ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА МЕДИЦИНСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ БАЗИСАХ ХААРА Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Цифровая обработка медицинских изображений в кусочно-полиномиальных базисах Хаара

Х.Н. Зайнидинов1, Ж. У. Жураев2, И. Юсупов1, Ж. СЖаббаров2 Ташкентский университет информационных технологий 2Самарканский государственный университет

Аннотация. В работе приведены основы теории быстрых спектральных преобразований в одномерных и двумерных кусочно-полиномиальных базисах Хаара, разработан алгоритм определения коэффициентов восстановления медицинского изображения, полученного от ультразвукового аппарата. Показаны результаты обработки с использованием предложенного алгоритма. Полученные результаты показывают, что применение двумерных кусочно-полиномиальных базисов Хаара позволяет улучшить качество изображения. Известно, что одной из основных проблем сжатия изображений является поиск и применение эффективного метода, который позволяет отображать каждый тип пикселя в компактной форме. Чтобы решить эту проблему, также были использованы двумерные кусочно-полиномиальные базисы. Приведены результаты сжатия и восстановления медицинских изображений, удовлетворяющие требованиям специалистов ультразвуковой диагностики.

Ключевые слова: одномерные базисы Хаара, двумерные кусочно-полиномиальные базисы, локальные базисы, ортогональные базисы, двоичные отрезки, цифровая обработка изображений, коэффициенты восстановления, коэффициенты сжатия, медицинские изображения.

Введение

Для построения моделей сигналов, получаемых от реальных объектов, широко применяются традиционные гармонические функции. Это объясняется тем, что многие сигналы, получаемые от реальных объектов, могут быть легко представлены совокупностью синусоидальных и косинусоидальных колебаний, для чего используется аппарат анализа Фурье. Результатом этого является переход от временных к частотным функциям. Однако, представление временной функции синусоидальными и косинусоидальными функциями является только одним из многих представлений. Любая полная система ортогональных функций может быть применена для разложения в ряды, которые соответствуют рядам Фурье.

Элементарные функции, которые являются решениями простых дифференциальных уравнений, находят очень широкое применение в практических инженерных задачах. Обычно в инженерной литературе под термином элементарные понимают вообще простые функции одной или двух переменных, имеющие ограниченное количество экстремумов, без точек разрыва, с ограниченной крутизной в заданных пределах изменения аргумента. Они служат для построения математических моделей сигналов, полученных от реальных объектов.

1. Одномерные кусочно-полиномиальные БАЗИСЫ

Широкие распространения в технических приложениях получили ортогональные системы базисных функций, заданных на действительной оси, для которых также существуют алгоритмы

быстрых преобразований. Их можно разбить на два класса:

1) глобальные базисные функции - такие, значение которых не равны нулю ни на одном подинтервале [9]. К этому классу относятся функции Уолша [10], числовые, пилообразные;

2) локализуемые базисные функции, ненулевые значения которых задаются на вложенных отрезках. Примерами являются функции Хаара [3] и Хармута [6].

Разбиение действительной оси - обычно двоично - рациональное. Будем в дальнейшем преимущественно рассматривать интервал [0, 1] или [0, 1) и используем понятие двоичного отрезка, который получается делением заданного интервала на 2р равных частей (Р = 1, 2, ...):

кк = кр] =

]

2

р -1

] + 1

2

р-1

(1)

где ] = 0,1,...,2р-1, к = ] + 2р-1

Примерами двоичных отрезков могут служить интервалы

[ 0;1); [ 1/2; 3/4 ], [ 3/8; 4/8 ] и т. д. Длина двоичного отрезка Нр; равна

к

+ - = 21 - р

к . + к .

р; р;

р;

где , являются соответственно его левой и правой половинами и также представляют собой двоичные отрезки:

+

кр; =

] -1 2] -1

ур-1 '

кр; =

2 ] -1

]

2 р-1

(2)

2

р

2

р

Система ненормированных функций Хаара в континуальной форме определяется [7]:

hark (х) = harpj (х) =

+ 1

-1

0

х е h

х е hpj (3)

х е hPj

Следует отметить, что haro (х) = 1;

Число Р называется порядком функций Хаара.

Известно, что ряд Хаара [30]:

f (х) = X Ck ■ hark (х) (4)

k = 0

может обеспечить как равномерное (в том числе равномерное наилучшее), так и среднеквадратическое приближение. Все зависит от способа вычисления коэффициентов. Базисы Хаара привлекают внимания специалистов по двум причинам:

1. Уменьшения числа коэффициентов, необходимых для аппроксимации (с заданной точностью) по отношению к общему числу двоичных отрезков.

2. Отсутствие "длинных" операций в выражении (4) Используются только операции сложения, вычитания и сдвига.

Недостатком прямоугольных ортогональных базисов Хаара является слабая сходимость рядов по кусочно - постоянным функциям, т.е. необходимость запоминания нескольких сотен коэффициентов для многих функций с целью обеспечения погрешностей порядка 0,1 %.

Поиски методов сокращения объема таблиц коэффициентов, улучшения показателей "гладкости" очевидным образом приводят к системам кусочно - полиномиальных базисных функций более высокой степени. Наиболее просто получаются кусочно - линейные базисные функции (функции Шаудера) в результате интегрирования с переменным верхним пределом ортогональных кусочно - постоянных функций Хаара:

х

Shdk (х) = 2 p J hark (r)dr (5)

0

Необходимо также учитывать, что

Shd0 (х) ° 1 и Shd0 (х) = х

Часто в практических приложениях рядов кусочно - линейных функций с целью получения амплитуд всех базисных функций, равных единице, удобно оперировать с "нормализованными" системами:

Sh dk (х)= 2p J hark (r)dr

На Рис. 1 а. приведены кусочно - постоянные функции Хаара, а на рис.1 б. - функции Шаудера и на Рис. 1 в. кусочно - параболические функции Хаара.

а)

har 1

har

har

har

har

har

har

0,5

б)

hain1 1

1 0 — -1 hain

0,5

LJ 1

0,5

2 1 0 -1

hains 1

L-t 0

в)

haid, 11

~05 Г 0 -1

haid2 12

/V

~0~5 1 0■ -1

haid3

A 3

0,5

+-

hain4 1

0,5

П 0,5

и 11

Г 0 -1

hain5 1

К

0 -1

haid4

~0~5 t 0 -1

A

H-7t-

0,5

0,5

-1 hain

1

1 0 -1

hain7 1 1

Г 1

A-^

0,5 1

A

0,5

Л

haid5 1 0 -1

haid6 1

-1 0 -1

haid7

25 Л

2W-1

1

0,5 '1 0 -1

Ф1

Рис. 1. Кусочно - постоянные функции Хаара а) Кусочно-постоянные, б) Кусочно-линейные в) Кусочно-квадратические базисные функции Хаара.

2. Двумерные кусочно-полиномиальные БАЗИСЫ

Методика построения двумерных

интегральных билинейных базисных функций Хаара может быть основана на идее интегрирования кусочно-плоскостных

ортогональных базисных функций [1]. Например, могут быть построены двумерные функции Шаудера (х, у) = БЫ 1 (х) * БНй] (у) в

результате операции двукратного

интегрирования:

х У

Шц (х, у) = 11 Наг (г)Наг] (т')ёЫт' (7)

В результате получаются так называемые функции - "пагоды", форма одной из которых показана на рис.За. Коэффициенты дискретных спектральных преобразований в билинейных базисах вычисляются через так называемые "диагональные" двумерные конечные разности:

АЛ = ! (х !+1, у^+1) - ! (х ,, у}) (8)

(6)

P = 0,1,...; k = 0,1,2,...

0 0

0

Mi,i (x,y)

1/2 1 а) Двумерные М - функции

1/2

/ i+1

h s j / S h j+i У

i,i У

0

1/2 1 х

б) Проекции диагональных разностей

Рис. 2 Двумерные М-функции и проекция диагональных разностей.

Эти разности являются гипотенузами вертикальных треугольников, одним из катетов которых выступают высоты функций-пагод (Рис. 3а), а другой катет - диагональ элементарной площадки размером к X к на плоскости (х, у) (Рис. 3б). Его длина обозначена

как А ■■ .

ч

Для двумерных билинейных базисов коэффициенты прямого дискретного

преобразования определяются по формулам:

Си = ЕЕ А1укагк (х )Наг1 (Х;) (9)

' ]

Образуем систему базисных функций, зависящих от одного из аргументов:

ak (У) = Z Aftjhart(У)

i

Тогда можем записать:

Cki = Z ak(y)hark(x)

(10)

(11)

Обратное двумерное дискретное

преобразование вследствие вещественного характера базисных функций выполняется аналогично [2]:

Dfij = 4p ZZ Cklhark (x)harl (y) (12)

k l

dfi (У) = Z C kl har k (x) har l (y)

i

Dfj = 4" p Z dfi (y) hark (x)

Система кусочно-плоскостных ортогональных хаароподобных функций может быть построена на основе теории самоподобных деревьев в динамическом дискретном пространстве. Началом процесса является дробление единичного квадрата (рис.3) на двоично-рациональные области, тоже являющиеся квадратами, и на этих квадратах строятся группы базисных функций, принимающих значения + 1, -1 или 0.

Произвольная точка (X, y) области W (0 £ X, y < 1) принадлежит двоичному квадрату Qpsr, если координаты этой точки принадлежат соответствующим двоичным отрезкам

x е hpS, y е hpr .

В каждом квадрате Qpsr выделяются четыре

равные части, которые в свою очередь являются двоичными квадратами. Точка ( x, y) принадлежит динамически уменьшающемуся квадрату при условиях [3]:

(x, y) е Q1pSr, если x е h+ и y е h+

(x, y) е Q2pSr, если xе h+ps и y е hp

(x, y) е Q3 pSr, если x е h"s и y е h+

(x, y) е Q4 , если x е h"s и y е h"

Таким образом, производится рекурсивное упорядочение с соответствующей иерархической нумерацией. На квадрате ()рг образуются три

ортогональные функции кй р^ значений + 1 или - 1 с индексом 1 = 1, 2 и 3:

hqpsr\( x, y) = hqpS (x) =

hQpSr 2(x y) = hqpr(y)=■

| +1 при x е h+s -1 при x е h"s

+1 при y е h+r 1 при x е h"r

k

0

x

1 +1 при (х, у) е 0>1Р!Г или (х, у) е 03р!Г

hQpSr3( х У) ='

-1 при (х, у) е Q2pSr или (х, у) е Q4pSr

В группе одного порядка Р содержится 3x4 Р'1 функций [9].

У I 1

y h4i 1 hq

+ -

+ + -

+ -

x 0

hq y 2 1 hq

- -

+ + - -

+ +

1 x 0

hq y 3 1 hq

- +

+ - +

+ -

0 1x0 1 х

Рис. 3 Система двумерных кусочно-плоскостных функций.

3. Цифровая обработка МЕДИЦИНСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В БАЗИСАХ ДВУМЕРНЫХ ВЕЙВЛЕТОВ

Хаара

Пусть задан массив двухмерных монохромных изображений 2 X 2 [3],

[х., 7 ], / = 1,...,2п; ] = 1,...,2п (13)

он может быть выражен как функция двух переменных [0,1]Х[0,1], часть которых определяется в единичном поле [8]. Для данной функции с двумя переменными I (з, г)

2п 2 п

I(з, г) = 11 х.,X1(з, г) (14) /=1]=1 7

Пусть равенство будет выполнено, здесь

li x Ij

(s,t): s е

i -1 i

x

2 " 2" _ i -1 i ^

j -1 j

2" 2"

L2" 2";

, t е

j-1 j

2" '2";

^XI; ^t) =

j

'1, ((s, t) е It X Ij) 0, ((s, t) £ Ii X Ij ) =

f" i_1 (s) f" i-1 (t)

= H,. (s) Hi (t) = ' "'-j-1 (15)

i J

V2" V2"

Введенный здесь параметр з располагается вертикально, и, подставляя (3) в (2), мы получаем индекс / массива х-ц [8].

1 2п 2п

1 ^ г) = I I х/,]фп.7-1(г) = 2П /=17=1 7 7

1 2"

— X 2"£1

2"

X х;,]Фп,j-1(t) j=1

f-1(s):

1 2"

= — XZ (t)f"i-1(s) 2" i =1

(16)

где

г/ (г) = I хг- 7-1(г) (17)

7=1

Для каждого шага (5) аналогичен уравнению (3) и выполняется первый этап одномерной БХП

[7]. Для (г), i = 1,2, ..., 2П получим другую форму уравнения для (См. формулу 2) 2 п-1 -1 . г.(г) = I ап-1, ;фп-1,7(г) +

J=0

2"-1 -1

+ I Лп-1 Уп-1,7 (г) (18) 7=0

Теперь заменяя (6) на (4) сформируем следующее 1 2п

I (з, г) = — I г/ (г -1^) = 2п /=1

1 2"

-L X 2" i=1

X a"_!,jf"-1,j(t) +

J=0

2"

+ X d"-1,j(t)

J=0

f",i-1( s) =

и

x

0

x

"

2

"

2 n

2 n-1 -1

Z i Z aln-1,ifn-1,i (s)fn-1,i (t) +

i=0

i=1

2 n-1 -1

+ Z i Z 4-1, ifni-1(s)

i=0

=1

2n-1 -1

Уп-1, i(t)

= Z (s)fn-1, i (t) + i=0

2 n-1 -1

где

для ]

+ Z bi (s)Vn-1, i (t)

i=0

ai (t) = Z al-1 jfn,i-1(s) i=0

bi(s) = Z dl-1 fni-1(s) i=1

а,- и bi выражения

(19)

являются

г;

постоянными и аналогичны (3). Одномерный БХП может быть применен. Применяя Одномерный БХП, получаем следующее [10],

2п

а] (г) = Е аП-1 ;Фп,1 -1(^ =

г=0

2n-1 -1

2n-1-1.

z ~ni-1ifn-1,i(s) + z dn~1 yn-1,i(s)

i=0

i=0

bi(t) = Z 4-1 ifni-1(s) = i=0

2 n-1 -1.

= Z ~n-1ifn-1,i(s) + i=0 ,

2n-1-1:

+ Z d^-1 Уп-1,i (s) i=0 ,

где

f (s, t) = \ 2 n

( 2n-1 -1

Z®i (s)fn-1, i (t) + i=1

2 n-1 -1 Л + Zbi (s)yn-1, i (t) i=1

2n

(2n-1-1

Z ■

i=0

2 n-1 -1 .

Z ai-ufn-1,i(s) + i=0

2n-1 -1~ .

+ Z dl-1 yn-1,i (s)

i=0

2 n-1 -1

+ Z

j =0

2 n-1 -1~

fn, i (t) +

2 n-1 -1_ .

Z ~l-1 fn-1,i(s) +

i=0

+ Z dn-1 yn-1,is i=0

Уп-1, i(t)

Подставляя вышеуказанные равенства в уравнения, получим следующее[1],

2n-1 -12n-1 -1

f (s, t) = Z Z al /fn-1, i (t)fn-1,i (s) + i=0 i=1

2l-1-12l-1 -1

+ Z Z hlj1 fn-1, i (t )yn-1,i(s) +

i =0 i =1 2 n-1 -12n-1 -1

+ Z Z ПП i1 Уп-1, i (t )fn-1,i (s) + i=0 i=0

2l-1 -12l-1 -1

+ Z Z d i, i yn-1, i (t)yn-1,i(s) (20)

где

i=0 i =1

-1 = -niu. hl-1 = -L~ j

% j

n n-1,i'

nl-1 =—1;, dl-1 = — ~j

2п п-1,г' г,] 2п

В результате функции / (Х, у) делятся на следующие функции [4],

Фп-\,] (1)Фп-\1(Д Фп-\,] (0Уп-и С*Х

и

Уп-1,] ЮФп-11 (s), Уп-1,] (0Уп-1,г Ф

Таким образом, БПХ применяется в двух этапах: на первом этапе применяется одномерное БХП к каждой строке изображения; на втором этапе применяется одномерное БХП к каждому столбцу изображения.

Вышеприведенное уравнение (20) представляет собой уравнение двумерного БПХ и требует нахождения большого количества коэффициентов. Использование длинной цепочки коэффициентов и значений сигнала позволяет повысить качество восстановления сигнала [7]. Фильтрация сигналов выполняется с использованием двух типов фильтров, высоко

n n-1,i

n

2

n

2

n

2

и

n

2

2

n

частотных (ВЧ) и низко частотных (НЧ), как показано на Рис. 1. В результате изображение делится на четыре части [4]: НЧНЧ, НЧВЧ, ВЧВЧ и ВЧ. Как вы знаете, поскольку изображение является двухмерным, фильтрация значений пикселей выполняется сначала по столбцам, а затем по строкам. В процессе фильтрации значения цвета пикселя умножаются на коэффициенты Хаара и являются суммой результата.

Таким образом, этот процесс преобразования продолжается до тех пор, пока не будет вытравлен последний пиксель изображения [6].

НЧВЧ вчвч

НЧНЧ вчнч

НЧВЧ ВЧВЧ

НЧВЧ вчвч вчнч

НЧНЧ ЕЧНЧ

Рис. 4. Схема фрагментации 1-й и 2-й степеней изображений в двумерных кусочно-полиномиальных базисах Хаара.

На Рис. 4. и на Рис. 5. приведены результаты обработки изображения, полученного с помощью ультразвукового аппарата (далее медицинское изображение) с использованием комплекса программ обработки медицинского изображения. Комплекс программ разработан на языке C ++ Builder и Matlab[5] и использует математический модель (20). В результате использования программного комплекса улучшено качество пятна на этом изображении [11]. Следующие результаты были получены после фрагментации 1-уровня (Рис. 4.) и после фрагментации 2-уровня (Рис. 5.) [10].

Рис. 5. Результаты цифровой обработки медицинского изображения: после 1-й степени фрагментации камня левой почки с использованием двумерных кусочно-полиномиальных базисов.

Рис. 6. Результаты ццифровой обработки медицинского изображения: после фрагментации 2-й степени камня левой почки с использованием двумерных кусочно-полиномиальных базисов.

Значения коэффициентов восстановления изображения (камня) левой почки после фрагментации 1-й степени в результате цифровой обработки медицинского изображения приведены в Таблице 1.

Значения коэффициентов восстановления изображения (камня) левой почки после фрагментации 2-й степени в результате цифровой обработки изображения приведены в Таблице 2.

Таблица 1

Значения коэффициентов восстановления изображения (камня) левой почки после

№-нечетные aj (s)-Коэффициенты №-четны е bj (s)- Коэффициенты

числа восстановле- числа восстановлени

ния изображения я изображения

1 346,5 2 -3,5

3 362,5 4 -1

5 361,5 6 1

7 369 8 4,5

9 382,5 10 6

11 388 12 4,5

13 397 14 8

15 -0,5 16 4

17 0 18 0

19 0,5 20 2

21 -1 22 -0,5

23 0,5 24 -0,5

25 3,5 26 2,5

Таблица 2

Значения коэффициентов восстановления изображения (камня) левой почки после

№-нечетные числа aj (s)- Коэффициенты восстановления №-четные числа bj (s)- Коэффициенты восстановления

изображения изображения

1 710,25 2 0,25

3 728 4 0,5

5 757,75 6 -3

7 792,5 8 -5,75

9 823,75 10 -0,25

11 811,5 12 0,5

13 815,75 14 5,25

15 818,25 16 4

17 831,75 18 5,75

19 834,5 20 4

21 831,25 22 2

23. 834,5 24 2,25

25 825,5 26 3

Заключение

В результате цифровой обработки медицинского изображения с использованием двумерных кусочно-полиномиальных базисов можно сделать следующие выводы:

1. К изображению БПХ применяется в двух этапах: на первом этапе применяется одномерное БХП к каждой строке изображения; на втором этапе применяется одномерное БХП к каждому столбцу изображения.

2. Применение предложенного алгоритма для обработки изображения позволило определить наличие коралловых камней левой почки, улучшая качества сжатого изображения.

3. Разработанный алгоритм может широко применяться для цифровой обработки рентгеновых, микроскопических и других медицинских изображений.

Литература

[1] Hakimjon Zaynidinov, Jonibek Juraev, Umidjon Juraev. (2020). Digital Image Processing with Two-Dimensional Haar Wavelets. International Journal of Advanced Trends in Computer Science and Engineering (Volume 9, No.3, pp. 2729-2734).

[2] Х.Н. Зайнидинов, Ж.У. Жураев, М.Г. Маннапова. Интерполяция функций с помощью кусочно-постоянных и кусочно-линейных вейвлетов Хаара // Автоматика и программная инженерия. 2020, №1 (31), г. Новосибирск, Россия, С. 42-48.

[3] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: РХД, 2001. — 464 с.

[4] Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Пресс, 2004. — 440 с.

[5] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир, 2005. — 672 с.

[6] И.Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. Теория всплесков. — М.: Издательство "Наука", 2005. — 613 с.

[7] Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск: РХД, 2010. — 292 с.

[8] Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001. — 412 с.

[9] Р. Гонсалес, Р. Вудс Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. -1072с.

[10] Р. Гонсалес, Р. Вудс С. Эддинс Цифровая обработка изображений в среде Matlab. М.: Техносфера, 2006.-621с.

[11] С. Уэлстид Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. Учебное пособ. - М.: ИздательствоТриумы, 2003. - 320с.

Хакимжон Насиридинович Зайнидинов - доктор технических наук,

профессор, заведующий кафедрой Информационных технологий Ташкентского университета

информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми.

E-mail: tet2001 @rambler.ru

Жонибек Уктамович

Жураев докторант

Самаркандского

государственного

университета.

E-mail: i urayevi u @ mail .ru

Ибро^имбек Юсупов

ассистент кафедры

Информационных технологий Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми. E-mail:

Ibrohimbek.211 10@mail.ru

iz*

о

т г

Ii*

Étft

Жамолиддин Синдарович

Жаббаров ассистент кафедры

Информационных технологий

Самаркандский

государственный

университет.

E-mail:

iamoliddin.iabbarov@mail.ru

Статья поступила 02.07.2020.

Digital Processing of Medical Images in Piecewise-Polynomial Haar

Bases

H.N. Zainidinov1, Zh.U. Zhuraev2, I. Yusupov1, Zh.S. Zhabbarov2 Tashkent University of Information Technologies 2Samarkan State University

Abstract. The paper presents the foundations of the theory of fast spectral transformations in one-dimensional and two-dimensional piecewise-polynomial Haar bases, an algorithm for determining the recovery coefficients of a medical image obtained from an ultrasound apparatus is developed. The results of processing using the proposed algorithm are shown. The results obtained show that the use of two-dimensional piecewise-polynomial Haar bases can improve the image quality. It is known that one of the main problems of image compression is finding and applying an effective method that allows each type of pixel to be displayed in a compact form. To solve this problem, two-dimensional piecewise polynomial bases were also used. The results of compression and restoration of medical images that meet the requirements of specialists in ultrasound diagnostics are presented.

Key words: one-dimensional Haar bases, two-dimensional piecewise polynomial bases, local bases, orthogonal bases, binary segments, digital image processing, reconstruction coefficients, compression coefficients, medical images.

References

[1] Hakimjon Zaynidinov, Jonibek Juraev, Umidjon Juraev. (2020). Digital Image Processing with Two-Dimensional Haar Wavelets. International Journal of Advanced Trends in Computer Science and Engineering (Volume 9, No.3, pp. 2729-2734).

[2] KH.N. Zaynidinov, ZH.U. Zhurayev, M.G. Mannapova. Interpolyatsiya funktsiy s pomoshch'yu kusochno-postoyannykh i kusochno-lineynykh veyvletov Khaara // Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2020, №1 (31), g. Novosibirsk, Rossiya, S. 42-48.

[3] Dobeshi I. Desyat' lektsiy po veyvletam. — Izhevsk: RKHD, 2001. — 464 s.

[4] D'yakonov V. P. Veyvlety. Ot teorii k praktike. — M.: SOLON-Press, 2004. — 440 s.

[5] Malla S. Veyvlety v obrabotke signalov. — M.: Mir, 2005. — 672 s.

[6] I.YA. Novikov, V. YU. Protasov, M. A. Skopina. Teoriya vspleskov. — M.: Izdatel'stvo "Nauka", 2005. — 613 s.

[7] Smolentsev N. K. Vvedeniye v teoriyu veyvletov. — Izhevsk: RKHD, 2010. — 292 s.

[8] Chui K. Vvedeniye v veyvlety. — M.: Mir, 2001. — 412 s.

[9] R. Gonsales, R. Vuds Tsifrovaya obrabotka izobrazheniy. M.: Tekhnosfera, 2005. -1072s.

[10] R. Gonsales, R. Vuds S. Eddins Tsifrovaya obrabotka izobrazheniy v srede Matlab. M.: Tekhnosfera, 2006.-621s.

[11] S. Uelstid Fraktaly i veyvlety dlya szhatiya izobrazheniy v deystvii. Uchebnoye posob. - M.: Izdatel'stvoTriumy, 2003. - 320s.

É2É

ûià

a

¿É

Hakimjon Nasriddinovich Zaynidinov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Information Technologies of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi.

E-mail: tet2001 @rambler.ru

Jonibek Uktamovich Jurayev

doctoral student at Samarkand

State University.

E-mail: j urayevj u @ mail .ru

Ibrohimbek Yusupov

Assistant of the Department of Information Technologies of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi. E-mail:

Ibrohimbek.211 10@mail.ru

Jamoliddin Sindarovich Jabbarov Assistant of the Department of Information Technologies, Samarkand State University. E-mail:

jamoliddin.jabbarov@mail.ru

Tha paper has been received on 02/07/2020.