλόλαος θεωρήθηκε η κύρια πηγή του Αριστοτέλη για τον πυθαγορισμό και ο πραγματικός εμπνευστής της φιλοσοφίας του ορίου και του απείρου και της μεταξύ τους αρμονίας που επιτυγχάνεται με τον αριθμό. Ο κόσμος ως σύνολο, σύμφωνα με το Φιλόλαο συστάθηκε από τα περαίνοντα και τα άπειρα. Στον τομέα της αστρονομίας, το κέντρο του σύμπαντος είναι σύμφωνα με το Φιλόλαο η φωτιά και όχι η γη. Με αυτή την αμφισβήτηση της παραδοσιακής γεωκεντρικής κοσμολογίας ο πυθαγορισμός προετοιμάζει το έδαφος για τον ηλιοκεντρισμό και την επανάσταση του Κοπέρνικου. Ο Φιλόλαος, σύμφωνα με τον Αέτιο, ήταν ο πρώτος που διατύπωσε την κυκλική κίνηση της γης γύρω από τον ήλιο.402 Σώζεται ένα απόσπασμα από τα Φυσικά του Φιλόλαου τα οποία έχουν δημοσιευτεί από τον A.E. Chaignet στο Pythagore et la philosophie pythagoricenne το 1873 μαζί με τα αποσπάσματα του Αρχύτα.403 Στο απόσπασμα αυτό ο Φιλόλαος αναλύει τις πυθαγορικές αρχές για τη μουσική. 402 Βλ. κεφ. 6 ‘Έργα του Ιάννη Ξενάκη και Πυθαγόρεια Παράδοση, το έργο Αντίχθων’. 403 Σόλωνα Μιχαηλίδη, Εγκυκλοπαίδια της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής, Μορφωτικό ίδρυμα εθνικής τραπέζης, Αθήνα 1999, σελ. 343-344. 236 Βιβλιογραφία: ΙΑΝΝΗΣ ΞΕΝΑΚΗΣ 1. Arsenault Linda M, Iannis Xenakis’s Stochastic Music: Four Algorithmic Studies, Doctoral dissertation, University of Toronto. 2. Balint Andras Varga, Conversations with Iannis Xenakis, Faber and Faber 1996. 3. Bois Mario, Iannis Xenakis, The man and his music: a conversation with the composer and a description of his works, Pendragon Press, New York 1967. 4. De Lio Thomas, structure and strategy: Iannis Xenakis “Linaia – Agon”, Doctoral Dissertation, University of Maryland, 1985. 5. Έξαρχος Δημήτρης, Iannis Xenakis and Sieve Theory: An Analysis of the Late Music (1984-1993), διδακτορική διατριβή, Goldsmiths College, University of London, 2008 6. Flint Ellen Rennie, "An Investigation of Real Time as Evidenced by the Structural and Formal Multiplicities in Iannis Xenakis' 'Psappha'." Doctoral Dissertation. University of Maryland College Park, 1989. 7. Gibson Benoît, "Xenakis: Organisation de l'espace, techniques d'ιcriture, orchestration, 1954-1962." DEA Thesis. Paris: IRCAM, 1992. 8. Gibson Benoît, The instrumental music of Iannis Xenakis, Theory, practice, selfborrowing, Pendragon Press, Hillsdale, New York 2011. 9. Ζερβός Γιώργος, Iannis Xenakis, lew compositeurs de l’ Ecole de Vienne et le concept des structures hors-temps,στο Iannis Xenakis, Gerard Grisey. La métaphore lumineuse, L’ Harmattan, Παρίσι 2003, σελ. 213-224. 10. Ζερβός Γιώργος, Processus Mathématiques chez Bartók et Xenakis,(Εργασία του Μεταπτυχιακού Διπλώματος D.E.A. (Diplôme d’ Etudes Approfondies) του Πανεπιστημίου του Παρισιού Paris I – Panthéon – Sorbonne. 11. Iliescu Mihu, "Musical et extramusical: elements de pensιe spatiale dans l'oeuvre de Iannis Xenakis." Doctoral Dissertation. Paris: Universitι de Paris I, 1996. 12. Joseph Stephen, The Stochastic Music of Iannis Xenakis: An examination of his Theory and Practice, Dissertation, New York 1985. 237 13. Καμαρωτός Δημήτρης (επιμ.), Ιάννης Ξενάκης, Ένα αφιέρωμα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου προς έναν απόφοιτό του, Σύγχρονη Εποχή, Αθήνα 1994. 14. Mâche François-Bernard, Portraits de Iannis Xenakis, Sous la direction de FrançoisBernard Mâche, Bibliothèque nationale de France, Paris 2002. 15. Matossian Nouritza, Iannis Xenakis , Fayard/Fonadation Sacem, 1981. 16. Παπαρηγόπουλος Κώστας, Δυτική και Ανατολική προσέγγιση του Τυχαίου στη μουσική των Ιάννη Ξενάκη και John Cage τις δεκαετίες 1950 – 1960, Διδακτορική διατριβή, Αθήνα 2008. 17. Roberts G.M., Procedures for Analysis of Sound Masses, Dissertation, Indiana Univ. 1978. 18. Solomos Makis, "A propos des premiθres oeuvres (1953-69) de Iannis Xenakis: Pour une approche historique de l'ιmergence du phιnomθne du son." Doctoral Dissertation. Paris: Universitι de Paris IV, 1993. 19. Solomos Makis, Iannis Xenakis, P.O. Editions, Paris 1996. 20. Σολωμός Μάκης, Γεωργάκη Αναστασία, Ζερβός Γιώργος (εκδ.), Proceedings of the Internationαl Symposium Iannis Xenakis, Αθήνα 2005 21. Σολωμός Μάκης, Ιάννης Ξενάκης, το σύμπαν ενός ιδιότυπου δημιουργού, Αλεξάνδρεια, Αθήνα 2008. 22. Stock Music, Regards sur Iannis Xenakis, preface de Maurice Fleuret, Editions Stock 1981. 23. Squibbs Ronald, An analytical approach to recent music of Iannis Xenakis, Doctoral Dissertation. Yale University, 1996. 24. La Grow Sward Rosalie, An examination of the mathematical systems used in selected compositions of Milton Babbitt and Iannis Xenakis, Doctoral Dissertation. Evanston: North-western University, 1981. 25. Τσανάκας Χρίστος, Ιάννης Ξενάκης, η μουσική των άστρων, futura, Αθήνα 2001. 26. Wardell Ziaoman Zhang. An examination of selected contemporary works composed by means of numbers (Bela Bartok, Olivier Messiaen, Alban Berg, Iannis Xenakis), Doctoral Thesis. Claremont: The Claremont Graduate University, 1996. 27. Xenakis Iannis, Musique Architecture, Casterman, Tournai 1976. 238 28. Xenakis – Center George Pompidou, Diatope: gesture of light and sound, Center George Pompidou, Paris (about 1978). 29. Xenakis Iannis, Art- sciences, Alloys: The thesis defence of Iannis Xenakis before Olivier Messiaen, Michel Ragon, Olivier Revault D’ Allonnes, Michel Serres and Bernard Teyssedre, Pendragon Press, New York 1985. 30. Xenakis Iannis, Formalized Music: Thought and Mathematics in Music, Pendragon Press, New York 1992. 31. Xenakis Iannis, Kéleütha, L’ Arche, Paris 1994. 32. Ξενάκης Ιάννης, Κείμενα περί μουσικής και αρχιτεκτονικής, Ψυχογιός Αθήνα 2001. 33. Uno Yayoi, The roles of compositional aim, syntax, and design in the assessment of musical styles: Analyses of piano music by Pierre Boulez, John Cage, Milton Babbitt and Iannis Xenakis circa 1950, Doctoral Dissertation, The University of Rochester, Eastman School of Music, 1994. ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ 1. Barbara C. Andre, The Persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought, Ph. D. diss, University of North Carolina at Chapel Hil, 1980. 2. Burkert Walter, Lore and science in Ancient Pythagoreanism, translated by Edwin L. Minar, Harvard University Press, Cambridge Massachusetts 1972. 3. Διεθνές κέντρον Ελληνικής φιλοσοφίας και πολιτισμού, Πυθαγόρεια Φιλοσοφία, εξεδόθη υπό του καθ. Κ. Βουδούρη, Αθήνα-Σάμος 1992. 4. Godwin Joscelyn, Music, Mysticism and Magic, a sourcebook, Routledge & Kegan Paul, London 1986. 5. Godwin Joscelyn, The Harmony of the spheres: the Pythagorean tradition in Music, Inner tradition international, United States 1993. 6. Godwin Joscelyn, Harmonies of Heaven and Earth, Mysticism in music form Antiquity to the Avant-Garde, Inner Traditions International, Rochester, Vermont 1995. 7. Gorman Peter, Pythagoras a life, Hentley and Boston, London 1979. 239 8. Guthrie Kenneth Sylvan, The Pythagorean sourcebook and Library, Phanes Press, Michigan USA 1988. 9. Γκάθρι Κέννεθ, Τα κείμενα των Πυθαγορείων, οι διδασκαλίες των Πυθαγορείων μέσα από τα Αρχαία κείμενα, Πύρινος κόσμος, Αθήνα 1995. 10. Huffman Carl A., Philolaus of Croton, Pythagorean and Presocratic, Cambridge university Press, Cambridge 1993. 11. Kayser Hans, Ακρόασις, η αρμονία των σφαιρών, η θεωρία των Πυθαγορείων για την παγκόσμια αρμονία, Βιβλιοθήκη του Ρόδου, Αθήνα 2000. 12. Kirk G. S. – Raven J. E. – Schofield M., Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι, μτφ. Δημοσθένης Κούρτοβικ, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα 1998. 13. Lippman Edward A., Musical Thought in Ancient Greece, Da Cappo Press, New York 1975. 14. Λυκούρας Γεώργιος, Πυθαγορική μουσική και Ανατολή, Συρτός, Αθήνα 1994. 15. Λυκούρας Γιώργος, Ο Φιλόλαος και η διχοτόμηση του τόνου, Συρτός, Αθήνα 1994. 16. Mathiesen J. Thomas, Apollo’s Lyre: Greek Music and Music Theory in Antiquity and the Middle Ages, Publication of the centre for history of music, University of Nebraska Press, Lincoln and London, 1999. 17. Mattei Jean-Francoise, Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι, Ινστιτούτο του βιβλίου Μ. Καρδαμίτσα, Αθήνα 1995. 18. McClain Ernest G. , The Myth of Invariance, The origin of the Gods, Mathematics and Music from the Rg Veda to Plato, Nicolas-Hays Inc. , United States 1984. 19. Μιχαηλίδης Σόλωνας, Εγκυκλοπαίδεια της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα 1999. 20. Μπάλλας Κωστής, Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι, Προσκήνιο, Αθήνα 2001. 21. Neubecker Annemarie Jeanette, Η μουσική στην Αρχαία Ελλάδα, Οδυσσέας, μτφ Μιρέλλα Σιμώτα-Φιδετζή, Αθήνα 1986. 22. O’ Meara Dominic J., Pythagoras Revived: Mathematics and Philosophy in Late Antiquity, Oxford University Press. 23. Scrohmeier John, Divine Harmony: the life and teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books. 240 24. Ταίηλορ Nέστωρ, Η αρμονία των Πυθαγορείων – η μαθηματική έννοια της αρμονίας στο μουσικό σύστημα των Πυθαγορείων, Νεφέλη, Αθήνα 2000. 25. Τέϋλορ Τόμας, Η θεωρητική αριθμητική και αριθμοσοφία των Πυθαγορείων, Πύρινος κόσμος, Αθήνα 1994. 26. Underwood Dudley – John Johnson, Numerology: or what Pythagoras wrought, Mathematical Association of America. 27. West M.L ., Αρχαία Ελληνική μουσική, Παπαδήμα, Αθήνα 1999. 28. Wheelwright Philip, The Presocratics, The Odyssey Press, New York 1966. ΕΡΓΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΩΝ 1. Αλκαίος – Σαπφώ, Άπαντα, Κάκτος, Αθήνα 1996. 2. Αριστοτέλης, Άπαντα 10,Μετά τα φυσικά 1 (βιβλία Α’-Δ’), Κάκτος, Αθήνα 1993. 3. Αριστοτέλης, Άπαντα 11, Μετά τα φυσικά 2 (βιβλία Ε’- Ι’), Κάκτος, Αθήνα 1993. 4. Αριστοτέλης, Άπαντα 12, Μετά τα φυσικά 3(βιβλία Κ’-Ν’), Κάκτος, Αθήνα 1993. 5. Αριστοτέλης, Περί Ουρανού, Κάκτος, Αθήνα 1995. 6. Aristotle, Problems books I – xxi, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1980. 7. Aristotle, Politics, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1977. 8. Aristotle, The Physics, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1980. 9. Aristotle, On the Heavens, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1986. 10. Aristotle, On the Soul, Parca Naturalia, on Breath, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1986. 11. Aristotle, Meteorologica, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1987. 241 12. Aristotle, The Metaphysics books i – ix, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1989. 13. Aristotle, The Metaphysics books x – xiv, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1977. 14. Αρχαίοι αρμονικοί συγγραφείς, τόμος α’, Ευκλείδου ‘’Κατατομή κανόνος’’, Γαυδέντιου ‘’Αρμονική εισαγωγή’’ , Κλεονίδου ‘’Εισαγωγή Αρμονική’’, Βάκχειου ‘’Εισαγωγή τέχνης μουσικής’’, Πτολεμαίου Κλαύδιου ‘’Μουσικά’’, Αλύπιου ‘’Μουσική εισαγωγή’’, Γεωργιάδη, Αθήνα 1995. 15. Αρχαίοι αρμονικοί συγγραφείς, τόμος β’, Αριστόξενου ‘’Αρμονικά Στοιχεία’’, Γεωργιάδη, Αθήνα 1997. 16. Barker Andrew, Greek Musical Writings II, Cambridge University Press 1989. 17. Diels/Kranz, Fragmente der vorsokratiker I 1-58, Weidmann, Germany 1989. 18. Diels/Kranz, Fragmente der vorsokratiker I 59 - 90, Weidmann, Germany 1989. 19. Diels/Kranz, Fragmente der vorsokratiker register , Weidmann, Germany 1989. 20. Ευκλείδης-Σπυρίδης Χαράλαμπος Χ., Ευκλείδου ‘’Κατατομή Κανόνος’’, Γεωργιάδη, Αθήνα 1996. 21. Ιάμβλιχος, Πυθαγορικός βίος, Νέα Θέσις, Αθήνα 1996. 22. Iamblichus – Robin Waterfield, The theology of arithmetic, Phanes Press 1989. 23. Nicomachus – Flora Levin (translator), The manual of harmonics of Nicomachus the Pythagorean, Phanes Press 1994. 24. Πλάτων, Πολιτεία 1, Κάκτος, Αθήνα 1992. 25. Πλάτων, Πολιτεία 2, Κάκτος, Αθήνα 1992. 26. Πλάτων, Πολιτεία 3, Κάκτος, Αθήνα 1992. 27. Πλάτων, Πολιτεία 4, Κάκτος, Αθήνα 1992. 28. Πλάτων, Πολιτεία 5, Κάκτος, Αθήνα 1992. 29. Plato, Timaeus – Critias – Cleitophon – Menaxenus – Epistles, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1981. 30. Plato, The Republic, The Loeb classical library, Harvard University press, Great Britain 1987. 31. Προσωκρατικοί 1, Ορφεύς, Μουσαίος, Επιμενίδης, Ησίοδος, Φώκος, Κλεόστρατος, Φερεκύδης, Θεαγένης, Ακουσίλαος, Επτά σοφοί, Κάκτος, Αθήνα 1999. 242 32. Προσωκρατικοί 2, Θαλής, Αναξίμανδρος, Αναξιμένης, Κάκτος, Αθήνα 1999. 33. Προσωκρατικοί 3, Κέρκωψ, Πέτρων, Βροντίνος, Ίππασος, Καλλίφων και Δημοκήδης, Παρμενίσκος, Επίχαρμος, Πάρων, Αλκμαίων, Αμεινίας, Ίκκος, Κάκτος, Αθήνα 1999. 34. Προσωκρατικοί 4, Πυθαγόρας 1 (Χρυσά Έπη), Κάκτος, Αθήνα 1999. 35. Προσωκρατικοί 5, Πυθαγόρας 2 (Πορφύριου ‘’Πυθαγορικός Βίος’’, Ιάμβλιχου ‘’Περί του Πυθαγορικού βίου’’), Κάκτος, Αθήνα 1999. 36. Προσωκρατικοί 6, Πυθαγόρας 3 (Πυθαγόρειοι), Κάκτος, Αθήνα 1999. 37. Προσωκρατικοί 8, Ηράκλειτος, Κάκτος, Αθήνα 1999. 38. Προσωκρατικοί 9, Παρμενίδης, Κάκτος, Αθήνα 1999. 39. Προσωκρατικοί 13, Αρχύτας, Οκκέλος, Τίμαιος, Ικέτας, Έκφαντος, Ξενόφιλος, Διοκλής, Εχεκράτης, Πολύμναστος, Φάντων, Αρίων, Πρόρος, Αμύκλας, Κλεινίας, Δάμων και Φιντίας, Σίμων, Μυωνίδης, Ευφράνωρ, Λύκων, Κατάλογος Ιάμβλιχου, Ανώνυμοι Πυθαγόρειοι, Άκουσμα- Σύμβολα, εκ του Αριστόξενου Πυθαγορικών αποφάσεων και Πυθαγορικού βίου, Κάκτος, Αθήνα 1999. ΦΥΣΙΚΗ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ – ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ (ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΑ) 1. Couderc Paul, Η ιστορία της Αστρονομίας, Ι. Ζαχαρόπουλος Αθήνα. 2. Dicks D.R., Α πρώιμη Ελληνική Αστρονομία από τις απαρχές ως τον Αριστοτέλη, μτφ. Μάρω Παπαθανασίου, Δαίδαλος – Ι. Ζαχαρόπουλος. 3. Ghyka Matila, The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Inc. , New York 1946 4. Fauvel John, Flood Reynold, Wilson Robin, Music and Mathematics, from Pythagoras to Fractals, Oxford University Press, New York 2003. 5. Heath Thomas L., A Manual of Greek Mathematics, Dover, New York 1931. 6. Herz-Fischler Roger, A Mathematical History of the Golden Number, Dover Publications, Mineola, New York 1987. 7. Ivon Thomas (translator), Greek Mathematics vol. I, from Thales to Euclid, Harvard University Press, London 1967. 8. Κούνια-Μωυσιάδη, Πιθανότητες Ι, Ζήτη, Θεσσαλονίκη. 9. Κούνια- Καλπαζίδου, Πιθανότητες ΙΙ, Ζήτη, Θεσσαλονίκη. 243 10. Marshall Clahett, Greek Science in Antiquity, Collier Books, London 1962. 11. Μωυσιάδης- Σπυρίδης Χ.Χ., Εφαρμοσμένα Μαθηματικά στην επιστήμη της Μουσικής, Ζήτη, Θεσσαλονίκη 1994. 12. Runion E. Garth, The Golden Section, Dale Seymour Publications, New York 1990. 13. Σπυρίδη Χ.Χ., Η πληροφορική στην Εθνομουσικολογία, Γαρταγάνη, Αθήνα 1997. Αρθρογραφία 1. Butchers Christopher, "The Random Arts: Xenakis, Mathematics and Music", Tempo n85, 1968, σελ. 2-5. 2. Cazden Norman, Pythagoras and Aristoxenos Reconciled, Journal of the American Musicological Society 11, 1958, σελ. 97-115 3. Conford Francis, Pythagorean Mathematics and Music, Journal of Aesthetics and Art criticism 22, 1963-64, σελ. 189-198 4. DeLio Thomas, "I. Xenakis' Nomos alpha. The Dialectic of structure and materials", Journal of Music Theory vol.24 n1, 1980, σελ. 63-86. 5. Griffiths Paul, "Xenakis: Logic and Disorder", Musical Times nCXVI, 1975, σελ. 329 331. 6. Ζερβός Γιώργος, Iannis Xenakis, les compositeurs de l’Ecole de Vienne et le concept de structures hors-temps”, στο συλλογικό τόμο της σειράς arts 8 του Université 8. Γενικός τίτλος του τόμου Iannis Xenakis, Gérard Grisey. La métaphore lumineuse, εκδ. L’Harmattan, Paris, 2003, σ. 213-224. 7. Ζερβός Γιώργος, Musical material and originality in Iannis Xenakis’ music, στο International Symposium Iannis Xenakis, πρακτικά του διεθνούς συμποσίου αφιερωμένο στον Ιάννη Ξενάκη (18-20/5/2005), που συνδιοργάνωσε το Τμήμα Μουσικών Σπουδών 244 του Παν/μίου Αθηνών σε συνεργασία με το Παν/μιο Montpellier 3 – I.U.F, εκδ. του Εθνικού και Καποδιστριακού Παν/μίου Αθηνών, Αθήνα 2005, σ. 7-12. 8. Ζερβός Γιώργος, Επιστήμη και τέχνη στη μουσική του Ιάννη Ξενάκη, πρακτικά του διεθνούς διεπιστημονικού συνεδρίου με τίτλο Επιστήμη και Τέχνη [που διοργάνωσε η Ένωση Ελλήνων Φυσικών στο Ευγενίδειο Ίδρυμα 16-19/6/2005], έκδ. Ένωση Ελλήνων Φυσικών, Αθήνα 2006, τόμ. 3ος , σ. 26-31. 9. Ζερβός Γιώργος, Παράδοση και Παγκοσμιοποίηση: μερικές σκέψεις για τη σύγχρονη μουσική με αφορμή το έργο του Ν. Σκαλκώτα και του Ι. Ξενάκη, Σοφία Τοπούζη (επιμ.) Πεπραγμένα του μουσικολογικού συνεδρίου με τίτλο «Έντεχνη Ελληνική Μουσική Δημιουργία: Παράδοση και Παγκοσμιοποίηση» (διεξήχθη στο Μέγαρο Μουσικής Αθηνών, 24-26 Απριλίου 2007), έκδ. Ένωση Ελλήνων Μουσουργών, Αθήνα 2008, σ. 62-66, στην ηλεκτρονική διεύθυνση: http://music.ee.auth.gr/publications/20080408809903.pdf 10. Harley James, "Sonic and Parametrical Entities in Tetras: an Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis", Canadian University Music Review vol.16 n2, 1996, σελ. 7299. 11. Harley Maria Anna, "Music of Sound and Light: Xenakis's Polytopes", Leonardo vol.31 n1, 1998, σελ. 55-65. 12. Harley Maria Anna, "Spatial Sound Movement in the Instrumental Music of Iannis Xenakis", Journal of New Music Research vol.23 n3, 1994, σελ. 291-313. 13. Huijstee T. van, "Van Pythagoras naar Xenakis", Mens en Melodie n36, 1981, σελ. 408416. 14. Ιωαννίδης Άγις, ‘Μεταστάσεις’ του Ιάννη Ξενάκη και οι αφετηρίες μιας νέας γλώσσας στη σύγχρονη μουσική, ομιλία στο πρώτο συνέδριο σύγχρονης Ελληνικής μουσικής «Σόλων Μιχαηλίδης», Λευκωσία 25-27 Απριλίου 2002. 15. Levin Flora R., The harmonics of Nicomachus and the Pythagorean tradition, American Classical Studies no.1, University Park, Penn: The American Philological Assocciation, 1975 16. Mâche François-Bernard, "Iannis Xenakis. Introduction aux uvres", in Regards sur Iannis Xenakis, Paris, Stock, 1981, σελ. 153-166. 245 17. Matossian Nouritza, "Calculating Composer", Observer Colour Magazine, Dec.1972, σελ. 5. 18. Matossian Nouritza, "Xenakis", Music and Musicians n26, 1978, σελ. 56-57. 19. Ρωμανού Καίτη, Η Μεταρρύθμιση του 1814, Μουσικολογία, 1/1985 20. Ρωμανού Καίτη, ‘Stochastic Jeux’, Muzikologija, Journal of the Institute of Musicology of the Musicology of the Serbian Academy of Sciences and Arts, No 6 (2006), σελ. 207218. 21. Σολωμός Γεράσιμος – Φαρακλάς Γιώργος, Ιάννης Ξενάκης: μια αντιφατική αντιμετώπιση των αντιθέσεων, Μουσικολογία τευχ. 5-6, Νήσος, Αθήνα 1987 22. Σολωμός Μάκης, A propos des premières œuvres (1953-69) de I. Xenakis. Pour une approche historique de l’ émergence du phenomena du son, διδακτορική διατριβή, Université de Paris IV, Παρίσι 1993. 23. Σολωμός Μάκης, Τα εναυσματα του Ξενακικού έργου, πρόγραμμα έργου Προμηθέας, Μέγαρο μουσικής Αθηνών, Αθήνα 2001, σελ. 29-35. 24. Σολωμός Μάκης, Τα πρώιμα έργα του Ξενάκη, από το ‘μπαρτοκικό σχέδιο’ στην ‘αφαίρεση’, Τα Μουσικά ν.5, Αθήνα 2000, σελ. 44-54. 25. Σολωμός Μάκης, Το γίγνεσθαι του μοντερνισμού, Μάζα και χειρωνομία στα έργα του Ξενάκη, Ήχος ν. 217, Αθήνα 1991, σελ. 80-85. 26. Σολωμός Μάκης, Φαρακλάς Γιώργος, Ιάννης Ξενάκης: μια αντιφατική αντιμετώπιση των αντιθέσεων, Μουσικολογία νο. 5-6, Αθήνα 1987, σελ. 155-182. 27. Σπυρίδης Χ. Χαράλαμπος, «Πυθαγόρειες αναλογικότητες», οι γεννήτορες της αρχαίας Ελληνικής μουσικής, Επετηρίς της Φιλοσοφικής Σχολής, Περίοδος Β΄, τόμος ΛΑ΄. 28. Σπυρίδης Χ. Χαράλαμπος, Προσεγγίσεις στη μουσική του Ιάννη Ξενάκη, Μουσικολογία τεύχος 10-11, Νήσος, Αθήνα 1998, σελ. 226-240. 29. Σπυρίδης Χαράλαμπος & Αναστασοπούλου Αριάδνη, Ανάλυση του έργου ‘Herma’ του Ιάννη Ξενάκη, Περιοδικό ΜΟΥ.Σ.Α. τευχ.1, Αθήνα 1995. 30. Wannamaker A. Robert, Structure and Perception in Herma by Iannis Xenakis, Music Theory online, vol. 7, num. 3, 2001. 246