Resolução da integral $\displaystyle \int \text{sen}^{-1}(ax)\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

 

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

 

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

 

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$
\int \text{sen}^{-1}(ax)\ dx = \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+x\ \text{sen}^{-1}(ax)+C
$$

sendo $a$ uma constante diferente de zero.

• Leia o artigo sobre A função arco seno

 

Seja a integral:

$$
I=\int \text{sen}^{-1}(ax)\ dx
$$

Para o integrando $\text{sen}^{-1}(ax)$, fazemos a substituição $z=ax$. Assim, $dz=a\ dx$ e $dx=\cfrac{1}{a}dz$:

$$
I = \int \text{sen}^{-1}(z)\cdot \frac{1}{a}\ dz\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \text{sen}^{-1}(z)\ dz
$$

Para o integrando $\text{sen}^{-1}(z)$, utilizamos o método de integração por partes:

$$
\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$

Fazemos $u=\text{sen}^{-1}(z)$ e $dv=dz$ para obtermos $\displaystyle du=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz$ e $v=z$. Assim:

$$
I = \frac{1}{a} \left[ \text{sen}^{-1}(z) \cdot z - \int z \cdot \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\ dz \right]\\
\ \\
I = \frac{z\ \text{sen}^{-1}(z)}{a} - \frac{1}{a} \int \frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\ dz
$$

Para o integrando $\displaystyle \frac{z}{\sqrt{1-z^2}}$, fazemos a substituição $s=1-z^2$ para obter $ds=-2z\ dz$ e $dz=-\cfrac{ds}{2z}$:

$$
I = \frac{z\ \text{sen}^{-1}(z)}{a} - \frac{1}{a} \int \frac{z}{\sqrt{s}}\cdot \left(-\frac{ds}{2z}\right)\\
\ \\
I = \frac{z\ \text{sen}^{-1}(z)}{a}+\frac{1}{2a} \int \frac{1}{\sqrt{s}}\ ds
$$

A integral de $\cfrac{1}{\sqrt{s}}$ é $2\sqrt{s}$. Assim:

$$
I = \frac{z\ \text{sen}^{-1}(z)}{a} + \frac{1}{2a}\cdot 2\sqrt{s} + C\\
\ \\
I = \frac{z\ \text{sen}^{-1}(z)}{a} + \frac{\sqrt{s}}{a} + C
$$

Mas $s=1-z^2$, assim:

$$
I = \frac{z\ \text{sen}^{-1}(z)}{a} + \frac{\sqrt{1-z^2}}{a} +C
$$

E $z=ax$. Assim:

$$
I = \frac{ax\ \text{sen}^{-1}(ax)}{a} + \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a} +C\\
\ \\
I = \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+x\ \text{sen}^{-1}(ax)+C
$$

Exemplo :

Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\text{arcsen}\left(\cfrac{x}{2}\right)$ no intervalor de $0$ a $1$.

 

Para esta resolução, utilizamos o conceito de integral definida:

$$
A = \int_0^1 \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)\ dx
$$

Vamos utilizar o resultado obtido anteriormente. Observe que a constante $a$ vale $\cfrac{1}{2}$. Deste modo, a área será dada por:

$$

A = \left[ x\ \text{sen}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^2x^2}}{\cfrac{1}{2}}\right]_0^1 \\
\ \\
A = \left[ x\ \text{sen}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\ \right]_0^1\\
\ \\
A = \left( \text{sen}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2\sqrt{1-\frac{1}{4}}\ \right)-2\\
\ \\
A = \text{sen}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2\sqrt{\frac{3}{4}}-2
$$

O arco cujo seno vale $\cfrac{1}{2}$ é o de $30^\circ$, que em radianos mede $\cfrac{\pi}{6}$:

$$
A = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}-2\\
\ \\
A \approx 0,25565\ u.a.
$$

Links para este artigo:

• https://bit.ly/integral-arc-sen-ax
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2021/09/resolucao-da-integral-do-arco-seno-de-ax.html
  

 

Veja mais:

• A função arco seno
  
• Resolução de integrais literais
  
• Resolução de integral por partes
  
• Resolução de integrais por substituição